空間の直線は、平面のように $y = ax + b$ の形では書けません。代わりに「通る点と方向ベクトル」を指定して記述します。ここではベクトル方程式・媒介変数表示という直線の表現方法を学び、2直線の位置関係（平行・交わる・ねじれ）の判定法、そして点と直線の距離の計算まで進みます。
平面上の直線は「傾きと切片」で決まりましたが、空間の直線には「傾き」が定義できません。空間では直線の方向は1つの数では表せず、方向ベクトルという3成分のベクトルが必要です。
空間の直線は通る1点 $\mathrm{A}$ と方向ベクトル $\vec{d}$ の組で一意に定まります。「$\mathrm{A}$ を出発点として $\vec{d}$ 方向にまっすぐ進み続ける（前後両方に）」と考えれば、直線上の全ての点が表現できます。
これは平面の直線を「通る点と傾き」で決めることの自然な拡張です。
点 $\mathrm{A}(\vec{a})$ を通り、方向ベクトル $\vec{d}$（$\neq \vec{0}$）に平行な直線：
$$\vec{p} = \vec{a} + t\vec{d} \quad (t \text{ は実数})$$
※ $t$ が全実数を動くとき、$\vec{p}$ は直線上の全ての点を表します。$t = 0$ で $\mathrm{A}$、$t = 1$ で $\mathrm{A}$ から $\vec{d}$ だけ進んだ点です。
2点 $\mathrm{A}(\vec{a})$, $\mathrm{B}(\vec{b})$ を通る直線は、方向ベクトル $\vec{d} = \vec{b} - \vec{a} = \overrightarrow{\mathrm{AB}}$ を用いて $\vec{p} = \vec{a} + t(\vec{b}-\vec{a}) = (1-t)\vec{a} + t\vec{b}$ と書けます。$t = 0$ で $\mathrm{A}$、$t = 1$ で $\mathrm{B}$ を通り、これは内分点の公式の拡張です。
✗ 誤：「方向ベクトルが異なるから異なる直線」
○ 正：$\vec{d}$ と $k\vec{d}$（$k \neq 0$）は同じ直線の方向ベクトル
方向ベクトルをスカラー倍しても直線は変わりません。$(1, 2, 3)$ と $(2, 4, 6)$ は同じ方向を表します。2直線が同じかどうかは、方向ベクトルが平行で、かつ通る点も共有しているかを確認する必要があります。
ベクトル方程式 $\vec{p} = \vec{a} + t\vec{d}$ を成分で書くと、媒介変数（パラメータ）$t$ を用いた表示が得られます。
点 $(a_1, a_2, a_3)$ を通り、方向ベクトル $(d_1, d_2, d_3)$ の直線：
$$\begin{cases} x = a_1 + d_1 t \\ y = a_2 + d_2 t \\ z = a_3 + d_3 t \end{cases} \quad (t \text{ は実数})$$
$d_1, d_2, d_3$ がいずれも $0$ でないとき、$t$ を消去すると：
$$\frac{x - a_1}{d_1} = \frac{y - a_2}{d_2} = \frac{z - a_3}{d_3}$$
パラメータ $t$ は「点 $\mathrm{A}$ から方向 $\vec{d}$ にどれだけ進んだか」を表す数です。$t = 0$ が $\mathrm{A}$、$t > 0$ が $\vec{d}$ の向きに進んだ側、$t < 0$ が逆方向です。
この見方は物理学で「時刻 $t$ における位置」として使われ、直線上の等速運動のモデルそのものです。
✗ 誤：$d_3 = 0$ のとき $\dfrac{z-a_3}{0}$ と書いてしまう
○ 正：$d_3 = 0$ のとき、直線は $z = a_3$（定数）。比の形では書かず、$z = a_3$ を別に記述する
$\dfrac{x-a_1}{d_1} = \dfrac{y-a_2}{d_2}$, $z = a_3$ のように、$0$ でない成分だけ比の形にし、$0$ の成分に対応する座標は定数として書きます。
媒介変数表示は直線だけでなく、曲線や曲面にも使える強力な表現方法です。大学の微積分では、パラメータ $t$ を時間と見て速度ベクトル $\dfrac{d\vec{p}}{dt} = \vec{d}$（直線の場合は定数）を考えます。曲線の場合は $\vec{d}(t)$ が変化し、接線ベクトルを与えます。
