数列の和を表す $\Sigma$（シグマ）記号は、数学で最も頻繁に使われる記号の一つです。$\Sigma$ の定義と基本性質（線形性）、そして $\Sigma k$, $\Sigma k^2$, $\Sigma k^3$, $\Sigma 1$ の基本公式を学びます。
数列の和を表すために、ギリシャ文字の大文字 $\Sigma$（シグマ）を使います。
$$\sum_{k=1}^{n} a_k = a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_n$$
$k$ は添字（そえじ）と呼ばれ、$k = 1$ から $k = n$ まで $1$ ずつ増やしながら $a_k$ を全て足し合わせます。
※ $\Sigma$ はギリシャ文字で英語の S（Sum＝和）に対応します。
$\displaystyle\sum_{k=1}^{5} k = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15$
$\displaystyle\sum_{k=1}^{4} k^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 = 1 + 4 + 9 + 16 = 30$
$\displaystyle\sum_{k=1}^{3} 2^k = 2^1 + 2^2 + 2^3 = 2 + 4 + 8 = 14$
$\displaystyle\sum_{k=1}^{n} 1 = \underbrace{1 + 1 + \cdots + 1}_{n \text{ 個}} = n$
$\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k^2 = \sum_{j=1}^{n} j^2 = \sum_{i=1}^{n} i^2$ はすべて同じ値を表します。添字の文字（$k$, $j$, $i$ など）は結果に影響しません。
このような変数をダミー変数（仮の変数）と呼びます。
✗ $\displaystyle\sum_{k=1}^{n} a_k$ を $a_0 + a_1 + \cdots + a_n$ と展開する（$k=0$ から始めている）
✓ $\displaystyle\sum_{k=1}^{n} a_k = a_1 + a_2 + \cdots + a_n$（$k=1$ から始まる）
$\Sigma$ の下に書かれた値が開始値、上に書かれた値が終了値です。しっかり確認しましょう。
$\Sigma$ は和の記号なので、和の性質をそのまま引き継ぎます。これを線形性と呼びます。
定数倍：
$$\sum_{k=1}^{n} c \cdot a_k = c \sum_{k=1}^{n} a_k \quad (c \text{ は定数})$$
和の分配：
$$\sum_{k=1}^{n} (a_k + b_k) = \sum_{k=1}^{n} a_k + \sum_{k=1}^{n} b_k$$
差の分配：
$$\sum_{k=1}^{n} (a_k - b_k) = \sum_{k=1}^{n} a_k - \sum_{k=1}^{n} b_k$$
定数倍の証明：
$\displaystyle\sum_{k=1}^{n} c \cdot a_k = ca_1 + ca_2 + \cdots + ca_n = c(a_1 + a_2 + \cdots + a_n) = c\sum_{k=1}^{n} a_k$
和の分配の証明：
$\displaystyle\sum_{k=1}^{n} (a_k + b_k) = (a_1+b_1) + (a_2+b_2) + \cdots + (a_n+b_n)$
$= (a_1 + a_2 + \cdots + a_n) + (b_1 + b_2 + \cdots + b_n) = \displaystyle\sum_{k=1}^{n} a_k + \sum_{k=1}^{n} b_k$
定数倍と和の分配をまとめると：
$$\sum_{k=1}^{n} (\alpha a_k + \beta b_k) = \alpha \sum_{k=1}^{n} a_k + \beta \sum_{k=1}^{n} b_k$$
この性質を使えば、複雑な式の $\Sigma$ を基本公式の組み合わせに分解できます。
まず最も基本的な $2$ つの公式を確認します。
$$\sum_{k=1}^{n} 1 = n$$
$$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$$
$S = 1 + 2 + 3 + \cdots + n$ とおく。
逆順に書くと $S = n + (n-1) + (n-2) + \cdots + 1$
辺々加えると：$2S = (n+1) + (n+1) + \cdots + (n+1) = n(n+1)$
$$S = \frac{n(n+1)}{2}$$
これはガウスが少年時代に発見したとされる有名な公式です。
$\displaystyle\sum_{k=1}^{n} 1$ は「$1$ を $n$ 回足す」という意味なので結果は $n$ です。これは項数を数えるときにも使えます。
例えば $\displaystyle\sum_{k=3}^{7} 1 = 7 - 3 + 1 = 5$（$k = 3, 4, 5, 6, 7$ の $5$ 個）
より高次の累乗の和の公式を紹介します。
$$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$
$$\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left\{\frac{n(n+1)}{2}\right\}^2$$
※ $\Sigma k^3 = (\Sigma k)^2$ という美しい関係があります。「$k$ の3乗の和は、$k$ の和の2乗に等しい」
$n = 4$ のとき：
$\displaystyle\sum_{k=1}^{4} k^2 = 1 + 4 + 9 + 16 = 30$、$\frac{4 \cdot 5 \cdot 9}{6} = \frac{180}{6} = 30$ ✓
$\displaystyle\sum_{k=1}^{4} k^3 = 1 + 8 + 27 + 64 = 100$、$\left(\frac{4 \cdot 5}{2}\right)^2 = 10^2 = 100$ ✓
✗ $\Sigma k^2 = \frac{n(n+1)(n+2)}{6}$（$(2n+1)$ を $(n+2)$ と混同）
✓ $\Sigma k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
$n = 1$ で確認：$\frac{1 \cdot 2 \cdot 3}{6} = 1 = 1^2$ ✓。$n = 2$ で確認：$\frac{2 \cdot 3 \cdot 5}{6} = 5 = 1 + 4$ ✓。不安なときは小さい値で検算しましょう。
$\Sigma k^2$ の分母は $6$、分子は連続する3つの数 $n$, $n+1$, $2n+1$ の積。
