等差数列の一般項と和の公式を学んだ今、それらを「道具」として応用問題に取り組みます。条件から初項・公差を逆算する問題、和が最大となる条件の問題、自然数の和に関する問題など、入試で頻出のパターンを身につけましょう。
等差数列に関する2つの条件が与えられれば、初項 $a$ と公差 $d$ を連立方程式で求めることができます。
問：等差数列 $\{a_n\}$ で $a_5 = 13$, $a_{20} = 58$ のとき、一般項を求めよ。
$a_5 = a + 4d = 13$ ... ①
$a_{20} = a + 19d = 58$ ... ②
②−① より $15d = 45$、$d = 3$。①に代入：$a = 13 - 12 = 1$。
$a_n = 1 + (n-1) \cdot 3 = 3n - 2$
問：等差数列 $\{a_n\}$ で $a_3 = 8$, $S_{10} = 95$ のとき、初項と公差を求めよ。
$a_3 = a + 2d = 8$ ... ①
$S_{10} = \frac{10(2a + 9d)}{2} = 5(2a + 9d) = 95$ より $2a + 9d = 19$ ... ②
①より $a = 8 - 2d$。②に代入：$2(8-2d) + 9d = 19$、$16 + 5d = 19$、$d = \frac{3}{5}$。
$a = 8 - \frac{6}{5} = \frac{34}{5}$
等差数列の未知数は $a$ と $d$ の2つです。したがって、独立な条件が2つあれば一意に定まります。
条件の種類：特定の項の値、和の値、等差中項の関係など。どの条件も $a$ と $d$ の1次式に帰着します。
公差が負の等差数列では、和 $S_n$ はある $n$ で最大値をとります。この問題パターンを攻略しましょう。
公差 $d < 0$ の等差数列 $\{a_n\}$ の和 $S_n$ が最大になるのは
$$a_n \geq 0 \text{ かつ } a_{n+1} \leq 0$$
を満たす $n$ のとき。
※ 正の項まで足すと和は増え、負の項を足すと減る。「最後の非負の項」まで足したとき最大。
問：$a_1 = 40$, $d = -3$ の等差数列の和 $S_n$ が最大となる $n$ と、その最大値を求めよ。
$a_n = 40 + (n-1)(-3) = 43 - 3n$
$a_n \geq 0$ より $43 - 3n \geq 0$、$n \leq \frac{43}{3} \approx 14.3$
$a_{14} = 43 - 42 = 1 \geq 0$、$a_{15} = 43 - 45 = -2 < 0$
$n = 14$ のとき最大。$S_{14} = \frac{14(40 + 1)}{2} = \frac{14 \cdot 41}{2} = 287$
$a_n = 0$ となる $n$ が存在する場合、$n$ と $n-1$ の両方で $S_n$ が最大になります（$0$ を足しても和は変わらない）。
✗ 答えは必ず1つだけ
✓ $a_n = 0$ のとき、$S_n = S_{n-1}$ なので最大値は同じ。答えは2つありうる
$S_n = -\frac{3}{2}n^2 + \frac{83}{2}n$ のように $n$ の2次式に変形すれば、上に凸の放物線の頂点付近で最大となります。
ただし $n$ は自然数なので、頂点の $n$ 座標の前後の整数で比較する必要があります。
自然数の和は等差数列の和の特別な場合です。よく使う公式をまとめます。
自然数の和：
$$\sum_{k=1}^{n} k = 1 + 2 + 3 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2}$$
奇数の和：
$$\sum_{k=1}^{n} (2k-1) = 1 + 3 + 5 + \cdots + (2n-1) = n^2$$
偶数の和：
$$\sum_{k=1}^{n} 2k = 2 + 4 + 6 + \cdots + 2n = n(n+1)$$
初項 $1$、末項 $2n-1$、項数 $n$ の等差数列の和として
$S = \frac{n(1 + 2n - 1)}{2} = \frac{n \cdot 2n}{2} = n^2$
別の見方：$1 = 1^2$, $1+3 = 4 = 2^2$, $1+3+5 = 9 = 3^2$, ... と正方形の面積が対応します。
$\sum_{k=1}^{n}$（シグマ）は「$k = 1$ から $k = n$ まで足し合わせる」という意味です。
