高校数学では、三角関数の加法定理を公式として学び、和積変換や三角関数の合成といった派生公式もそれぞれ個別に覚えます。
しかし、これらの公式がなぜ成り立つのか、互いにどうつながっているのかを見通しよく理解することは容易ではありません。
大学数学では、回転行列という一つの道具を導入することで、加法定理のすべての公式を統一的に導出できます。
「2回の回転の合成は1回の回転に等しい」という幾何学的に明らかな事実を行列の言葉で書き下すと、加法定理が自動的に出てきます。
さらに、複素指数関数（オイラーの公式）を使えば、回転行列の本質が $e^{i\theta}$ という一つの式に帰着し、加法定理は指数法則 $e^{i(\alpha+\beta)} = e^{i\alpha} \cdot e^{i\beta}$ の実部・虚部を読み取るだけで得られます。
高校数学IIでは、三角関数の加法定理として次の4つの公式を学びます。
$$\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$$
$$\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta$$
$$\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$$
$$\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta$$
高校では、これらの公式の証明も教わります。たとえば $\cos(\alpha - \beta)$ については、単位円上の2点間の距離を余弦定理で求める方法が標準的です。 残りの公式は、$\cos(\alpha - \beta)$ の式で $\beta$ を $-\beta$ に置き換える、あるいは余弦と正弦の関係 $\sin\theta = \cos(\pi/2 - \theta)$ を使って導きます。
さらに、加法定理を出発点として、次のような派生公式が得られます。
これらの公式は個別に導かれ、個別に暗記することが求められます。 証明自体は正しいのですが、「なぜ加法定理がこのような形になるのか」という直感的な理解を得にくいのが実情です。 次のセクションでは、大学の視点を導入することで、これらの公式群を一つの原理から統一的に見渡せるようになることを確認します。
大学数学では、平面上の回転を回転行列（rotation matrix）で表します。 回転行列を使うと、「角度 $\alpha$ の回転の後に角度 $\beta$ の回転を行うと、角度 $\alpha + \beta$ の回転になる」という幾何学的に自明な事実が、行列の積の等式 $R(\alpha + \beta) = R(\alpha)R(\beta)$ として表現されます。 この行列の積を具体的に計算すると、加法定理が自動的に導かれます。
この記事を読み終えると、以下のことができるようになります。
1. 回転行列 $R(\theta)$ を高校の三角比の知識から導出し、具体的な角度で回転後の座標を計算できる
2. $R(\alpha+\beta) = R(\alpha)R(\beta)$ の行列積から、$\cos$ と $\sin$ の加法定理を同時に導出できる
3. オイラーの公式を使って、加法定理を指数法則の帰結として理解できる
4. 和積変換公式や三角関数の合成を、回転の視点から統一的に導ける
この統一的な導出を行うために、まず「回転行列」とは何かを導入する必要があります。 次のセクションで、高校の三角比の知識だけを使って回転行列を構成します。
回転行列を導入する前に、行列（matrix）という道具について説明します。 行列とは、数を長方形（縦横の格子状）に並べたものです。 この記事では、2行2列（2 $\times$ 2）の行列だけを使います。たとえば次のようなものです。
$$A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$$
行列は、平面上のベクトル（点の座標）に「作用」させることができます。 行列 $A$ をベクトル $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ に作用させると、次の計算で新しいベクトルが得られます。
$$A\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ax + by \\ cx + dy \end{pmatrix}$$
つまり、行列はベクトルを別のベクトルに変換する操作を表しています。 各行の成分と列ベクトルの成分をそれぞれ掛けて足し合わせます。 この規則さえ覚えれば、以下の議論を追うことができます。
平面上の点 $(x, y)$ を、原点を中心に反時計回りに角度 $\theta$ だけ回転させたとき、回転後の座標 $(x', y')$ はどうなるでしょうか。 高校の三角比の知識を使って、これを求めます。
点 $(x, y)$ は、原点からの距離を $r$、$x$ 軸からの角度を $\varphi$ とすると、次のように表せます。
$$x = r\cos\varphi, \quad y = r\sin\varphi$$
この点を角度 $\theta$ だけ回転させると、角度が $\varphi + \theta$ になり、原点からの距離 $r$ は変わりません。 したがって、回転後の座標は次の通りです。
$$x' = r\cos(\varphi + \theta), \quad y' = r\sin(\varphi + \theta)$$
