等比数列の初項から第 $n$ 項までの和を求める公式を学びます。$S_n - rS_n$ という巧妙な引き算によって公式が導かれます。公比 $r = 1$ の場合は特別な扱いが必要になるので、場合分けをしっかり理解しましょう。
初項 $a$、公比 $r$ の等比数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n = a + ar + ar^2 + \cdots + ar^{n-1}$ を求める公式を紹介します。
$r \neq 1$ のとき：
$$S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r} = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}$$
$r = 1$ のとき：
$$S_n = na$$
※ 2つの形は分子・分母に $-1$ をかけた関係です。$|r| < 1$ のときは左の形、$|r| > 1$ のときは右の形が計算しやすくなります。
$r \neq 1$ の公式には分母 $1 - r$（または $r - 1$）があります。$r = 1$ のとき分母が $0$ になるため、公式が使えません。
$r = 1$ なら全ての項が $a$ に等しいので、$S_n = \underbrace{a + a + \cdots + a}_{n \text{ 個}} = na$ と素朴に求まります。
等比数列の和の公式は、$S_n$ と $rS_n$ を並べて引き算するという美しい方法で導けます。
$S_n = a + ar + ar^2 + \cdots + ar^{n-1}$ …①
①の両辺に $r$ をかけると：
$rS_n = ar + ar^2 + ar^3 + \cdots + ar^n$ …②
①$-$② を計算すると、中間の項が全て打ち消し合い：
$S_n - rS_n = a - ar^n$
$(1 - r)S_n = a(1 - r^n)$
$r \neq 1$ のとき両辺を $(1 - r)$ で割って：
$$S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r}$$
この「$rS_n$ を作ってずらして引く」方法は等比数列特有のテクニックです。各項が前の項の $r$ 倍になっている性質を使って、中間項を消去しています。
このアイデアは後に学ぶ漸化式や無限等比級数でも活躍します。
①と②を見比べると、$ar, ar^2, \ldots, ar^{n-1}$ の部分が共通しています。引き算すると初項 $a$ と末項 $ar^n$ だけが残ります。
このように「ほとんどの項が消える」構造はテレスコーピング（望遠鏡）と呼ばれます。
公比 $r = 1$ のときは、等比数列が定数列になります。この場合は公式の分母が $0$ になるため、別に考える必要があります。
✗ 等比数列の和を求めるとき $S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r}$ とだけ書く
✓ $r = 1$ のとき $S_n = na$、$r \neq 1$ のとき $S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r}$ と場合分けする
入試では特に、$r$ が文字のとき（例：公比 $x$ の等比数列の和）に場合分けが必須です。$r = 1$ の場合を書かなければ減点されます。
例：初項 $1$、公比 $x$ の等比数列の初項から第 $n$ 項までの和を求めよ。
(i) $x = 1$ のとき：$S_n = n \cdot 1 = n$
(ii) $x \neq 1$ のとき：$S_n = \frac{1 \cdot (1 - x^n)}{1 - x} = \frac{1 - x^n}{1 - x}$
特に $a = 1$ のとき、初項 $1$、公比 $r$ の等比数列の和は：
$$1 + r + r^2 + \cdots + r^{n-1} = \frac{1 - r^n}{1 - r} \quad (r \neq 1)$$
※ この形は因数分解 $1 - r^n = (1 - r)(1 + r + r^2 + \cdots + r^{n-1})$ と同じものです。
公式を使って具体的な等比数列の和を計算してみましょう。
例1：$2 + 6 + 18 + 54 + \cdots$（初項 $2$、公比 $3$）の初項から第 $8$ 項までの和
$S_8 = \frac{2(3^8 - 1)}{3 - 1} = \frac{2(6561 - 1)}{2} = 6560$
例2：$1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{4} - \frac{1}{8} + \cdots$（初項 $1$、公比 $-\frac{1}{2}$）の初項から第 $6$ 項までの和
$S_6 = \frac{1 \cdot \left(1 - \left(-\frac{1}{2}\right)^6\right)}{1 - \left(-\frac{1}{2}\right)} = \frac{1 - \frac{1}{64}}{\frac{3}{2}} = \frac{\frac{63}{64}}{\frac{3}{2}} = \frac{63}{64} \times \frac{2}{3} = \frac{21}{32}$
例3：$3 + 6 + 12 + 24 + \cdots + 3 \cdot 2^{n-1}$ の和