平面上の2直線は「平行」か「交わる」かの2択でしたが、空間では第3の可能性ねじれの位置が加わります。これは空間特有の概念で、入試でも重要なテーマです。
直線 $\ell_1$：$\vec{p} = \vec{a}_1 + s\vec{d}_1$、直線 $\ell_2$：$\vec{p} = \vec{a}_2 + t\vec{d}_2$ について：
Step 1：$\vec{d}_1 \parallel \vec{d}_2$ か？ → Yes なら平行（一致か平行）
Step 2：平行でないとき、$\vec{a}_1 + s\vec{d}_1 = \vec{a}_2 + t\vec{d}_2$ を満たす $s, t$ が存在するか？
→ 存在すれば交わる（交点あり）、存在しなければねじれの位置
ねじれの位置とは「平行でもなく、交わりもしない」という状態です。平面上では起こりえませんが、空間では2本の直線が「異なる平面上にある」ことが可能です。
身近な例では、建物の1階の廊下と2階の廊下が直交する方向に走っている状況がねじれの位置に相当します。同じ平面上にないので、延長しても決して交わりません。
$\vec{a}_1 + s\vec{d}_1 = \vec{a}_2 + t\vec{d}_2$ を成分で書くと、未知数2つ（$s, t$）に対して方程式3本の連立方程式になります。
$$\begin{cases} a_{11} + s d_{11} = a_{21} + t d_{21} \\ a_{12} + s d_{12} = a_{22} + t d_{22} \\ a_{13} + s d_{13} = a_{23} + t d_{23} \end{cases}$$
3本のうち2本を使って $s, t$ を求め、残り1本で検証します。2本から求めた $s, t$ が3本目も満たせば交わり、満たさなければねじれです。
✗ 誤：$x, y$ 成分の2式だけで $s, t$ を求め、交点があると結論
○ 正：3式目（$z$ 成分）でも整合性を確認する必要がある
2つの式から求めた $s, t$ が3つ目の式を満たすとは限りません。ねじれの位置の2直線では、$x, y$ だけ見ると「交わる」ように見えても $z$ が合わない、ということが起こります。必ず3式全てで確認しましょう。
| 判定 | 条件 | 結論 |
|---|---|---|
| $\vec{d}_1 \parallel \vec{d}_2$ かつ共有点あり | $\vec{d}_1 = k\vec{d}_2$ かつ $\vec{a}_2 - \vec{a}_1 = m\vec{d}_1$ | 一致 |
| $\vec{d}_1 \parallel \vec{d}_2$ かつ共有点なし | $\vec{d}_1 = k\vec{d}_2$ かつ $\vec{a}_2 - \vec{a}_1 \neq m\vec{d}_1$ | 平行 |
| $\vec{d}_1 \nparallel \vec{d}_2$ かつ共有点あり | 連立方程式が3式全て整合 | 交わる |
| $\vec{d}_1 \nparallel \vec{d}_2$ かつ共有点なし | 連立方程式が3式で矛盾 | ねじれの位置 |
✗ 誤：方向ベクトルが平行なら「平行」と即答
○ 正：方向ベクトルが平行でも、通る点を共有していれば「一致」（同じ直線）
方向ベクトルが平行な場合は、一方の直線上の点が他方に含まれるかを確認しましょう。
点 $\mathrm{P}$ から直線 $\ell$ への距離は、$\mathrm{P}$ から $\ell$ に下ろした垂線の足 $\mathrm{H}$ までの距離です。正射影ベクトルを使えば $\mathrm{H}$ の位置を直接求められます。
直線 $\ell$：点 $\mathrm{A}$ を通り方向ベクトル $\vec{d}$、外部の点 $\mathrm{P}$ に対して：
垂線の足：$\overrightarrow{\mathrm{AH}} = \dfrac{\overrightarrow{\mathrm{AP}} \cdot \vec{d}}{|\vec{d}|^2}\vec{d}$
距離：$\mathrm{PH} = \left|\overrightarrow{\mathrm{AP}} - \dfrac{\overrightarrow{\mathrm{AP}} \cdot \vec{d}}{|\vec{d}|^2}\vec{d}\right|$
