2点の間を $m : n$ に分ける点の位置ベクトルを求める公式を学びます。内分点・外分点・中点の公式は、三角形の重心や直線のベクトル方程式など、あらゆる図形問題の土台となります。「比で分ける」という操作がベクトルの言葉でどう表されるのか、その幾何学的な意味から丁寧に導出しましょう。
2点 $\text{A}$, $\text{B}$ を結ぶ線分 $\text{AB}$ を $m : n$ に内分する点 $\text{P}$ とは、$\text{A}$ と $\text{B}$ の間にあって $\text{AP} : \text{PB} = m : n$ を満たす点です。この点の位置ベクトルを、$\text{A}$, $\text{B}$ の位置ベクトルで表すことを考えましょう。
2点 $\text{A}(\vec{a})$, $\text{B}(\vec{b})$ を結ぶ線分を $m : n$ に内分する点 $\text{P}$ の位置ベクトルは：
$$\vec{p} = \frac{n\vec{a} + m\vec{b}}{m + n}$$
※ $m, n > 0$ であり、分母は $m + n$（比の和）です。$\vec{a}$ にかかる係数は「相手側の比」$n$ であることに注意してください。
内分点 $\text{P}$ は $\text{A}$ に近いほど $n$ が大きく（$\text{B}$ 側の比が大きい）、$\text{B}$ に近いほど $m$ が大きくなります。つまり「遠い方の点ほど大きな重み」がかかるのです。
これは「てこの原理」と同じ構造です。支点（内分点）に近い側には小さな力、遠い側には大きな力が必要 ── この直感が公式の形を自然に理解させてくれます。
具体例を見てみましょう。$\text{A}(\vec{a})$, $\text{B}(\vec{b})$ を $1 : 2$ に内分する点 $\text{P}$ は：
$$\vec{p} = \frac{2\vec{a} + 1 \cdot \vec{b}}{1 + 2} = \frac{2\vec{a} + \vec{b}}{3}$$
$\text{P}$ は $\text{A}$ 寄り（$\text{A}$ から $\text{AB}$ の $\frac{1}{3}$ の位置）にあり、$\vec{a}$ の係数 $\frac{2}{3}$ が $\vec{b}$ の係数 $\frac{1}{3}$ より大きいことと整合しています。
✗ 誤：$m : n$ に内分するから $\vec{p} = \dfrac{m\vec{a} + n\vec{b}}{m+n}$
○ 正：$\vec{p} = \dfrac{n\vec{a} + m\vec{b}}{m+n}$（$\vec{a}$ には $n$ が、$\vec{b}$ には $m$ がかかる）
入試で最も多い間違いがこの「あべこべ」です。覚え方：「$\text{A}$ の位置ベクトルには、$\text{B}$ 側の比 $n$ をかける」。迷ったら $1:0$ の極端な場合を代入して確認しましょう。$n = 0$ なら $\text{P} = \text{B}$ になるはずです。
線分 $\text{AB}$ を $m : n$ に外分する点 $\text{Q}$ とは、直線 $\text{AB}$ 上で線分 $\text{AB}$ の外側にあり、$\text{AQ} : \text{QB} = m : n$ を満たす点です（ただし $m \neq n$）。
2点 $\text{A}(\vec{a})$, $\text{B}(\vec{b})$ を結ぶ線分を $m : n$（$m \neq n$）に外分する点 $\text{Q}$ の位置ベクトルは：
$$\vec{q} = \frac{-n\vec{a} + m\vec{b}}{m - n}$$
※ 内分公式の $n$ を $-n$ に置き換えた形です。分母も $m + n$ から $m - n$ に変わります。
外分公式は内分公式と別個に覚える必要はありません。内分公式で「$n$ を $-n$ に置き換える」と機械的に得られます。なぜそうなるのでしょうか。
外分点は、内分の比の片方を負の数として解釈したものです。$m : n$ に外分するとは、$m : (-n)$ に内分すると見なせます。
内分公式 $\vec{p} = \dfrac{n\vec{a} + m\vec{b}}{m+n}$ で $n$ を $-n$ に置き換えれば、そのまま外分公式が得られます。つまり公式は一つで十分なのです。
例えば、$\text{A}(\vec{a})$, $\text{B}(\vec{b})$ を $3 : 1$ に外分する点は：
$$\vec{q} = \frac{-1 \cdot \vec{a} + 3\vec{b}}{3 - 1} = \frac{-\vec{a} + 3\vec{b}}{2}$$
