平面ベクトルで威力を発揮した内積は、空間ベクトルでも全く同じように使えます。成分が3つになっても、角度の計算、垂直条件の判定、正射影への応用といった内積の役割は変わりません。ここでは空間における内積の計算方法と、空間特有のテーマである方向余弦について学びます。
空間の2点 $\mathrm{A}(a_1, a_2, a_3)$, $\mathrm{B}(b_1, b_2, b_3)$ に対して、ベクトル $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ の成分は平面の場合と同じく「終点 - 始点」です。
$$\overrightarrow{\mathrm{AB}} = (b_1 - a_1,\; b_2 - a_2,\; b_3 - a_3)$$
※ 平面の $(b_1-a_1, b_2-a_2)$ に $z$ 成分 $b_3 - a_3$ を加えただけです。
成分表示の意味は「$x$ 方向にいくつ、$y$ 方向にいくつ、$z$ 方向にいくつ進むか」です。始点をどこに置いても、同じ方向に同じ量だけ進むベクトルは同じベクトルとみなします。
✗ 誤：$\overrightarrow{\mathrm{AB}} = (a_1-b_1, a_2-b_2, a_3-b_3)$（始点の座標を先に書く）
○ 正：$\overrightarrow{\mathrm{AB}} = (b_1-a_1, b_2-a_2, b_3-a_3)$（終点 $-$ 始点）
「$\mathrm{A}$ から $\mathrm{B}$ へ」のベクトルなので $\mathrm{B}$ の座標から $\mathrm{A}$ の座標を引きます。逆にすると向きが反対になります。
$\vec{a} = (a_1, a_2, a_3)$ と $\vec{b} = (b_1, b_2, b_3)$ が平行（$\vec{a} \parallel \vec{b}$）であるとは、$\vec{b} = k\vec{a}$（実数 $k$）が成り立つこと、すなわち各成分の比が等しいことです。
$$\frac{b_1}{a_1} = \frac{b_2}{a_2} = \frac{b_3}{a_3} = k \quad (\text{ただし } a_i \neq 0)$$
成分に $0$ が含まれる場合は比の表記に注意が必要で、$\vec{b} = k\vec{a}$ の形で確認するのが確実です。
空間ベクトルの内積の定義も、平面のときと全く同じ構造です。幾何的な定義（角度を使うもの）と成分による計算法の2つがあり、両者が一致することが本質です。
幾何的定義：$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$（$\theta$ は $\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角）
成分計算：$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3$
※ 平面の $a_1 b_1 + a_2 b_2$ に $a_3 b_3$ の項が加わっただけです。
「各成分の積を足し合わせる」という操作が「角度情報を取り出す」のは、2次元でも3次元でも変わりません。これは余弦定理 $|\vec{a}-\vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$ から自然に導かれ、成分数がいくつであっても成り立ちます。
$|\vec{a}-\vec{b}|^2 = (a_1-b_1)^2 + (a_2-b_2)^2 + (a_3-b_3)^2$
$= a_1^2+a_2^2+a_3^2 + b_1^2+b_2^2+b_3^2 - 2(a_1 b_1+a_2 b_2+a_3 b_3)$
$= |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2(a_1 b_1+a_2 b_2+a_3 b_3)$
一方、余弦定理より $|\vec{a}-\vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2-2|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$
比較して $a_1 b_1+a_2 b_2+a_3 b_3 = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$ が得られます。
空間ベクトルの内積も、平面と同じ性質を持ちます。
✗ 誤：$\vec{e}_1 \cdot \vec{e}_2 = 1$（基本ベクトル同士の内積は $1$）
○ 正：$\vec{e}_i \cdot \vec{e}_j = \begin{cases} 1 & (i = j) \\ 0 & (i \neq j) \end{cases}$
基本ベクトル $\vec{e}_1, \vec{e}_2, \vec{e}_3$ は互いに垂直で大きさ $1$ です。異なる基本ベクトル同士の内積は $0$ です。
空間では2つのベクトルのなす角を目で見て測ることが難しいため、内積による計算がとりわけ重要になります。
$$\cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|} = \frac{a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3}{\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}\;\sqrt{b_1^2+b_2^2+b_3^2}}$$