※ 垂線の足 $\mathrm{H}$ は $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$ の $\vec{d}$ 方向への正射影の先端です。$\overrightarrow{\mathrm{PH}}$ は $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$ から正射影を引いた残り（$\vec{d}$ に垂直な成分）です。
外積を知っていれば、より簡潔に：
$$d(\mathrm{P}, \ell) = \frac{|\overrightarrow{\mathrm{AP}} \times \vec{d}|}{|\vec{d}|}$$
$|\overrightarrow{\mathrm{AP}} \times \vec{d}|$ は $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$ と $\vec{d}$ が張る平行四辺形の面積であり、底辺 $|\vec{d}|$ で割ると高さ（= 距離）が得られます。
$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$ を直線の方向（$\vec{d}$ 方向）と垂直方向に分解したとき、垂直方向の成分の大きさが求める距離です。これは平面の場合と全く同じ原理であり、「正射影を引く」という操作で実行できます。
✗ 誤：$\overrightarrow{\mathrm{PA}}$ を正射影して距離を求める → 距離自体は同じ値だが、垂線の足の位置がずれる
○ 正：直線上の点 $\mathrm{A}$ から外部の点 $\mathrm{P}$ へ向かう $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$ を使う
距離の大きさは $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$ でも $\overrightarrow{\mathrm{PA}}$ でも同じですが、垂線の足 $\mathrm{H}$ の位置ベクトルを求める際は、$\mathrm{A}$ を起点にした方が計算が素直です。
ねじれの位置にある2直線の距離は、「両方の直線に垂直な方向に測った距離」として定義されます。これは空間幾何ならではの問題です。
ねじれの位置にある2直線 $\ell_1, \ell_2$ に対して、両方に垂直に交わる線分を共通垂線と呼び、その長さが2直線の距離です。
$\ell_1$：$\vec{a}_1 + s\vec{d}_1$、$\ell_2$：$\vec{a}_2 + t\vec{d}_2$ のとき：
$$d(\ell_1, \ell_2) = \frac{|(\vec{a}_2 - \vec{a}_1) \cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|}$$
ただし $\vec{n} = \vec{d}_1 \times \vec{d}_2$（$\vec{d}_1$ と $\vec{d}_2$ の両方に垂直なベクトル）
※ 外積を使わない場合は、$\vec{n}$ を連立方程式 $\vec{d}_1 \cdot \vec{n} = 0$, $\vec{d}_2 \cdot \vec{n} = 0$ で求めます。
$\vec{n}$ は $\ell_1$ にも $\ell_2$ にも垂直なベクトルです。$\vec{a}_2 - \vec{a}_1$（$\ell_1$ 上の点から $\ell_2$ 上の点へのベクトル）を $\vec{n}$ 方向に射影した長さが、2直線の「真の距離」です。
$(\vec{a}_2 - \vec{a}_1) \cdot \vec{n}$ は $\vec{a}_2 - \vec{a}_1$ の $\vec{n}$ 方向成分の「符号付き長さ」$\times |\vec{n}|$ なので、$|\vec{n}|$ で割ると距離が得られます。
2直線の距離は、2直線の「すき間」の大きさです。この「すき間」は両方の直線に垂直な方向にしか存在しません。だから共通垂線の方向 $\vec{n}$ を見つけ、その方向への射影の大きさを計算するのです。
高校の範囲では外積は正式には扱いません。代わりに、$\ell_1$ 上の点 $\mathrm{P}(s)$ と $\ell_2$ 上の点 $\mathrm{Q}(t)$ の距離 $|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|^2$ を $s, t$ の2変数関数と見て最小化する方法が使えます。