ここで、高校で学ぶ加法定理を使って展開します（今は加法定理を既知として使い、セクション4で別の方法から再導出します）。
$$x' = r(\cos\varphi\cos\theta - \sin\varphi\sin\theta) = (r\cos\varphi)\cos\theta - (r\sin\varphi)\sin\theta = x\cos\theta - y\sin\theta$$
$$y' = r(\sin\varphi\cos\theta + \cos\varphi\sin\theta) = (r\sin\varphi)\cos\theta + (r\cos\varphi)\sin\theta = y\cos\theta + x\sin\theta$$
これを行列の形に整理すると、次のようになります。
$$\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$$
この 2 $\times$ 2 行列を回転行列と呼び、$R(\theta)$ と書きます。
$$R(\theta) = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$$
$R(\theta)$ は、平面上の任意の点を原点中心に反時計回りに角度 $\theta$ だけ回転させる操作を表す行列です。
回転行列が本当に回転を表しているか、具体的な数値で確認しましょう。 点 $(1, 0)$（$x$ 軸上の単位ベクトル）を $\theta = \pi/6$（30度）だけ回転させてみます。
$\cos(\pi/6) = \sqrt{3}/2$、$\sin(\pi/6) = 1/2$ なので、回転行列は次の通りです。
$$R\!\left(\frac{\pi}{6}\right) = \begin{pmatrix} \sqrt{3}/2 & -1/2 \\ 1/2 & \sqrt{3}/2 \end{pmatrix}$$
これを $(1, 0)$ に作用させると、
$$R\!\left(\frac{\pi}{6}\right)\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \sqrt{3}/2 \cdot 1 + (-1/2) \cdot 0 \\ 1/2 \cdot 1 + \sqrt{3}/2 \cdot 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \sqrt{3}/2 \\ 1/2 \end{pmatrix}$$
回転後の点は $(\sqrt{3}/2,\; 1/2)$ です。 これは単位円上の角度 $\pi/6$ の点にほかならず、確かに $(1, 0)$ を 30度回転させた結果です。 原点からの距離は $\sqrt{(\sqrt{3}/2)^2 + (1/2)^2} = \sqrt{3/4 + 1/4} = 1$ であり、回転によって距離が変わらないことも確認できます。
ここまでで、回転行列 $R(\theta)$ を導入し、具体例で動作を確認しました。 次のセクションでは、この回転行列の性質を使って、加法定理を導出します。 ここがこの記事のクライマックスです。
回転行列の最も重要な性質は、2回の回転を続けて行うことが、1回の回転と同じになるということです。
具体的には、ある点をまず角度 $\beta$ だけ回転させ、次に角度 $\alpha$ だけ回転させると、合計で角度 $\alpha + \beta$ だけ回転させたことになります。 これは幾何学的には当然のことです。30度回転してから45度回転すれば、75度回転したのと同じです。
行列の言葉では、「2回の回転の合成」は「行列の積」で表されます。つまり、次の等式が成り立ちます。
$$R(\alpha + \beta) = R(\alpha) \cdot R(\beta)$$
左辺は「一度に $\alpha + \beta$ だけ回転」を意味し、右辺は「まず $\beta$ だけ回転し、次に $\alpha$ だけ回転」を意味します。 幾何学的に結果は同じですから、この等式は成り立つはずです。
では、この等式の両辺を具体的に計算してみましょう。 両辺の行列の成分を比較することで、加法定理が得られます。
2 $\times$ 2 行列どうしの積は、次の規則で計算します。
$$\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} e & f \\ g & h \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ae + bg & af + bh \\ ce + dg & cf + dh \end{pmatrix}$$
各成分は、左の行列の行と右の行列の列を「成分ごとに掛けて足す」ことで得られます。 この規則を回転行列の積に適用します。
目標：$R(\alpha+\beta) = R(\alpha)R(\beta)$ の両辺を計算し、成分を比較することで加法定理を得る。
左辺：回転行列の定義から、
$$R(\alpha + \beta) = \begin{pmatrix} \cos(\alpha+\beta) & -\sin(\alpha+\beta) \\ \sin(\alpha+\beta) & \cos(\alpha+\beta) \end{pmatrix}$$
右辺：$R(\alpha)$ と $R(\beta)$ の積を計算します。