この点は $\text{B}$ の向こう側（$\text{A}$ から見て $\text{B}$ を超えた位置）にあります。
✗ 誤：$2 : 2$ に外分する点を求めよう → $\dfrac{-2\vec{a} + 2\vec{b}}{0}$（ゼロ除算！）
○ 正：$m = n$ のとき外分点は存在しない（直線上の無限遠点に対応する）
$m : n$ に外分するとき、$m = n$ では分母が $0$ になります。これは点が無限遠に飛んでしまうことを意味し、外分点は定義されません。
直線 $\text{AB}$ 上の任意の点 $\text{P}$ は、パラメータ $t$ を用いて次のように表せます：
$$\vec{p} = (1 - t)\vec{a} + t\vec{b}$$
$0 < t < 1$ ならば $\text{P}$ は線分 $\text{AB}$ 上（内分点）、$t < 0$ や $t > 1$ ならば線分の外側（外分点）に位置します。$t = \dfrac{m}{m+n}$ とおけば内分公式に、$t = \dfrac{m}{m-n}$ とおけば外分公式に一致します。
$\vec{p} = s\vec{a} + t\vec{b}$（$s + t = 1$）という表現は、大学数学ではアフィン結合と呼ばれます。$s, t \ge 0$ の場合が内分点（凸結合）、それ以外が外分点に対応します。この考え方を3点以上に拡張すると「重心座標」が得られ、コンピュータグラフィクスでの三角形の内部判定などに広く応用されています。
内分公式で $m = n = 1$（つまり $1 : 1$ に内分）とすると、中点の公式が得られます。
2点 $\text{A}(\vec{a})$, $\text{B}(\vec{b})$ の中点 $\text{M}$ の位置ベクトルは：
$$\vec{m} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}$$
この公式は座標幾何で学んだ「中点の座標 $= \left(\dfrac{x_1 + x_2}{2},\;\dfrac{y_1 + y_2}{2}\right)$」のベクトル版であり、成分ごとに平均を取る操作に対応しています。
中点の公式を3点に拡張したのが重心の公式です。三角形 $\text{ABC}$ の重心 $\text{G}$ は各頂点と対辺の中点を結ぶ線分（中線）の交点であり、各中線を $2 : 1$ に内分します。
$$\vec{g} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3}$$
※ 3つの位置ベクトルの「算術平均」です。中点が2点の平均なら、重心は3点の平均といえます。
辺 $\text{BC}$ の中点を $\text{M}$ とすると $\vec{m} = \dfrac{\vec{b} + \vec{c}}{2}$ です。
重心 $\text{G}$ は線分 $\text{AM}$ を $2 : 1$ に内分する点なので：
$$\vec{g} = \frac{1 \cdot \vec{a} + 2 \cdot \vec{m}}{2 + 1} = \frac{\vec{a} + 2 \cdot \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2}}{3} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3}$$
同様に、辺 $\text{AB}$ の中点や辺 $\text{CA}$ の中点を使って計算しても同じ結果が得られ、3本の中線が1点で交わることの証明にもなっています。
✗ 誤：重心は頂点から対辺の中点への中線を $1 : 2$ に内分する
○ 正：重心は頂点側から $2 : 1$ に内分する（頂点から $\frac{2}{3}$ の位置）
比の向きを間違えやすいポイントです。重心は中線の「頂点寄り $\frac{2}{3}$」に位置します。逆に言えば、対辺の中点から $\frac{1}{3}$ の位置です。
分点公式を「暗記する公式」ではなく「導ける公式」にするために、内分公式の導出過程を丁寧にたどりましょう。
原点を $\text{O}$ とし、$\text{A}(\vec{a})$, $\text{B}(\vec{b})$ とします。線分 $\text{AB}$ を $m : n$ に内分する点 $\text{P}$ を求めます。
Step 1： 内分の条件をベクトルで表す。
$\text{AP} : \text{PB} = m : n$ より、$\overrightarrow{\text{AP}} = \dfrac{m}{m+n}\overrightarrow{\text{AB}}$
Step 2： $\vec{p}$ を求める。
$$\vec{p} = \vec{a} + \overrightarrow{\text{AP}} = \vec{a} + \frac{m}{m+n}\overrightarrow{\text{AB}}$$
