階差数列
─ 隣り合う項の差から一般項へ

例：数列 $\{a_n\}$: $2, 5, 10, 17, 26, 37, \ldots$

階差数列 $\{b_n\}$: $3, 5, 7, 9, 11, \ldots$

階差数列 $\{b_n\}$ は初項 $3$、公差 $2$ の等差数列です。$b_n = 2n + 1$ がわかれば、これを使って $a_n$ の一般項が求められます。

$b_k = a_{k+1} - a_k$ を $k = 1, 2, \ldots, n-1$ について足し合わせます。

$b_1 = a_2 - a_1$

$b_2 = a_3 - a_2$

$b_3 = a_4 - a_3$

$\vdots$

$b_{n-1} = a_n - a_{n-1}$

辺々を加えると、右辺はテレスコーピング和になり

$$\sum_{k=1}^{n-1} b_k = a_n - a_1$$

よって $a_n = a_1 + \displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} b_k$ ($n \geq 2$)

例：数列 $2, 5, 10, 17, 26, \ldots$ の一般項を求めよ。

階差数列：$3, 5, 7, 9, \ldots$ → 初項 $3$、公差 $2$ の等差数列

$b_k = 3 + 2(k-1) = 2k + 1$

$n \geq 2$ のとき

$$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1}(2k+1) = 2 + 2\cdot\frac{(n-1)n}{2} + (n-1) = 2 + n^2 - n + n - 1 = n^2 + 1$$

$n = 1$：$a_1 = 1^2 + 1 = 2$ ✓（与えられた初項と一致）

よって $a_n = n^2 + 1$（$n \geq 1$）

例：数列 $1, 2, 4, 8, 16, \ldots$ ではなく、$1, 3, 7, 15, 31, \ldots$ の一般項を求めよ。

階差数列：$2, 4, 8, 16, \ldots$ → 初項 $2$、公比 $2$ の等比数列

$b_k = 2 \cdot 2^{k-1} = 2^k$

$n \geq 2$ のとき

$$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} 2^k = 1 + \frac{2(2^{n-1}-1)}{2-1} = 1 + 2^n - 2 = 2^n - 1$$

$n = 1$：$a_1 = 2^1 - 1 = 1$ ✓

よって $a_n = 2^n - 1$（$n \geq 1$）

例：数列 $1, 3, 8, 18, 35, 61, \ldots$ の一般項を求めよ。

第1階差：$2, 5, 10, 17, 26, \ldots$

第2階差：$3, 5, 7, 9, \ldots$ → 等差数列（初項 $3$, 公差 $2$）

第1階差の一般項：$b_n = n^2 + 1$（Section 3 の例と同じ）

$n \geq 2$ のとき

$$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1}(k^2+1) = 1 + \frac{(n-1)n(2n-1)}{6} + (n-1)$$

$$= 1 + \frac{(n-1)n(2n-1)}{6} + n - 1 = \frac{(n-1)n(2n-1)}{6} + n$$

$$= \frac{(n-1)n(2n-1) + 6n}{6} = \frac{n(2n^2 - 3n + 1 + 6)}{6} = \frac{n(2n^2 - 3n + 7)}{6}$$

$n = 1$：$\dfrac{1 \cdot (2 - 3 + 7)}{6} = \dfrac{6}{6} = 1$ ✓