$$R(\alpha)R(\beta) = \begin{pmatrix} \cos\alpha & -\sin\alpha \\ \sin\alpha & \cos\alpha \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \cos\beta & -\sin\beta \\ \sin\beta & \cos\beta \end{pmatrix}$$
行列の積の規則を適用します。(1,1) 成分（1行1列）は、1行目 $(\cos\alpha,\; -\sin\alpha)$ と1列目 $(\cos\beta,\; \sin\beta)$ の積の和です。
$$(1,1)\text{ 成分} = \cos\alpha\cos\beta + (-\sin\alpha)\sin\beta = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$$
(2,1) 成分（2行1列）は、2行目 $(\sin\alpha,\; \cos\alpha)$ と1列目 $(\cos\beta,\; \sin\beta)$ の積の和です。
$$(2,1)\text{ 成分} = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$$
したがって、右辺は次のようになります。
$$R(\alpha)R(\beta) = \begin{pmatrix} \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta & -(\sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta) \\ \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta & \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta \end{pmatrix}$$
成分の比較：$R(\alpha+\beta) = R(\alpha)R(\beta)$ より、対応する成分が等しいので、
$$(1,1)\text{ 成分}:\quad \cos(\alpha+\beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$$
$$(2,1)\text{ 成分}:\quad \sin(\alpha+\beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$$
これが三角関数の加法定理です。2つの公式が、行列の積の計算から同時に、かつ自動的に得られました。
この導出のポイントを整理します。
セクション3で回転行列 $R(\theta)$ を導出する際に、加法定理を使いました。すると、「加法定理を使って回転行列を導き、回転行列から加法定理を導く」という循環論法ではないかという疑問が生じます。
実はこれは循環論法ではありません。回転行列の形は、加法定理を使わなくても導出できます。点 $(1, 0)$ と $(0, 1)$ の2つの基本ベクトルが $\theta$ 回転でどこに移るかを三角比の定義（単位円上の座標）から直接読み取れば、$R(\theta)$ の各成分は $\cos\theta,\; \sin\theta$ の定義そのものです。セクション3では分かりやすさのために加法定理を用いましたが、本質的には三角比の定義だけで回転行列は構成できます。
重要なのは、$R(\alpha+\beta) = R(\alpha)R(\beta)$ が幾何学的な事実（回転の合成）から保証されるということです。この等式と行列の積の計算規則だけから加法定理が導かれるので、論理の循環は起きていません。
$\cos(\alpha - \beta)$ や $\sin(\alpha - \beta)$ の公式も、$\beta$ を $-\beta$ に置き換えるだけで得られます。 $\cos(-\beta) = \cos\beta$、$\sin(-\beta) = -\sin\beta$ を代入すれば、
$$\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta$$
$$\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta$$
となり、4つの加法定理がすべて揃います。
ここまでで、回転行列の積から加法定理を導出しました。 次のセクションでは、同じ結果をさらに簡潔に得られる方法として、複素指数関数（オイラーの公式）を導入します。
📖 M-9-1 オイラーの公式で詳しく解説した通り、オイラーの公式は次の等式です。
$$e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$$
ここで $i$ は虚数単位（$i^2 = -1$）、$e$ は自然対数の底です。 この公式は、複素数 $e^{i\theta}$ が複素数平面上で原点を中心とする半径1の円（単位円）上の点を表し、偏角が $\theta$ であることを意味しています。 つまり、$e^{i\theta}$ は「角度 $\theta$ の回転」を一つの数で表現しています。
指数関数には、指数法則 $e^{a} \cdot e^{b} = e^{a+b}$ が成り立ちます。 これを $a = i\alpha$、$b = i\beta$ に適用すると、
$$e^{i(\alpha+\beta)} = e^{i\alpha} \cdot e^{i\beta}$$
この等式の両辺をオイラーの公式で展開します。
左辺：
$$e^{i(\alpha+\beta)} = \cos(\alpha+\beta) + i\sin(\alpha+\beta)$$