$$= \vec{a} + \frac{m}{m+n}(\vec{b} - \vec{a})$$
$$= \vec{a} - \frac{m}{m+n}\vec{a} + \frac{m}{m+n}\vec{b}$$
$$= \frac{m+n-m}{m+n}\vec{a} + \frac{m}{m+n}\vec{b} = \frac{n\vec{a} + m\vec{b}}{m+n}$$
分点公式の導出で最も重要なのは、$\overrightarrow{\text{AP}} = \dfrac{m}{m+n}\overrightarrow{\text{AB}}$ という関係です。$\text{P}$ が $\text{A}$ から $\text{B}$ に向かって全体の $\dfrac{m}{m+n}$ だけ進んだ位置にあるという、幾何学的に自然な事実からスタートしています。
公式を忘れても、この出発点さえ思い出せば何度でも導出できます。
もう一つの導出法として、$\text{AP} : \text{PB} = m : n$ を等式に直す方法があります。
$n \cdot \overrightarrow{\text{AP}} = m \cdot \overrightarrow{\text{PB}}$ と書けるので：
$$n(\vec{p} - \vec{a}) = m(\vec{b} - \vec{p})$$
$$n\vec{p} - n\vec{a} = m\vec{b} - m\vec{p}$$
$$(m + n)\vec{p} = n\vec{a} + m\vec{b}$$
$$\vec{p} = \frac{n\vec{a} + m\vec{b}}{m + n}$$
この方法は、比の条件からベクトルの等式を立てて解くという、入試でも汎用性の高いテクニックです。
✗ 誤：$\text{AP} : \text{PB} = m : n$ から $m \cdot \overrightarrow{\text{AP}} = n \cdot \overrightarrow{\text{PB}}$ とする
○ 正：$n \cdot \overrightarrow{\text{AP}} = m \cdot \overrightarrow{\text{PB}}$（「たすき掛け」の関係）
$\dfrac{\text{AP}}{\text{PB}} = \dfrac{m}{n}$ より $n \cdot \text{AP} = m \cdot \text{PB}$ です。比の式を等式に直すときの「たすき掛け」を忘れないでください。
分点公式は単なる計算道具ではなく、図形の性質を証明する強力な武器です。ここでは分点公式の幾何学的な見方を深めます。
内分点公式 $\vec{p} = \dfrac{n\vec{a} + m\vec{b}}{m+n}$ は、次のように書き直せます：
$$\vec{p} = \frac{n}{m+n}\vec{a} + \frac{m}{m+n}\vec{b}$$
ここで $\dfrac{n}{m+n} + \dfrac{m}{m+n} = 1$ です。つまり、内分点は $\vec{a}$ と $\vec{b}$ の重み付き平均（加重平均）として表されています。
三角形の3本の中線が1点で交わることは、分点公式を使えば美しく証明できます。辺 $\text{BC}$, $\text{CA}$, $\text{AB}$ の中点をそれぞれ $\text{M}_1$, $\text{M}_2$, $\text{M}_3$ とすると、中線 $\text{AM}_1$ を $2 : 1$ に内分する点は $\dfrac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3}$ です。同様に $\text{BM}_2$, $\text{CM}_3$ を $2 : 1$ に内分する点も同じベクトルになるため、3本の中線は確かに1点で交わります。
物理では、質量 $m$ の質点 $\text{A}$ と質量 $n$ の質点 $\text{B}$ の重心の位置が、まさに内分公式 $\dfrac{n\vec{a} + m\vec{b}}{m+n}$ で与えられます。ただし注意：物理の重心公式は $\dfrac{m\vec{a} + n\vec{b}}{m+n}$ と書かれることが多く、「質量が大きい方に重心が寄る」ため係数の対応が数学とは逆です。数学の内分公式は「比 $m$ 側の点 $\text{B}$ に寄る」という意味なので、結果的に同じことを異なる記法で表しています。
✗ 誤：すべての図形問題で座標を設定して成分計算する
○ 正：分点公式を使えば、座標を設定せずにベクトルだけで解ける問題が多い
座標を設定すると計算量が増え、解答の見通しが悪くなることがあります。位置ベクトルと分点公式だけで処理する方が、はるかにエレガントで高速な場合が多いです。
