数列の項を順に定める規則を漸化式（ぜんかしき）といいます。漸化式の中でも最も基本となる「等差型」$a_{n+1} = a_n + d$ と「等比型」$a_{n+1} = ra_n$ を学び、一般項を求める方法を身につけましょう。
数列 $\{a_n\}$ において、隣り合う項の間に成り立つ関係式を漸化式（recurrence relation）といいます。漸化式と初項（初期条件）を与えると、数列のすべての項が確定します。
漸化式とは、数列の第 $n+1$ 項を第 $n$ 項（やそれ以前の項）で表す等式のことです。
例：$a_{n+1} = 2a_n + 1$, $a_{n+2} = a_{n+1} + a_n$（フィボナッチ型）など。
漸化式と初項を合わせて数列が一意に定まります。これを「漸化式で数列を定義する」といいます。
✗ $a_{n+1} = a_n + 3$ だけで一般項が決まる
✓ $a_1 = 2$, $a_{n+1} = a_n + 3$ のように初項が必要
初項が異なれば、同じ漸化式でも全く別の数列になります。初期条件を忘れずに確認しましょう。
$a_1 = 5$, $a_{n+1} = a_n + 3$ のとき：
$a_2 = a_1 + 3 = 8$, $a_3 = a_2 + 3 = 11$, $a_4 = a_3 + 3 = 14$, $\ldots$
このように順に代入していけば各項を求められますが、$a_{100}$ を求めるには 99 回繰り返す必要があります。そこで一般項（$n$ の式で表した $a_n$）を求めることが重要です。
$a_{n+1} = a_n + d$（$d$ は定数）の形の漸化式は、公差 $d$ の等差数列を定めます。
漸化式：$a_1 = a$, $a_{n+1} = a_n + d$
一般項：
$$a_n = a + (n-1)d$$
※ 初項 $a$、公差 $d$ の等差数列です。
$a_{n+1} - a_n = d$（一定）より、$\{a_n\}$ は公差 $d$ の等差数列です。
等差数列の一般項の公式から $a_n = a_1 + (n-1)d$ が直ちに得られます。
別の見方：$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (a_{k+1} - a_k) = a_1 + (n-1)d$
例1：$a_1 = 3$, $a_{n+1} = a_n + 5$ のとき、一般項を求めよ。
公差 $d = 5$ の等差数列だから $a_n = 3 + (n-1) \cdot 5 = 5n - 2$
例2：$a_1 = 10$, $a_{n+1} = a_n - 4$ のとき、一般項を求めよ。
公差 $d = -4$ の等差数列だから $a_n = 10 + (n-1)(-4) = -4n + 14$
$a_{n+1} = ra_n$（$r$ は定数、$r \neq 0$）の形の漸化式は、公比 $r$ の等比数列を定めます。
漸化式：$a_1 = a$（$a \neq 0$）, $a_{n+1} = ra_n$
一般項：
$$a_n = a \cdot r^{n-1}$$
※ 初項 $a$、公比 $r$ の等比数列です。
$\dfrac{a_{n+1}}{a_n} = r$（一定）より、$\{a_n\}$ は公比 $r$ の等比数列です。
等比数列の一般項の公式から $a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$ が直ちに得られます。
例1：$a_1 = 2$, $a_{n+1} = 3a_n$ のとき、一般項を求めよ。
公比 $r = 3$ の等比数列だから $a_n = 2 \cdot 3^{n-1}$
例2：$a_1 = 8$, $a_{n+1} = \dfrac{1}{2}a_n$ のとき、一般項を求めよ。
公比 $r = \dfrac{1}{2}$ の等比数列だから $a_n = 8 \cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1} = \dfrac{8}{2^{n-1}} = 2^{4-n}$
✗ $a_1 = 0$, $a_{n+1} = 3a_n$ を「公比 $3$ の等比数列」とする
✓ $a_1 = 0$ のとき $a_n = 0$（全項 $0$）であり、等比数列にはならない
等比数列の定義では初項 $\neq 0$ が必要です。$a_1 = 0$ なら全項が $0$ になり、公比は定義できません。
漸化式を見たら、まずどの型に当てはまるかを判断し、それに応じた解法を選びます。
漸化式を $a_{n+1} = (\text{$a_n$ の式})$ の形に整理して、右辺の構造を確認します：
・$a_{n+1} = a_n + d$（定数を加える）→ 等差型
・$a_{n+1} = ra_n$（定数を掛ける）→ 等比型
・$a_{n+1} = pa_n + q$（$p \neq 1$, $q \neq 0$）→ 次の記事で扱う線形型
| 等差型 | 等比型 | |
|---|---|---|
| 漸化式 | $a_{n+1} = a_n + d$ | $a_{n+1} = ra_n$ |
| 特徴 | 隣接する項の差が一定 | 隣接する項の比が一定 |
| 一般項 | $a_n = a_1 + (n-1)d$ | $a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$ |
| 増減 | $d > 0$ で単調増加 | $r > 1$ で単調増加 |
等差型・等比型の漸化式は、日常的な場面でも現れます。