右辺：
$$e^{i\alpha} \cdot e^{i\beta} = (\cos\alpha + i\sin\alpha)(\cos\beta + i\sin\beta)$$
右辺を展開します。複素数の積は、実数の積と同じように分配法則で計算し、$i^2 = -1$ を使います。
$$= \cos\alpha\cos\beta + i\cos\alpha\sin\beta + i\sin\alpha\cos\beta + i^2\sin\alpha\sin\beta$$
$$= (\cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta) + i(\sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta)$$
両辺の実部どうし、虚部どうしを比較すると、
$$\cos(\alpha+\beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$$
$$\sin(\alpha+\beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$$
加法定理が再び得られました。
ここまでの議論を振り返ると、加法定理の背後には3つの見方があり、それらは本質的に同じものです。
1. 回転の合成（幾何学）：角度 $\beta$ の回転の後に角度 $\alpha$ の回転を行うと、角度 $\alpha + \beta$ の回転になる
2. 行列の積（線形代数）：$R(\alpha+\beta) = R(\alpha)R(\beta)$
3. 指数法則（解析学）：$e^{i(\alpha+\beta)} = e^{i\alpha} \cdot e^{i\beta}$
これら3つはすべて「角度の加法」という同じ現象を異なる言語で記述したものです。回転行列の $(1,1)$ 成分は $\cos\theta$、$(2,1)$ 成分は $\sin\theta$ であり、これは $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$ の実部と虚部にほかなりません。
複素数 $z = a + bi$ に複素数 $w = c + di$ を掛ける操作 $zw$ は、$z$ を原点中心に $\arg(w)$ だけ回転し $|w|$ 倍に拡大する操作に対応します。特に $|w| = 1$（つまり $w = e^{i\theta}$）のとき、$w$ を掛けることは純粋な回転です。
行列の言葉では、複素数 $a + bi$ をベクトル $\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$ に対応させ、$e^{i\theta}$ を掛ける操作を回転行列 $R(\theta)$ の作用に対応させることができます。つまり、複素数の乗法と回転行列の作用は、同じ操作の異なる表現です。
ここまでで、加法定理を回転行列と複素指数関数の2つの方法で導出し、両者が本質的に同じであることを確認しました。 次のセクションでは、この統一的な視点を使って、高校で個別に扱う和積変換公式や三角関数の合成を導出してみます。
高校では「和を積に変換する公式」として、次のような公式を学びます。
$$\cos A + \cos B = 2\cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}$$
この公式は、加法定理から機械的に導けます。 $\alpha = (A+B)/2$、$\beta = (A-B)/2$ とおくと、$A = \alpha + \beta$、$B = \alpha - \beta$ であり、加法定理から次のようになります。
方針：加法定理の2つの式を足し合わせることで、和積変換公式を得ます。
加法定理より、
$$\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta \quad \cdots (*)$$
$$\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta \quad \cdots (**)$$
$(*)$ と $(**)$ を足すと、$\sin\alpha\sin\beta$ の項が打ち消し合い、
$$\cos(\alpha+\beta) + \cos(\alpha-\beta) = 2\cos\alpha\cos\beta$$
$A = \alpha + \beta$、$B = \alpha - \beta$ とおけば（$\alpha = (A+B)/2$、$\beta = (A-B)/2$）、
$$\cos A + \cos B = 2\cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}$$
同様に、$(*)$ から $(**)$ を引くと、
$$\cos(\alpha+\beta) - \cos(\alpha-\beta) = -2\sin\alpha\sin\beta$$
$$\cos A - \cos B = -2\sin\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}$$
$\sin$ についても、$\sin(\alpha+\beta)$ と $\sin(\alpha-\beta)$ の和・差をとることで、残りの和積変換公式が得られます。