$n$ 個の点 $\text{A}_1(\vec{a}_1), \text{A}_2(\vec{a}_2), \ldots, \text{A}_n(\vec{a}_n)$ の重心は：
$$\vec{g} = \frac{\vec{a}_1 + \vec{a}_2 + \cdots + \vec{a}_n}{n}$$
中点（$n = 2$）、三角形の重心（$n = 3$）は、この一般公式の特殊ケースです。四面体の重心（$n = 4$）なども同じ形で表されます。
各点に異なる重み $w_1, w_2, \ldots, w_n$（$w_i > 0$, $\sum w_i = 1$）を与えた $\vec{g} = w_1\vec{a}_1 + w_2\vec{a}_2 + \cdots + w_n\vec{a}_n$ は凸結合と呼ばれ、点は必ず元の点を頂点とする凸包の内部に位置します。機械学習における「期待値」もこの構造を持っており、確率が重みに対応しています。
Q1. $\text{A}(\vec{a})$, $\text{B}(\vec{b})$ を $2 : 3$ に内分する点 $\text{P}$ の位置ベクトルは？
Q2. $\text{A}(\vec{a})$, $\text{B}(\vec{b})$ を $3 : 1$ に外分する点 $\text{Q}$ の位置ベクトルは？
Q3. 三角形 $\text{ABC}$ の重心 $\text{G}$ は中線 $\text{AM}$（$\text{M}$ は $\text{BC}$ の中点）をどのような比に内分するか？
Q4. 直線 $\text{AB}$ 上の点 $\text{P}$ が $\vec{p} = (1-t)\vec{a} + t\vec{b}$ と表されるとき、$t = \frac{3}{4}$ ならば $\text{P}$ は $\text{AB}$ をどのような比に内分するか？
Q5. 内分公式の導出で、出発点となるベクトルの関係式は何か？
$\triangle\text{ABC}$ において、辺 $\text{AB}$ を $1 : 2$ に内分する点を $\text{D}$、辺 $\text{AC}$ を $2 : 1$ に内分する点を $\text{E}$ とする。線分 $\text{DE}$ の中点 $\text{M}$ の位置ベクトルを $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ で表せ。
$\vec{d} = \dfrac{2\vec{a} + 1 \cdot \vec{b}}{1 + 2} = \dfrac{2\vec{a} + \vec{b}}{3}$
$\vec{e} = \dfrac{1 \cdot \vec{a} + 2\vec{c}}{2 + 1} = \dfrac{\vec{a} + 2\vec{c}}{3}$
$\text{M}$ は $\text{DE}$ の中点なので：
$$\vec{m} = \frac{\vec{d} + \vec{e}}{2} = \frac{1}{2}\left(\frac{2\vec{a} + \vec{b}}{3} + \frac{\vec{a} + 2\vec{c}}{3}\right) = \frac{3\vec{a} + \vec{b} + 2\vec{c}}{6} = \frac{\vec{a}}{2} + \frac{\vec{b}}{6} + \frac{\vec{c}}{3}$$
$\triangle\text{ABC}$ の辺 $\text{BC}$ を $2 : 1$ に内分する点を $\text{D}$ とし、線分 $\text{AD}$ を $3 : 2$ に内分する点を $\text{P}$ とする。
(1) $\vec{p}$ を $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ で表せ。
(2) 直線 $\text{BP}$ と辺 $\text{AC}$ の交点 $\text{E}$ が $\text{AC}$ をどのような比に内分するか求めよ。
(1) $\vec{d} = \dfrac{1 \cdot \vec{b} + 2\vec{c}}{3} = \dfrac{\vec{b} + 2\vec{c}}{3}$
$$\vec{p} = \frac{2\vec{a} + 3\vec{d}}{5} = \frac{2\vec{a} + 3 \cdot \frac{\vec{b} + 2\vec{c}}{3}}{5} = \frac{2\vec{a} + \vec{b} + 2\vec{c}}{5}$$
(2) $\text{E}$ は直線 $\text{AC}$ 上なので $\vec{e} = (1-s)\vec{a} + s\vec{c}$（$0 \le s \le 1$）と表せます。
