$\dfrac{1}{k(k+1)}$ のような分数の和を求めるとき、そのまま足していては計算が大変です。部分分数分解を行うと、隣り合う項が次々と打ち消し合い、最初と最後の項だけが残ります。この仕組みは望遠鏡（テレスコープ）に似ているため、テレスコーピング和と呼ばれます。
部分分数分解とは、1つの分数をより単純な分数の和（差）に分解するテクニックです。数列の和を求めるときに非常に強力な道具になります。
2つの1次式の積が分母のとき：
$$\frac{1}{(x+a)(x+b)} = \frac{1}{b-a}\left(\frac{1}{x+a} - \frac{1}{x+b}\right) \quad (a \neq b)$$
※ 右辺を通分すると左辺に戻ることで確認できます。
$\dfrac{1}{k(k+1)}$ を分解するには、$\dfrac{1}{k(k+1)} = \dfrac{A}{k} + \dfrac{B}{k+1}$ とおき、両辺に $k(k+1)$ をかけて
$$1 = A(k+1) + Bk$$
$k = 0$ を代入：$1 = A$。$k = -1$ を代入：$1 = -B$、よって $B = -1$。
$$\frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}$$
✗ $\dfrac{1}{k(k+2)} = \dfrac{1}{k} - \dfrac{1}{k+2}$（分母の差を考慮していない）
✓ $\dfrac{1}{k(k+2)} = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{k} - \dfrac{1}{k+2}\right)$
分母の2つの1次式の差が $d$ のとき、分解の係数は $\dfrac{1}{d}$ になります。
最も基本的な部分分数分解による和の計算を見ていきましょう。
$$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)} = 1 - \frac{1}{n+1} = \frac{n}{n+1}$$
$\dfrac{1}{k(k+1)} = \dfrac{1}{k} - \dfrac{1}{k+1}$ を利用して
$$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)} = \sum_{k=1}^{n} \left(\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}\right)$$
$= \left(\dfrac{1}{1} - \dfrac{1}{2}\right) + \left(\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3}\right) + \left(\dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{4}\right) + \cdots + \left(\dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{n+1}\right)$
隣り合う項が打ち消し合い（$-\dfrac{1}{2}$ と $+\dfrac{1}{2}$、$-\dfrac{1}{3}$ と $+\dfrac{1}{3}$、...）、残るのは
$$= \frac{1}{1} - \frac{1}{n+1} = \frac{n}{n+1}$$
$n = 3$ のとき：$\dfrac{1}{1 \cdot 2} + \dfrac{1}{2 \cdot 3} + \dfrac{1}{3 \cdot 4} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{12} = \dfrac{6+2+1}{12} = \dfrac{9}{12} = \dfrac{3}{4}$
公式：$\dfrac{3}{3+1} = \dfrac{3}{4}$ ✓ 一致しました。
前節で見たように、部分分数分解後の和では中間の項が打ち消し合い、最初と最後の項だけが残る現象が起こります。望遠鏡のパーツが入れ子になってたたまれる様子に似ていることから、テレスコーピング和（telescoping sum）と呼ばれます。
数列 $\{b_k\}$ に対して
$$\sum_{k=1}^{n} (b_k - b_{k+1}) = b_1 - b_{n+1}$$
が成り立ちます。これは $f(k) = b_k - b_{k+1}$ とおくと、$\sum f(k)$ が $b_1$ と $b_{n+1}$ だけで表せることを意味します。
まず部分分数分解を行います。$\dfrac{1}{k(k+1)(k+2)}$ について
$$\frac{1}{k(k+2)} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{k} - \frac{1}{k+2}\right)$$
を利用して
$$\frac{1}{k(k+1)(k+2)} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{k(k+1)} - \frac{1}{(k+1)(k+2)}\right)$$
これはテレスコーピング和の形なので
$$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)(k+2)} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{1 \cdot 2} - \frac{1}{(n+1)(n+2)}\right) = \frac{1}{4} - \frac{1}{2(n+1)(n+2)}$$
$$= \frac{n(n+3)}{4(n+1)(n+2)}$$
和 $\sum a_k$ を求めるとき、$a_k = f(k) - f(k+1)$（または $f(k) - f(k+d)$）の形に書けるかを考えましょう。
分母が連続する整数の積になっている分数は、部分分数分解によってテレスコーピング和に変換できることが多いです。
分母の2つの因数の差が $d$（$d \geq 2$）の場合も、同様の手法が使えます。ただし、打ち消しのパターンが変わることに注意が必要です。
$$\frac{1}{k(k+d)} = \frac{1}{d}\left(\frac{1}{k} - \frac{1}{k+d}\right)$$
※ $d = 1$ のとき $\dfrac{1}{k(k+1)} = \dfrac{1}{k} - \dfrac{1}{k+1}$ に一致します。
$\dfrac{1}{k(k+2)} = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{k} - \dfrac{1}{k+2}\right)$ より
$$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+2)} = \frac{1}{2}\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{k} - \frac{1}{k+2}\right)$$
$= \dfrac{1}{2}\left[\left(\dfrac{1}{1} - \dfrac{1}{3}\right) + \left(\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{4}\right) + \left(\dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{5}\right) + \left(\dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{6}\right) + \cdots\right]$
$d = 2$ なので、$2$ つ離れた項同士が打ち消し合います。残る項は最初の2つと最後の2つ：