垂直条件：$\vec{a} \perp \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \Leftrightarrow a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 = 0$
※ なす角 $\theta$ は $0 \le \theta \le \pi$ の範囲で定めます。
$a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 = 0$ は、各座標軸方向の「投影の積」が打ち消し合っていることを意味します。直感的には、$\vec{a}$ が右に進む分と $\vec{b}$ が右に進む分、上に進む分…をかけ合わせて全て足すとゼロになる ── つまり「全体として向きの一致度がゼロ」ということです。
平面では2つのベクトルのなす角さえ分かればよかったのですが、空間では2つの直線のなす角という概念も重要です。2直線の方向ベクトルを $\vec{d}_1, \vec{d}_2$ とすると、2直線のなす角 $\alpha$（$0 \le \alpha \le \dfrac{\pi}{2}$）は：
$$\cos\alpha = \frac{|\vec{d}_1 \cdot \vec{d}_2|}{|\vec{d}_1||\vec{d}_2|}$$
$\cos\theta$ でなく $|\cos\theta|$ をとるのは、方向ベクトルの向きによって $\theta$ が鋭角にも鈍角にもなりうるためです。2直線のなす角は常に $0$ 以上 $\dfrac{\pi}{2}$ 以下と約束します。
✗ 誤：2直線のなす角を $\cos\theta = \dfrac{\vec{d}_1 \cdot \vec{d}_2}{|\vec{d}_1||\vec{d}_2|}$ で求める（$\cos\theta < 0$ のまま使う）
○ 正：$\cos\alpha = \dfrac{|\vec{d}_1 \cdot \vec{d}_2|}{|\vec{d}_1||\vec{d}_2|}$ と絶対値をとる（2直線のなす角は鋭角側）
ベクトルのなす角は $0 \le \theta \le \pi$ ですが、直線のなす角は $0 \le \alpha \le \dfrac{\pi}{2}$ です。答えが鈍角になったら $\pi - \theta$ とするか、最初から絶対値をとりましょう。
空間ベクトル $\vec{a} = (a_1, a_2, a_3)$ が各座標軸の正方向となす角を $\alpha, \beta, \gamma$ とすると、$\cos\alpha, \cos\beta, \cos\gamma$ を $\vec{a}$ の方向余弦と呼びます。
$$\cos\alpha = \frac{a_1}{|\vec{a}|}, \quad \cos\beta = \frac{a_2}{|\vec{a}|}, \quad \cos\gamma = \frac{a_3}{|\vec{a}|}$$
重要な性質：$\cos^2\alpha + \cos^2\beta + \cos^2\gamma = 1$
※ 方向余弦は、$\vec{a}$ の単位ベクトル $\hat{a} = \dfrac{\vec{a}}{|\vec{a}|}$ の成分そのものです。
$$\cos^2\alpha + \cos^2\beta + \cos^2\gamma = \frac{a_1^2}{|\vec{a}|^2} + \frac{a_2^2}{|\vec{a}|^2} + \frac{a_3^2}{|\vec{a}|^2} = \frac{a_1^2+a_2^2+a_3^2}{|\vec{a}|^2} = 1$$
これは単位ベクトルの大きさが $1$ であること $|\hat{a}| = 1$ と同じことです。
方向余弦 $(\cos\alpha, \cos\beta, \cos\gamma)$ は、ベクトルの「大きさ」を取り除いた「純粋な向き」の情報です。大きさ $r$ のベクトルの成分は $(r\cos\alpha, r\cos\beta, r\cos\gamma)$ と書けるので、向きと大きさを分離して扱えます。
これは極座標（2次元で $r, \theta$ を使ったもの）の3次元版に相当します。
✗ 誤：方向余弦の和が $1$
○ 正：方向余弦の2乗の和が $1$
$\cos\alpha + \cos\beta + \cos\gamma = 1$ は一般には成り立ちません。成り立つのは2乗の和です。
大学の物理学や数学では、方向を2つの角度 $(\theta, \phi)$ で表す球面座標系がよく使われます。方向余弦は $(\sin\theta\cos\phi, \sin\theta\sin\phi, \cos\theta)$ と書け、単位球面上の点と1対1に対応します。3DCGの光源計算や物理のシミュレーションで必須の概念です。
平面で学んだ正射影ベクトルは、空間でも全く同じ公式で使えます。空間ではさらに「2つのベクトルに垂直なベクトル」を求める問題も頻出です。
公式は平面と同じです。$\vec{b}$ の $\vec{a}$ 方向への正射影ベクトルは：
$$\text{proj}_{\vec{a}}\vec{b} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}|^2}\vec{a}$$