また $\text{E}$ は直線 $\text{BP}$ 上なので $\vec{e} = (1-t)\vec{b} + t\vec{p}$ とも表せます。
$\vec{p} = \dfrac{2\vec{a} + \vec{b} + 2\vec{c}}{5}$ を代入して：
$$\vec{e} = (1-t)\vec{b} + t \cdot \frac{2\vec{a} + \vec{b} + 2\vec{c}}{5} = \frac{2t}{5}\vec{a} + \left(1 - t + \frac{t}{5}\right)\vec{b} + \frac{2t}{5}\vec{c}$$
$$= \frac{2t}{5}\vec{a} + \frac{5 - 4t}{5}\vec{b} + \frac{2t}{5}\vec{c}$$
$\text{E}$ が直線 $\text{AC}$ 上にあるためには $\vec{b}$ の係数が $0$ でなければなりません：
$\dfrac{5 - 4t}{5} = 0$ より $t = \dfrac{5}{4}$
このとき $\vec{e} = \dfrac{2 \cdot \frac{5}{4}}{5}\vec{a} + \dfrac{2 \cdot \frac{5}{4}}{5}\vec{c} = \dfrac{1}{2}\vec{a} + \dfrac{1}{2}\vec{c}$
よって $\text{E}$ は $\text{AC}$ の中点、すなわち $\text{AC}$ を $1 : 1$ に内分します。
$\triangle\text{ABC}$ において、辺 $\text{BC}$ を $3 : 1$ に外分する点を $\text{D}$、辺 $\text{AB}$ の中点を $\text{M}$ とする。直線 $\text{DM}$ と直線 $\text{AC}$ の交点 $\text{E}$ の位置ベクトルを求めよ。
$\vec{d} = \dfrac{-1 \cdot \vec{b} + 3\vec{c}}{3 - 1} = \dfrac{-\vec{b} + 3\vec{c}}{2}$
$\vec{m} = \dfrac{\vec{a} + \vec{b}}{2}$
直線 $\text{DM}$ 上の点は $\vec{r} = (1-t)\vec{d} + t\vec{m}$ と表せます。
$$\vec{r} = (1-t)\frac{-\vec{b} + 3\vec{c}}{2} + t\frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}$$
$$= \frac{t}{2}\vec{a} + \frac{-(1-t) + t}{2}\vec{b} + \frac{3(1-t)}{2}\vec{c} = \frac{t}{2}\vec{a} + \frac{2t-1}{2}\vec{b} + \frac{3(1-t)}{2}\vec{c}$$
$\text{E}$ が直線 $\text{AC}$ 上にあるとき、$\vec{b}$ の係数 $= 0$：
$\dfrac{2t - 1}{2} = 0$ より $t = \dfrac{1}{2}$
$$\vec{e} = \frac{1}{4}\vec{a} + 0 \cdot \vec{b} + \frac{3}{4}\vec{c} = \frac{\vec{a} + 3\vec{c}}{4}$$
これは $\text{AC}$ を $3 : 1$ に内分する点です。
$\triangle\text{ABC}$ において、辺 $\text{AB}$ を $s : (1-s)$（$0 < s < 1$）に内分する点を $\text{P}$、辺 $\text{AC}$ を $t : (1-t)$（$0 < t < 1$）に内分する点を $\text{Q}$ とする。
(1) $\overrightarrow{\text{AP}}$ と $\overrightarrow{\text{AQ}}$ を $\overrightarrow{\text{AB}}$, $\overrightarrow{\text{AC}}$ で表せ。
(2) $\triangle\text{APQ}$ の面積と $\triangle\text{ABC}$ の面積の比を $s, t$ で表せ。
(3) 直線 $\text{BQ}$ と直線 $\text{CP}$ の交点を $\text{R}$ とするとき、$\triangle\text{APQ}$, $\triangle\text{BPR}$, $\triangle\text{CQR}$, $\triangle\text{PQR}$ の面積比が $\triangle\text{ABC}$ の面積に対してどうなるか、$s = t = \frac{1}{2}$ の場合に求めよ。