$|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|^2 = |(\vec{a}_2 + t\vec{d}_2) - (\vec{a}_1 + s\vec{d}_1)|^2$ を展開し、$s$ と $t$ で偏微分（= 各パラメータについての微分）して $0$ とおくことで最小値を与える $s, t$ が求まります。実際には内積条件 $\overrightarrow{\mathrm{PQ}} \cdot \vec{d}_1 = 0$ かつ $\overrightarrow{\mathrm{PQ}} \cdot \vec{d}_2 = 0$ を解くことに帰着します。
2直線の距離の公式 $\dfrac{|(\vec{a}_2-\vec{a}_1) \cdot (\vec{d}_1 \times \vec{d}_2)|}{|\vec{d}_1 \times \vec{d}_2|}$ は、分子が $\vec{a}_2-\vec{a}_1, \vec{d}_1, \vec{d}_2$ が張る平行六面体の体積、分母が底面（$\vec{d}_1$ と $\vec{d}_2$ が張る平行四辺形）の面積です。体積 $\div$ 底面積 $=$ 高さ、という直感と完全に一致します。大学では、これはスカラー三重積 $[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] = \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})$ として統一的に扱われます。
✗ 誤：平行な2直線に $\dfrac{|(\vec{a}_2-\vec{a}_1) \cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|}$ を適用 → $\vec{n} = \vec{d}_1 \times \vec{d}_2 = \vec{0}$ で分母が $0$
○ 正：平行な2直線の距離は、片方の直線上の1点から他方への「点と直線の距離」で求める
$\vec{d}_1 \parallel \vec{d}_2$ の場合は $\vec{d}_1 \times \vec{d}_2 = \vec{0}$ となり、この公式は使えません。点と直線の距離の公式に帰着しましょう。
Q1. 点 $(1, 2, 3)$ を通り方向ベクトル $(2, -1, 1)$ の直線の媒介変数表示は？
Q2. 方向ベクトルが $(1, 2, 3)$ と $(2, 4, 6)$ の2直線の位置関係は？（通る点が異なると仮定）
Q3. 2直線が「ねじれの位置」にあるとはどういうことか？
Q4. 点と直線の距離を求めるとき、$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$ のどの成分を使うか？
Q5. ねじれの位置の2直線の距離を求めるとき、$\vec{n}$ はどう決めるか？
$\mathrm{A}(1, 0, 2)$, $\mathrm{B}(3, 2, -1)$ を通る直線のベクトル方程式と媒介変数表示を求めよ。また、この直線上で $y = 6$ となる点の座標を求めよ。
方向ベクトル $\overrightarrow{\mathrm{AB}} = (2, 2, -3)$
ベクトル方程式：$\vec{p} = (1, 0, 2) + t(2, 2, -3)$
媒介変数表示：$x = 1+2t$, $y = 2t$, $z = 2-3t$
$y = 6$ のとき $2t = 6$ より $t = 3$
$x = 1+6 = 7$, $z = 2-9 = -7$
求める点は $(7, 6, -7)$
直線 $\ell_1$：$\vec{p} = (1, 0, 1) + s(1, 1, -1)$ と直線 $\ell_2$：$\vec{p} = (2, 1, 0) + t(2, 1, 1)$ の位置関係を判定せよ。交わる場合は交点を求めよ。
$\vec{d}_1 = (1,1,-1)$, $\vec{d}_2 = (2,1,1)$。$(2,1,1) \neq k(1,1,-1)$ なので平行でない。
交点条件：$(1+s, s, 1-s) = (2+2t, 1+t, t)$
$x$：$1+s = 2+2t$ → $s - 2t = 1$ …①
$y$：$s = 1+t$ → $s - t = 1$ …②
$z$：$1-s = t$ → $s + t = 1$ …③
②より $s = 1+t$。③に代入：$1+t+t = 1$ → $t = 0$、$s = 1$
①の検証：$1-0 = 1$ ✓