$\sum_{k=1}^{n} k = 1 + 2 + \cdots + n$ のように、繰り返し現れる和を簡潔に表せます。
$\Sigma$ の詳しい扱いは後の記事で学びますが、ここでは「和の省略記法」として使います。
やや複雑な条件が与えられた場合の解法を学びます。
問：3つの数 $a$, $b$, $c$ が等差数列をなし、$a + b + c = 24$, $a^2 + b^2 + c^2 = 224$ のとき、$a$, $b$, $c$ を求めよ（$a < c$）。
等差中項：$b = \frac{a+c}{2}$。$a + b + c = 3b = 24$ より $b = 8$。
$a + c = 16$ なので $c = 16 - a$。
$a^2 + 64 + (16-a)^2 = 224$
$a^2 + 64 + 256 - 32a + a^2 = 224$
$2a^2 - 32a + 96 = 0$、$a^2 - 16a + 48 = 0$、$(a-4)(a-12) = 0$
$a < c$ より $a = 4$, $c = 12$。答：$(a, b, c) = (4, 8, 12)$
連続する3項が等差数列をなすとき、$a = b-d$, $c = b+d$ と置くと便利です。
和：$a + b + c = 3b$（$d$ が消える！）
この置き方で、まず $b$ を求め、次に $d$ を求めるのが定石です。
4項の場合は $b-3d$, $b-d$, $b+d$, $b+3d$（公差 $2d$）と置く方法もあります。
問：$5$ と $35$ の間に $n$ 個の数を入れて等差数列を作るとき、$n = 5$ の場合の数列を求めよ。
$5$ と $35$ を含めて全部で $7$ 項の等差数列。初項 $5$、末項 $35$、項数 $7$。
公差 $d = \frac{35 - 5}{7 - 1} = \frac{30}{6} = 5$
数列：$5, 10, 15, 20, 25, 30, 35$
入試問題でよく使われる等差数列の定石をまとめます。
一般項：$a_n = a + (n-1)d$
第 $m$ 項基準：$a_n = a_m + (n-m)d$
和の公式：$S_n = \frac{n(a_1+a_n)}{2} = \frac{n\{2a+(n-1)d\}}{2}$
等差中項：$2b = a + c$
挿入の公差：$d = \frac{b-a}{n+1}$（$a$ と $b$ の間に $n$ 個挿入）
✗ 必ず初項から計算する
✓ $a_n = a_m + (n-m)d$ を使えば、初項を求めなくても任意の項から計算できる
たとえば $a_5 = 20$, $d = 3$ のとき $a_{12} = 20 + (12-5) \cdot 3 = 20 + 21 = 41$。
問：初項 $a = 100$、公差 $d = -7$ の等差数列で、正の項は何個あるか。
$a_n = 100 + (n-1)(-7) = 107 - 7n > 0$
$7n < 107$、$n < \frac{107}{7} \approx 15.28$
$n$ は自然数で $n \leq 15$。よって正の項は $15$ 個。
確認：$a_{15} = 107 - 105 = 2 > 0$、$a_{16} = 107 - 112 = -5 < 0$ ✓
Step 1：与えられた条件を $a$ と $d$（または $a_n$, $S_n$）の式に翻訳する
Step 2：連立方程式を解く、または不等式を処理する
Step 3：$n$ が自然数であることの確認を忘れない
Q1. $a_3 = 7$, $a_9 = 25$ の等差数列の初項と公差を求めよ。
Q2. 初項 $35$、公差 $-4$ の等差数列の和が最大となる $n$ を求めよ。
Q3. $1 + 2 + 3 + \cdots + n = 210$ となる $n$ を求めよ。
Q4. $3$ と $39$ の間に $n$ 個の数を入れて等差数列を作る。公差が整数になる $n$ を全て求めよ。
Q5. $1+3+5+\cdots+(2n-1)=169$ となる $n$ を求めよ。
等差数列 $\{a_n\}$ において $a_2 + a_6 = 20$, $a_4 = 9$ のとき、初項と公差を求め、$S_{20}$ を計算せよ。
$a_4 = a + 3d = 9$ ... ①
$a_2 + a_6 = (a+d) + (a+5d) = 2a + 6d = 20$ より $a+3d=10$ ... ②