$\Sigma k^3$ は $(\Sigma k)^2$、つまり「$\frac{n(n+1)}{2}$ の2乗」と覚えましょう。
どちらも $n=1, 2$ を代入して正しいか検算する習慣をつけると確実です。
$4$ つの基本公式を一覧にまとめ、実際の計算で使う流れを確認します。
| 和 | 公式 |
|---|---|
| $\displaystyle\sum_{k=1}^{n} 1$ | $n$ |
| $\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k$ | $\dfrac{n(n+1)}{2}$ |
| $\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k^2$ | $\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ |
| $\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k^3$ | $\left\{\dfrac{n(n+1)}{2}\right\}^2$ |
例：$\displaystyle\sum_{k=1}^{n} (3k^2 + 2k - 1)$ を求めよ。
線形性より：
$= 3\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k^2 + 2\sum_{k=1}^{n} k - \sum_{k=1}^{n} 1$
$= 3 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + 2 \cdot \frac{n(n+1)}{2} - n$
$= \frac{n(n+1)(2n+1)}{2} + n(n+1) - n$
$= n\left\{\frac{(n+1)(2n+1)}{2} + (n+1) - 1\right\}$
$= n\left\{\frac{(n+1)(2n+1) + 2n + 2 - 2}{2}\right\} = n\left\{\frac{2n^2 + 3n + 1 + 2n}{2}\right\}$
$= n \cdot \frac{2n^2 + 5n + 1}{2} = \frac{n(2n^2 + 5n + 1)}{2}$
Step 1：線形性で $\Sigma$ を分解する
Step 2：各 $\Sigma$ に基本公式を代入する
Step 3：通分・整理して因数分解する
最終的に $n$ の式として整理しましょう。入試では因数分解した形を求められることが多いです。
Q1. $\displaystyle\sum_{k=1}^{10} k$ を公式で求めよ。
Q2. $\displaystyle\sum_{k=1}^{5} k^2$ を公式で求めよ。
Q3. $\displaystyle\sum_{k=1}^{n} (2k + 1)$ を求めよ。
Q4. $\displaystyle\sum_{k=1}^{4} k^3$ を公式で求め、直接計算した値と一致することを確認せよ。
Q5. $\Sigma$ の線形性を使って $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}(k^2 - k)$ を求めよ。
次の和を求めよ。
(1) $\displaystyle\sum_{k=1}^{20} k$
(2) $\displaystyle\sum_{k=1}^{n} (4k - 3)$
(1) $\frac{20 \cdot 21}{2} = 210$
(2) $4 \cdot \frac{n(n+1)}{2} - 3n = 2n(n+1) - 3n = 2n^2 + 2n - 3n = 2n^2 - n = n(2n-1)$
$\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k(k+1)$ を求めよ。
$\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k(k+1) = \sum_{k=1}^{n} (k^2 + k) = \sum_{k=1}^{n} k^2 + \sum_{k=1}^{n} k$
$= \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n(n+1)}{6}\{(2n+1) + 3\} = \frac{n(n+1)(2n+4)}{6}$
$= \frac{n(n+1) \cdot 2(n+2)}{6} = \frac{n(n+1)(n+2)}{3}$
$\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k^2(k+1)$ を求めよ。
$\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k^2(k+1) = \sum_{k=1}^{n} (k^3 + k^2)$
$= \left\{\frac{n(n+1)}{2}\right\}^2 + \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
$= \frac{n^2(n+1)^2}{4} + \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
$= \frac{n(n+1)}{12}\{3n(n+1) + 2(2n+1)\}$
$= \frac{n(n+1)(3n^2 + 3n + 4n + 2)}{12} = \frac{n(n+1)(3n^2 + 7n + 2)}{12}$
$= \frac{n(n+1)(3n+1)(n+2)}{12}$
$\displaystyle\sum_{k=1}^{n} (2k-1)^2$ を求めよ。
$(2k-1)^2 = 4k^2 - 4k + 1$ より
$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}(2k-1)^2 = 4\sum_{k=1}^{n} k^2 - 4\sum_{k=1}^{n} k + \sum_{k=1}^{n} 1$
$= 4 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - 4 \cdot \frac{n(n+1)}{2} + n$
$= \frac{2n(n+1)(2n+1)}{3} - 2n(n+1) + n$
$= \frac{n}{3}\{2(n+1)(2n+1) - 6(n+1) + 3\}$
$= \frac{n}{3}(4n^2 + 6n + 2 - 6n - 6 + 3) = \frac{n(4n^2 - 1)}{3} = \frac{n(2n-1)(2n+1)}{3}$
$1^2 + 3^2 + 5^2 + \cdots + (2n-1)^2$ は奇数の2乗の和。まず $(2k-1)^2$ を展開してから $\Sigma$ の線形性と基本公式を使う。最終結果 $\frac{n(2n-1)(2n+1)}{3}$ は覚えておくと便利。