元本 $100$ 万円を年利 $5\%$ の複利で運用するとき、$n$ 年後の元利合計を $a_n$ とすると：
$a_0 = 100$, $a_{n+1} = 1.05 \, a_n$
公比 $1.05$ の等比数列で $a_n = 100 \cdot 1.05^n$（万円）
$a_1 = 50$, $a_{n+1} = a_n - 7$ のとき、$a_n > 0$ となる $n$ の最大値を求めよ。
$a_n = 50 + (n-1)(-7) = -7n + 57$
$-7n + 57 > 0$ より $n < \dfrac{57}{7} = 8.14\ldots$ すなわち $n \leq 8$
よって $a_n > 0$ となる最大の $n$ は $\boldsymbol{8}$。
漸化式で数列を定義する方法を帰納的定義といいます。一方、$a_n = 2n + 1$ のように $n$ の式で直接与える定義を明示的定義といいます。
漸化式から一般項を求めることは、帰納的定義を明示的定義に変換することに相当します。
Q1. $a_1 = 7$, $a_{n+1} = a_n + 4$ のとき、一般項 $a_n$ を求めよ。
Q2. $a_1 = 5$, $a_{n+1} = 2a_n$ のとき、一般項 $a_n$ を求めよ。
Q3. $a_1 = 1$, $a_{n+1} = -3a_n$ のとき、$a_5$ を求めよ。
Q4. $a_1 = 20$, $a_{n+1} = a_n - 3$ のとき、$a_n > 0$ となる $n$ の最大値を求めよ。
Q5. 漸化式 $a_{n+1} = a_n + d$ と $a_{n+1} = ra_n$ のどちらが等差型でどちらが等比型か答えよ。
次の漸化式で定められる数列の一般項を求めよ。
(1) $a_1 = 2$, $a_{n+1} = a_n + 6$
(2) $a_1 = 3$, $a_{n+1} = 4a_n$
(3) $a_1 = 100$, $a_{n+1} = a_n - 8$
(1) 初項 $2$、公差 $6$ の等差数列。$a_n = 2 + (n-1) \cdot 6 = 6n - 4$
(2) 初項 $3$、公比 $4$ の等比数列。$a_n = 3 \cdot 4^{n-1}$
(3) 初項 $100$、公差 $-8$ の等差数列。$a_n = 100 + (n-1)(-8) = -8n + 108$
等比数列 $\{a_n\}$ が $a_2 = 6$, $a_5 = 162$ を満たすとき、初項 $a_1$ と公比 $r$ を求め、一般項を求めよ。
$a_2 = a_1 r = 6$, $a_5 = a_1 r^4 = 162$
$\dfrac{a_5}{a_2} = r^3 = \dfrac{162}{6} = 27$ より $r = 3$
$a_1 = \dfrac{6}{r} = \dfrac{6}{3} = 2$
$a_n = 2 \cdot 3^{n-1}$
$a_1 = 3$, $a_{n+1} = a_n + 5$ で定められる数列 $\{a_n\}$ について、初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ を求めよ。また $S_n > 500$ となる最小の $n$ を求めよ。
$a_n = 3 + (n-1) \cdot 5 = 5n - 2$
$S_n = \displaystyle\sum_{k=1}^n (5k-2) = 5 \cdot \frac{n(n+1)}{2} - 2n = \frac{5n^2 + n}{2} - 2n = \frac{5n^2 - 3n}{2}$
$S_n > 500$ より $\dfrac{5n^2 - 3n}{2} > 500$ すなわち $5n^2 - 3n - 1000 > 0$
$n = \dfrac{3 + \sqrt{9 + 20000}}{10} = \dfrac{3 + \sqrt{20009}}{10} \approx \dfrac{3 + 141.5}{10} \approx 14.4$
よって $n \geq 15$。最小の $n$ は $\boldsymbol{15}$。（検算：$S_{14} = \frac{5 \cdot 196 - 42}{2} = 469$, $S_{15} = \frac{5 \cdot 225 - 45}{2} = 540$）
$a_1 = 1$, $a_{n+1} = 2a_n$ で定められる数列 $\{a_n\}$ について、$\displaystyle\sum_{k=1}^n a_k > 10^6$ を満たす最小の自然数 $n$ を求めよ。ただし $\log_{10} 2 = 0.3010$ とする。
$a_n = 2^{n-1}$ より $\displaystyle\sum_{k=1}^n a_k = \sum_{k=1}^n 2^{k-1} = \frac{2^n - 1}{2 - 1} = 2^n - 1$
$2^n - 1 > 10^6$ すなわち $2^n > 10^6 + 1 \approx 10^6$
両辺の常用対数：$n \log_{10} 2 > 6$ より $n > \dfrac{6}{0.3010} \approx 19.93$
よって最小の $n$ は $\boldsymbol{20}$。
等比数列の和の公式 $S_n = \dfrac{a_1(r^n - 1)}{r - 1}$ を使います。$2^n > 10^6$ の形にして対数を取ることで $n$ の範囲を求めます。$2^{20} = 1048576 > 10^6$ を確認できます。