このように、和積変換公式は加法定理の2つの式の「足し算」や「引き算」から自動的に導かれます。 暗記すべきなのは加法定理だけであり、和積変換は必要に応じてその場で導出できるのです。
高校では、$a\sin\theta + b\cos\theta$ を一つの三角関数にまとめる「三角関数の合成」を学びます。
$$a\sin\theta + b\cos\theta = \sqrt{a^2 + b^2}\sin(\theta + \varphi)$$
ここで $\varphi$ は $\cos\varphi = a/\sqrt{a^2 + b^2}$、$\sin\varphi = b/\sqrt{a^2 + b^2}$ を満たす角度です。 この公式は、加法定理の右辺の形を逆に見ることで得られます。
回転の視点からは、これは次のように解釈できます。$a\sin\theta + b\cos\theta$ という式は、ベクトル $\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$ と回転する単位ベクトル $\begin{pmatrix} \sin\theta \\ \cos\theta \end{pmatrix}$ の内積です。 内積の値は、2つのベクトルのなす角のコサインに両者の大きさを掛けたものですから、ベクトル $\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$ の大きさ $\sqrt{a^2 + b^2}$ とベクトル間の角度のずれ $\varphi$ を使って、$\sqrt{a^2+b^2}\sin(\theta + \varphi)$ と書けるのです。
$a = 1$、$b = \sqrt{3}$ の場合を計算します。
まず、$\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{1 + 3} = 2$ です。
次に、$\cos\varphi = 1/2$、$\sin\varphi = \sqrt{3}/2$ より、$\varphi = \pi/3$ です。
したがって、
$$\sin\theta + \sqrt{3}\cos\theta = 2\sin\!\left(\theta + \frac{\pi}{3}\right)$$
検証として、$\theta = 0$ を代入すると、左辺は $0 + \sqrt{3} = \sqrt{3}$、右辺は $2\sin(\pi/3) = 2 \cdot \sqrt{3}/2 = \sqrt{3}$ で一致します。 $\theta = \pi/2$ を代入すると、左辺は $1 + 0 = 1$、右辺は $2\sin(\pi/2 + \pi/3) = 2\sin(5\pi/6) = 2 \cdot 1/2 = 1$ で一致します。
Q1. 回転行列 $R(\theta)$ の定義を書いてください。また、$R(0)$ はどのような行列になりますか。
Q2. $R(\alpha+\beta) = R(\alpha)R(\beta)$ という等式が成り立つ幾何学的な理由を説明してください。
Q3. オイラーの公式を使って $\cos(\alpha+\beta)$ の加法定理を導いてください。どの等式のどの部分を比較しますか。
Q4. 回転行列 $R(\pi/2)$ を具体的に書き下し、点 $(3, 1)$ に作用させた結果を求めてください。
回転行列 $R(\pi/4)$ を書き下し、点 $(1, 0)$ に作用させた結果を求めてください。得られた点が単位円上にあることを確認してください。
$\cos(\pi/4) = \sin(\pi/4) = \sqrt{2}/2$ なので、
$$R\!\left(\frac{\pi}{4}\right) = \begin{pmatrix} \sqrt{2}/2 & -\sqrt{2}/2 \\ \sqrt{2}/2 & \sqrt{2}/2 \end{pmatrix}$$
$$R\!\left(\frac{\pi}{4}\right)\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \sqrt{2}/2 \\ \sqrt{2}/2 \end{pmatrix}$$
原点からの距離は $\sqrt{(\sqrt{2}/2)^2 + (\sqrt{2}/2)^2} = \sqrt{1/2 + 1/2} = 1$ であり、単位円上の点です。
$R(\alpha+\beta) = R(\alpha)R(\beta)$ を用いて、$\cos(2\alpha)$ と $\sin(2\alpha)$ の2倍角の公式を導出してください。
$\beta = \alpha$ とおくと $R(2\alpha) = R(\alpha)R(\alpha) = R(\alpha)^2$ です。
$$R(\alpha)^2 = \begin{pmatrix} \cos\alpha & -\sin\alpha \\ \sin\alpha & \cos\alpha \end{pmatrix}^2 = \begin{pmatrix} \cos^2\alpha - \sin^2\alpha & -2\sin\alpha\cos\alpha \\ 2\sin\alpha\cos\alpha & \cos^2\alpha - \sin^2\alpha \end{pmatrix}$$
$R(2\alpha)$ の $(1,1)$ 成分から $\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$ が、$(2,1)$ 成分から $\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$ が得られます。