$$= \frac{1}{2}\left(\frac{1}{1} + \frac{1}{2} - \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2}\right) = \frac{1}{2}\left(\frac{3}{2} - \frac{2n+3}{(n+1)(n+2)}\right)$$
$$= \frac{3n^2+5n}{4(n+1)(n+2)} = \frac{n(3n+5)}{4(n+1)(n+2)}$$
✗ $d = 2$ で、$\dfrac{1}{1}$ と $-\dfrac{1}{n+2}$ だけ残ると考える
✓ $d = 2$ では最初の $2$ 項（$\dfrac{1}{1}, \dfrac{1}{2}$）と最後の $2$ 項（$-\dfrac{1}{n+1}, -\dfrac{1}{n+2}$）が残る
一般に差が $d$ のとき、残る項は最初の $d$ 個と最後の $d$ 個です。
分母が3つ以上の連続整数の積になっている場合も、部分分数分解を繰り返すことでテレスコーピング和に帰着できます。
$$\frac{1}{k(k+1)(k+2) \cdots (k+r-1)} = \frac{1}{r-1}\left(\frac{1}{k(k+1)\cdots(k+r-2)} - \frac{1}{(k+1)(k+2)\cdots(k+r-1)}\right)$$
※ 分母の因数が $r$ 個の場合、$r-1$ 個の積の差に分解できます。
$\dfrac{1}{(2k-1)(2k+1)} = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{2k-1} - \dfrac{1}{2k+1}\right)$ と部分分数分解します。
$$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(2k-1)(2k+1)} = \frac{1}{2}\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k+1}\right)$$
$= \dfrac{1}{2}\left[\left(\dfrac{1}{1} - \dfrac{1}{3}\right) + \left(\dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{5}\right) + \cdots + \left(\dfrac{1}{2n-1} - \dfrac{1}{2n+1}\right)\right]$
$$= \frac{1}{2}\left(1 - \frac{1}{2n+1}\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2n}{2n+1} = \frac{n}{2n+1}$$
Step 1：分母を因数分解し、$\dfrac{1}{(\text{1次式})(\text{1次式})}$ の形を確認する。
Step 2：$\dfrac{1}{d}\left(\dfrac{1}{\text{小さい方}} - \dfrac{1}{\text{大きい方}}\right)$ と分解する（$d$ は2つの1次式の差）。
Step 3：和を書き下し、打ち消しを確認して残る項を特定する。
Q1. $\dfrac{1}{3 \cdot 4}$ を部分分数分解せよ。
Q2. $\displaystyle\sum_{k=1}^{10} \dfrac{1}{k(k+1)}$ を求めよ。
Q3. $\dfrac{1}{k(k+3)}$ を部分分数分解せよ。
Q4. $\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{(2k-1)(2k+1)}$ を求めよ。
Q5. テレスコーピング和 $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}(b_k - b_{k+1})$ の結果を一般的に書け。
$\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)}$ を求めよ。
$\dfrac{1}{k(k+1)} = \dfrac{1}{k} - \dfrac{1}{k+1}$ より
$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)} = \left(1 - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \cdots + \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right) = 1 - \frac{1}{n+1} = \frac{n}{n+1}$
$\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(2k-1)(2k+1)}$ を求めよ。
$\dfrac{1}{(2k-1)(2k+1)} = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{2k-1} - \dfrac{1}{2k+1}\right)$ より
$\displaystyle\sum_{k=1}^{n} = \frac{1}{2}\left[\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}\right)\right]$
$= \dfrac{1}{2}\left(1 - \dfrac{1}{2n+1}\right) = \dfrac{n}{2n+1}$
$\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)(k+2)}$ を求めよ。
$\dfrac{1}{k(k+1)(k+2)} = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{k(k+1)} - \dfrac{1}{(k+1)(k+2)}\right)$ より
$\displaystyle\sum_{k=1}^{n} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{1\cdot2} - \frac{1}{(n+1)(n+2)}\right) = \frac{1}{2}\cdot\frac{(n+1)(n+2)-2}{2(n+1)(n+2)}$
$= \dfrac{n^2+3n}{4(n+1)(n+2)} = \dfrac{n(n+3)}{4(n+1)(n+2)}$
3つの連続整数の積の逆数は、2つの連続整数の積の逆数の差に分解できるという原理を利用しています。$b_k = \dfrac{1}{k(k+1)}$ とおくと、$a_k = \dfrac{1}{2}(b_k - b_{k+1})$ なのでテレスコーピング和が使えます。
$\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \frac{2k+1}{k^2(k+1)^2}$ を求めよ。
$\dfrac{2k+1}{k^2(k+1)^2} = \dfrac{(k+1)^2 - k^2}{k^2(k+1)^2} = \dfrac{1}{k^2} - \dfrac{1}{(k+1)^2}$ と変形できる。
$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{k^2} - \frac{1}{(k+1)^2}\right) = \frac{1}{1^2} - \frac{1}{(n+1)^2} = 1 - \frac{1}{(n+1)^2}$
$$= \frac{(n+1)^2 - 1}{(n+1)^2} = \frac{n^2+2n}{(n+1)^2} = \frac{n(n+2)}{(n+1)^2}$$
分子の $2k+1$ を $(k+1)^2 - k^2$ と見ることがポイントです。分子を因数分解の差に書き換えることで、テレスコーピング和の形に持ち込めます。なお $n \to \infty$ のとき、この和は $1$ に収束します。