初項 $3$、公比 $2$ の等比数列の第 $n$ 項までの和：
$S_n = \frac{3(2^n - 1)}{2 - 1} = 3(2^n - 1)$
✗ 公比 $r = -2$ のとき $(-2)^n$ の符号を間違える
✓ $(-2)^n$ は $n$ が偶数なら正、$n$ が奇数なら負になることを確認する
公比が負のとき、$r^n$ の符号は $n$ の偶奇で変わります。計算ミスを防ぐため、具体的に代入して確認しましょう。
$|r| > 1$ のとき（公比の絶対値が大きい場合）は $S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}$ の形を使うと、分子・分母がともに正になりやすく計算しやすくなります。
$|r| < 1$ のとき（公比の絶対値が小さい場合）は $S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r}$ の形が便利です。
等比数列の和の公式は、末項 $l = ar^{n-1}$ を使って表すこともできます。
末項 $l = ar^{n-1}$ とすると $ar^n = lr$ なので：
$$S_n = \frac{a - lr}{1 - r} = \frac{lr - a}{r - 1} \quad (r \neq 1)$$
※ 末項が与えられている場合はこちらの形が直接使えて便利です。
例：初項 $2$、公比 $3$、末項 $162$ の等比数列の和
$S = \frac{162 \cdot 3 - 2}{3 - 1} = \frac{486 - 2}{2} = 242$
（確認：$2, 6, 18, 54, 162$ → $S = 2 + 6 + 18 + 54 + 162 = 242$ ✓）
等比数列の和の公式は、実は因数分解の公式と深い関係があります：
$$1 - r^n = (1 - r)(1 + r + r^2 + \cdots + r^{n-1})$$
この恒等式の両辺を $(1 - r)$ で割ると、$a = 1$ の場合の等比数列の和の公式が得られます。代数的には同じことを違う角度から見ています。
Q1. 初項 $3$、公比 $2$ の等比数列の初項から第 $5$ 項までの和を求めよ。
Q2. 初項 $1$、公比 $-3$ の等比数列の初項から第 $4$ 項までの和を求めよ。
Q3. $1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \cdots + \frac{1}{3^5}$ の値を求めよ。
Q4. 等比数列の和の公式の導出において、$S_n - rS_n$ を計算すると右辺はどうなるか。
Q5. 初項 $5$、公比 $x$ の等比数列の第 $n$ 項までの和を、場合分けして求めよ。
次の等比数列の和を求めよ。
(1) 初項 $4$、公比 $3$、初項から第 $6$ 項までの和
(2) $5 + 10 + 20 + 40 + \cdots + 5 \cdot 2^9$
(1) $S_6 = \frac{4(3^6 - 1)}{3 - 1} = \frac{4(729 - 1)}{2} = \frac{4 \times 728}{2} = 1456$
(2) 初項 $5$、公比 $2$ で $5 \cdot 2^9$ が第 $10$ 項。$S_{10} = \frac{5(2^{10}-1)}{2-1} = 5 \times 1023 = 5115$
初項 $2$、公比 $a$ の等比数列の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ を求めよ。ただし $a$ は実数の定数とする。
(i) $a = 1$ のとき：$S_n = 2n$
(ii) $a \neq 1$ のとき：$S_n = \frac{2(1 - a^n)}{1 - a}$
公比が文字のときは必ず $a = 1$ と $a \neq 1$ の場合分けを行う。場合分けを忘れると減点対象になる。
初項 $3$、公比 $2$ の等比数列の初項から第 $n$ 項までの和が $381$ であるとき、$n$ の値を求めよ。
$S_n = \frac{3(2^n - 1)}{2 - 1} = 3(2^n - 1) = 381$
$2^n - 1 = 127$
$2^n = 128 = 2^7$
$n = 7$
等比数列 $\{a_n\}$ において、初項から第 $3$ 項までの和が $21$、初項から第 $6$ 項までの和が $189$ であるとき、初項 $a$ と公比 $r$ を求めよ。
$S_3 = \frac{a(1 - r^3)}{1 - r} = 21$ …①
$S_6 = \frac{a(1 - r^6)}{1 - r} = 189$ …②
②÷① より $\frac{1 - r^6}{1 - r^3} = \frac{189}{21} = 9$
$1 - r^6 = (1 - r^3)(1 + r^3)$ なので $1 + r^3 = 9$ より $r^3 = 8$、$r = 2$
①に代入：$\frac{a(1 - 8)}{1 - 2} = \frac{-7a}{-1} = 7a = 21$ より $a = 3$
よって $a = 3$、$r = 2$
$S_6 \div S_3$ を取ると $1 - r^6 = (1 - r^3)(1 + r^3)$ の因数分解が活かされ、$r^3$ に関する方程式に帰着できる。このテクニックは等比数列の条件決定問題で頻出。