空間では、与えられた2つのベクトル $\vec{a}, \vec{b}$ の両方に垂直なベクトル $\vec{n}$ を求める問題がしばしば出題されます。$\vec{n} = (x, y, z)$ として $\vec{a} \cdot \vec{n} = 0$ かつ $\vec{b} \cdot \vec{n} = 0$ の連立方程式を解きます。
$\vec{a} = (a_1, a_2, a_3)$, $\vec{b} = (b_1, b_2, b_3)$ に対して、
$$a_1 x + a_2 y + a_3 z = 0 \quad \text{かつ} \quad b_1 x + b_2 y + b_3 z = 0$$
2つの方程式に未知数3つなので、1つのパラメータ分の自由度が残ります。つまり「$\vec{a}$ と $\vec{b}$ の両方に垂直なベクトル」は、方向は一意ですが、大きさは自由に選べます。
$\vec{a} = (a_1, a_2, a_3)$, $\vec{b} = (b_1, b_2, b_3)$ の両方に垂直なベクトルの一つは：
$$\vec{n} = (a_2 b_3 - a_3 b_2,\; a_3 b_1 - a_1 b_3,\; a_1 b_2 - a_2 b_1)$$
※ これは大学で学ぶ外積 $\vec{a} \times \vec{b}$ の成分そのものです。高校では連立方程式で求めますが、この公式を覚えると計算が速くなります。
✗ 誤：$\vec{a}$ と $\vec{b}$ に垂直なベクトルは1つしかない
○ 正：方向は一意（2方向）だが、大きさは任意。$k\vec{n}$（$k \neq 0$）は全て垂直
問題で「大きさ $1$ の」「成分が整数の」などの追加条件がついている場合は、それに合わせて調整しましょう。
$\vec{a} \times \vec{b}$ の大きさ $|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta$ は、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ が張る平行四辺形の面積です。内積が「向きの一致度」を表すのに対し、外積は「どれだけ異なる方向を向いているか（面積的な広がり）」を表しています。
Q1. $\vec{a} = (1, 2, -1)$, $\vec{b} = (3, -1, 2)$ の内積は？
Q2. $\vec{a} = (2, -1, 2)$ と $x$ 軸の正方向のなす角の余弦は？
Q3. $\vec{a} = (1, 1, 0)$, $\vec{b} = (0, 1, 1)$ のなす角 $\theta$ を求めよ。
Q4. 方向余弦 $(\cos\alpha, \cos\beta, \cos\gamma)$ が満たす等式は？
Q5. $\vec{a} = (1, 0, 1)$, $\vec{b} = (0, 1, 1)$ の両方に垂直な単位ベクトルは？
$\vec{a} = (2, 1, -2)$, $\vec{b} = (1, -2, 2)$ とする。$\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角 $\theta$ を求めよ。また $\vec{a}+\vec{b}$ と $\vec{a}-\vec{b}$ が垂直であるかどうか判定せよ。
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 2-2-4 = -4$、$|\vec{a}| = \sqrt{4+1+4} = 3$、$|\vec{b}| = \sqrt{1+4+4} = 3$
$\cos\theta = \dfrac{-4}{9}$ より $\theta = \arccos\!\left(-\dfrac{4}{9}\right)$（$\theta$ は鈍角）
$\vec{a}+\vec{b} = (3, -1, 0)$, $\vec{a}-\vec{b} = (1, 3, -4)$
$(\vec{a}+\vec{b}) \cdot (\vec{a}-\vec{b}) = 3-3+0 = 0$
よって $\vec{a}+\vec{b} \perp \vec{a}-\vec{b}$（垂直である）。
（これは $|\vec{a}| = |\vec{b}| = 3$ の場合に $|\vec{a}+\vec{b}|$ と $|\vec{a}-\vec{b}|$ が菱形の対角線になるため、一般に成立。）
ベクトル $\vec{a}$ が3つの座標軸の正方向となす角を $\alpha, \beta, \gamma$ とする。$\cos\alpha = \dfrac{1}{3}$, $\cos\beta = \dfrac{2}{3}$ のとき、$\cos\gamma$ を求めよ。また $|\vec{a}| = 6$ のとき $\vec{a}$ の成分を求めよ。
$\cos^2\alpha + \cos^2\beta + \cos^2\gamma = 1$ より
$\dfrac{1}{9} + \dfrac{4}{9} + \cos^2\gamma = 1$、$\cos^2\gamma = \dfrac{4}{9}$
$\cos\gamma = \pm\dfrac{2}{3}$
$|\vec{a}| = 6$ のとき：$\vec{a} = 6\left(\dfrac{1}{3}, \dfrac{2}{3}, \pm\dfrac{2}{3}\right) = (2, 4, \pm 4)$
$\vec{a} = (1, 2, 3)$, $\vec{b} = (2, -1, 1)$ の両方に垂直で、大きさが $\sqrt{14}$ であるベクトル $\vec{n}$ を全て求めよ。
$\vec{n} = (x, y, z)$ とする。