(1) $\overrightarrow{\text{AP}} = s\overrightarrow{\text{AB}}$、$\overrightarrow{\text{AQ}} = t\overrightarrow{\text{AC}}$
(2) $\triangle\text{APQ}$ と $\triangle\text{ABC}$ は頂点 $\text{A}$ を共有し、$\text{AP} = s \cdot \text{AB}$, $\text{AQ} = t \cdot \text{AC}$ なので：
$$\frac{\triangle\text{APQ}}{\triangle\text{ABC}} = \frac{\text{AP}}{\text{AB}} \cdot \frac{\text{AQ}}{\text{AC}} \cdot \frac{\sin\angle\text{A}}{\sin\angle\text{A}} = st$$
(3) $s = t = \dfrac{1}{2}$ のとき、$\text{P}$, $\text{Q}$ はそれぞれ $\text{AB}$, $\text{AC}$ の中点です。
$\text{PQ}$ は中点連結定理より $\text{BC}$ に平行で $\text{PQ} = \dfrac{1}{2}\text{BC}$
直線 $\text{BQ}$ と直線 $\text{CP}$ の交点 $\text{R}$ は $\triangle\text{ABC}$ の重心 $\text{G}$ に一致します。
$\triangle\text{APQ} : \triangle\text{ABC} = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4}$
$\text{R}（= \text{G}$）は中線上にあり、対称性から $\triangle\text{BPR} = \triangle\text{CQR}$
$\triangle\text{BPG}$ について、$\text{P}$ は $\text{AB}$ の中点、$\text{G}$ は重心なので、計算すると $\triangle\text{BPG} = \dfrac{1}{6}\triangle\text{ABC}$
同様に $\triangle\text{CQG} = \dfrac{1}{6}\triangle\text{ABC}$
残りの $\triangle\text{PQR}$ は $\triangle\text{ABC} - \triangle\text{APQ} - \triangle\text{BPR} - \triangle\text{CQR} = 1 - \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{6} - \dfrac{1}{6} = \dfrac{5}{12}$ ではなく、再計算すると：
$\triangle\text{PQG} = \triangle\text{ABC} - \triangle\text{APQ} - \triangle\text{BPG} - \triangle\text{CQG} = 1 - \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{6} - \dfrac{1}{6} = \dfrac{5}{12}$ ではないので、正確に計算します。
重心 $\text{G}$ は各中線を $2:1$ に内分するので、$\triangle\text{BGP}$ は $\vec{b}$, $\vec{g} = \frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{3}$, $\vec{p} = \frac{\vec{a}+\vec{b}}{2}$ を頂点とします。面積比の計算により $\triangle\text{BPG} = \frac{1}{12}\triangle\text{ABC}$、$\triangle\text{CQG} = \frac{1}{12}\triangle\text{ABC}$、$\triangle\text{PQG} = \frac{1}{6}\triangle\text{ABC}$ となります。
最終結果：$\triangle\text{APQ} : \triangle\text{BPR} : \triangle\text{CQR} : \triangle\text{PQR} = 3 : 1 : 1 : 2$（$\triangle\text{ABC}$ の $\frac{1}{4} : \frac{1}{12} : \frac{1}{12} : \frac{1}{6}$）
面積比の問題では、共通頂点をもつ三角形の面積比が辺の比に帰着することを利用します。(2) の $st$ という結果は非常に汎用性が高く、2辺上に内分点をとった三角形の面積比を即座に求められます。