①と②より $9 = 10$？矛盾。
再計算：②は $2(a+3d)=20$ なので $a+3d=10$。しかし ① は $a+3d=9$。
条件を確認すると、$a_2+a_6 = 2a_4 = 2 \cdot 9 = 18$ でなければならないので $a_2+a_6=20$ と $a_4=9$ は矛盾します。
条件を $a_4 = 10$ と読み替えると：$a+3d=10$, $d = 2$, $a = 4$。$S_{20} = \frac{20(2 \cdot 4+19 \cdot 2)}{2} = \frac{20 \cdot 46}{2} = 460$。
等差数列では $a_2 + a_6 = 2a_4$ が常に成り立ちます。与えられた条件から $a_4 = \frac{20}{2} = 10$ です。$a_2 + a_6 = 20$ は1つの条件 $a_4 = 10$ と同値なので、もう1条件が必要です。公差 $d = 2$ として $a = 4$, $S_{20} = 460$。
等差数列 $\{a_n\}$ で $a_1 = 23$, $a_{18} = -28$ のとき、$S_n$ が最大となる $n$ とその最大値を求めよ。
$a + 17d = -28$ かつ $a = 23$ より $23 + 17d = -28$, $d = -3$。
$a_n = 23 + (n-1)(-3) = 26 - 3n$。
$a_n \geq 0$ より $26 - 3n \geq 0$, $n \leq \frac{26}{3} \approx 8.67$。
$a_8 = 26 - 24 = 2 > 0$, $a_9 = 26 - 27 = -1 < 0$。
$n = 8$ のとき最大。$S_8 = \frac{8(23 + 2)}{2} = \frac{8 \cdot 25}{2} = 100$。
$200$ 以下の正の整数のうち、$3$ でも $5$ でも割り切れないものの和を求めよ。
包除原理を用いる。$1$ から $200$ までの和 $S = \frac{200 \cdot 201}{2} = 20100$。
$3$ の倍数の和：$3+6+\cdots+198 = \frac{66(3+198)}{2} = \frac{66 \cdot 201}{2} = 6633$
$5$ の倍数の和：$5+10+\cdots+200 = \frac{40(5+200)}{2} = \frac{40 \cdot 205}{2} = 4100$
$15$ の倍数の和：$15+30+\cdots+195 = \frac{13(15+195)}{2} = \frac{13 \cdot 210}{2} = 1365$
$3$ または $5$ の倍数の和 $= 6633 + 4100 - 1365 = 9368$
求める和 $= 20100 - 9368 = 10732$
「$3$ でも $5$ でも割り切れない」は「$3$ の倍数でも $5$ の倍数でもない」の意味です。全体から「$3$ または $5$ の倍数」を引きます。重複（$15$ の倍数）に注意して包除原理を使います。各倍数の和は等差数列の和の公式で計算できます。
等差数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和を $S_n$ とする。$S_5 = 60$, $S_{10} = 195$ のとき、$S_{15}$ を求めよ。
$S_5 = \frac{5(2a+4d)}{2} = 5(a+2d) = 60$ より $a+2d = 12$ ... ①
$S_{10} = \frac{10(2a+9d)}{2} = 5(2a+9d) = 195$ より $2a+9d = 39$ ... ②
①より $a = 12-2d$。②に代入：$2(12-2d)+9d = 39$、$24+5d = 39$、$d = 3$。$a = 6$。
$S_{15} = \frac{15(2 \cdot 6 + 14 \cdot 3)}{2} = \frac{15(12+42)}{2} = \frac{15 \cdot 54}{2} = 405$
別解として、等差数列の和の性質 $S_5$, $S_{10}-S_5$, $S_{15}-S_{10}$ が等差数列をなすことを利用できます。$S_5 = 60$, $S_{10}-S_5 = 135$。この2つの差は $75$ なので $S_{15}-S_{10} = 135+75 = 210$。$S_{15} = 195+210 = 405$。