よって2直線は交わる。交点は $(1+1, 1, 1-1) = (2, 1, 0)$。
点 $\mathrm{P}(3, 1, 2)$ から直線 $\ell$：$\vec{p} = (1, 0, 0) + t(1, 1, 1)$ への距離を求めよ。また垂線の足 $\mathrm{H}$ の座標を求めよ。
$\mathrm{A} = (1, 0, 0)$, $\vec{d} = (1, 1, 1)$, $\overrightarrow{\mathrm{AP}} = (2, 1, 2)$
$\overrightarrow{\mathrm{AP}} \cdot \vec{d} = 2+1+2 = 5$, $|\vec{d}|^2 = 3$
正射影：$\overrightarrow{\mathrm{AH}} = \dfrac{5}{3}(1, 1, 1) = \left(\dfrac{5}{3}, \dfrac{5}{3}, \dfrac{5}{3}\right)$
$\mathrm{H} = \left(1+\dfrac{5}{3}, \dfrac{5}{3}, \dfrac{5}{3}\right) = \left(\dfrac{8}{3}, \dfrac{5}{3}, \dfrac{5}{3}\right)$
$\overrightarrow{\mathrm{PH}} = \left(\dfrac{8}{3}-3, \dfrac{5}{3}-1, \dfrac{5}{3}-2\right) = \left(-\dfrac{1}{3}, \dfrac{2}{3}, -\dfrac{1}{3}\right)$
$\mathrm{PH} = \sqrt{\dfrac{1}{9}+\dfrac{4}{9}+\dfrac{1}{9}} = \sqrt{\dfrac{6}{9}} = \dfrac{\sqrt{6}}{3}$
直線 $\ell_1$：$\vec{p} = (1, 0, 0) + s(0, 1, 0)$ と直線 $\ell_2$：$\vec{p} = (0, 0, 1) + t(1, 0, 0)$ について：
(1) 2直線がねじれの位置にあることを示せ。
(2) 2直線の距離を求めよ。
(3) 共通垂線の両端の座標を求めよ。
(1) $\vec{d}_1 = (0,1,0)$, $\vec{d}_2 = (1,0,0)$。$\vec{d}_1 \neq k\vec{d}_2$ なので平行でない。
交点条件：$(1, s, 0) = (t, 0, 1)$
$z$ 成分：$0 = 1$ → 矛盾
よって交点は存在せず、ねじれの位置。□
(2) 両方の方向ベクトルに垂直なベクトル $\vec{n}$ を求める。
$\vec{n} \cdot (0,1,0) = 0$ かつ $\vec{n} \cdot (1,0,0) = 0$ より $n_2 = 0$, $n_1 = 0$。
$\vec{n} = (0, 0, 1)$（$z$ 方向）
$\vec{a}_2 - \vec{a}_1 = (0,0,1) - (1,0,0) = (-1, 0, 1)$
$d = \dfrac{|(-1,0,1) \cdot (0,0,1)|}{|(0,0,1)|} = \dfrac{|1|}{1} = 1$
(3) $\ell_1$ 上の点 $\mathrm{P} = (1, s, 0)$, $\ell_2$ 上の点 $\mathrm{Q} = (t, 0, 1)$
$\overrightarrow{\mathrm{PQ}} = (t-1, -s, 1)$
$\overrightarrow{\mathrm{PQ}} \cdot \vec{d}_1 = -s = 0$ より $s = 0$
$\overrightarrow{\mathrm{PQ}} \cdot \vec{d}_2 = t-1 = 0$ より $t = 1$
$\mathrm{P} = (1, 0, 0)$, $\mathrm{Q} = (1, 0, 1)$
検算：$|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}| = |(0, 0, 1)| = 1$ ✓
$\ell_1$ は $x = 1$ の平面上の $y$ 軸方向の直線、$\ell_2$ は $z = 1$ の平面上の $x$ 軸方向の直線です。これらは $z$ 方向に距離 $1$ だけ離れた「ねじれ」の関係にあります。共通垂線は $z$ 軸方向であり、$(1, 0, 0)$ と $(1, 0, 1)$ を結ぶ線分です。直感的にも「$z$ 方向のずれ」がそのまま距離になっています。