$\vec{a} \cdot \vec{n} = 0$：$x + 2y + 3z = 0$ …①
$\vec{b} \cdot \vec{n} = 0$：$2x - y + z = 0$ …②
②より $y = 2x + z$。①に代入：$x + 2(2x+z) + 3z = 0$、$5x + 5z = 0$、$z = -x$
$y = 2x + (-x) = x$。よって $\vec{n} = x(1, 1, -1)$
$|\vec{n}| = |x|\sqrt{3} = \sqrt{14}$ とはならない…
外積公式で再計算：$\vec{n}_0 = (2 \cdot 1 - 3 \cdot (-1),\; 3 \cdot 2 - 1 \cdot 1,\; 1 \cdot (-1) - 2 \cdot 2) = (5, 5, -5)$
$|\vec{n}_0| = 5\sqrt{3}$。$|\vec{n}| = \sqrt{14}$ とするには $\vec{n} = \pm\dfrac{\sqrt{14}}{5\sqrt{3}} \cdot (5, 5, -5) = \pm\dfrac{\sqrt{14}}{\sqrt{3}}(1, 1, -1)$
$= \pm\dfrac{\sqrt{42}}{3}(1, 1, -1)$
よって $\vec{n} = \pm\left(\dfrac{\sqrt{42}}{3},\; \dfrac{\sqrt{42}}{3},\; -\dfrac{\sqrt{42}}{3}\right)$
四面体 $\mathrm{OABC}$ で $\overrightarrow{\mathrm{OA}} = \vec{a}$, $\overrightarrow{\mathrm{OB}} = \vec{b}$, $\overrightarrow{\mathrm{OC}} = \vec{c}$ とし、$|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = 2$, $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{c} = \vec{c} \cdot \vec{a} = 1$ とする。
(1) 辺 $\mathrm{AB}$, $\mathrm{BC}$, $\mathrm{CA}$ の長さを求めよ。
(2) $\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}$ を求め、$\angle\mathrm{BAC}$ の余弦を求めよ。
(3) $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ と $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ のなす角を求めよ。
(1) $|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|^2 = |\vec{b}-\vec{a}|^2 = |\vec{b}|^2 - 2\vec{a}\cdot\vec{b} + |\vec{a}|^2 = 4 - 2 + 4 = 6$
$\mathrm{AB} = \sqrt{6}$。同様に $\mathrm{BC} = \sqrt{6}$, $\mathrm{CA} = \sqrt{6}$。
つまり $\triangle\mathrm{ABC}$ は一辺 $\sqrt{6}$ の正三角形。
(2) $\overrightarrow{\mathrm{AB}} = \vec{b}-\vec{a}$, $\overrightarrow{\mathrm{AC}} = \vec{c}-\vec{a}$
$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}} = (\vec{b}-\vec{a}) \cdot (\vec{c}-\vec{a}) = \vec{b}\cdot\vec{c} - \vec{a}\cdot\vec{c} - \vec{a}\cdot\vec{b} + |\vec{a}|^2 = 1-1-1+4 = 3$
$\cos\angle\mathrm{BAC} = \dfrac{3}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$
$\angle\mathrm{BAC} = 60°$（正三角形なので当然）
(3) $\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}} = \vec{a} \cdot (\vec{c}-\vec{b}) = \vec{a}\cdot\vec{c} - \vec{a}\cdot\vec{b} = 1-1 = 0$
よって $\overrightarrow{\mathrm{OA}} \perp \overrightarrow{\mathrm{BC}}$ で、なす角は $90°$。
$|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}|$ かつ $\vec{a}\cdot\vec{b} = \vec{b}\cdot\vec{c} = \vec{c}\cdot\vec{a}$ という対称性があるため、四面体は正三角形の底面をもちます。さらに $\overrightarrow{\mathrm{OA}} \perp \overrightarrow{\mathrm{BC}}$ が成り立つ ── 実はこの四面体は「等面四面体」（全ての面が合同な三角形）であり、対辺同士が垂直という美しい性質を持っています。