$e^{i\pi/3} \cdot e^{i\pi/4}$ を計算し、結果を $a + bi$（$a, b$ は実数）の形で表してください。さらに、この計算から $\cos(7\pi/12)$ と $\sin(7\pi/12)$ の値を求めてください。
指数法則より $e^{i\pi/3} \cdot e^{i\pi/4} = e^{i(\pi/3 + \pi/4)} = e^{i \cdot 7\pi/12}$ です。
オイラーの公式で展開すると、
$$e^{i\pi/3} \cdot e^{i\pi/4} = \left(\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$$
$$= \frac{\sqrt{2}}{4} + i\frac{\sqrt{2}}{4} + i\frac{\sqrt{6}}{4} + i^2\frac{\sqrt{6}}{4}$$
$$= \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4} + i\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$$
したがって、$\cos\dfrac{7\pi}{12} = \dfrac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$、$\sin\dfrac{7\pi}{12} = \dfrac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ です。
$7\pi/12 = 105{{}^\circ}$ は高校の三角比の表には載っていない角度ですが、$60{{}^\circ} + 45{{}^\circ}$ に分解できるため、複素指数関数の積を使って正確な値を求めることができます。これは加法定理の直接的な応用です。
加法定理の $\sin$ の式を用いて、和積変換公式
$$\sin A + \sin B = 2\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}$$
を導出してください。さらに、この公式を使って $\sin 75{{}^\circ} + \sin 15{{}^\circ}$ の値を求めてください。
導出：加法定理より、
$$\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$$
$$\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta$$
2つの式を足すと、
$$\sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta) = 2\sin\alpha\cos\beta$$
$A = \alpha + \beta$、$B = \alpha - \beta$ とおくと $\alpha = (A+B)/2$、$\beta = (A-B)/2$ であり、
$$\sin A + \sin B = 2\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}$$
計算：$A = 75{{}^\circ}$、$B = 15{{}^\circ}$ を代入すると、
$$\sin 75{{}^\circ} + \sin 15{{}^\circ} = 2\sin\frac{75{{}^\circ}+15{{}^\circ}}{2}\cos\frac{75{{}^\circ}-15{{}^\circ}}{2} = 2\sin 45{{}^\circ}\cos 30{{}^\circ}$$
$$= 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{6}}{2}$$
回転行列 $R(\theta)$ に対して、$R(\theta) \cdot R(-\theta)$ を計算し、結果が単位行列 $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ になることを示してください。この結果の幾何学的な意味を説明してください。
$$R(\theta) \cdot R(-\theta) = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta \\ -\sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$$
$(1,1)$ 成分：$\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$
$(1,2)$ 成分：$\cos\theta\sin\theta - \sin\theta\cos\theta = 0$
$(2,1)$ 成分：$\sin\theta\cos\theta - \cos\theta\sin\theta = 0$
$(2,2)$ 成分：$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$
$$R(\theta) \cdot R(-\theta) = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$
幾何学的には、角度 $\theta$ の回転を行った後に角度 $-\theta$（逆方向に $\theta$）の回転を行うと、元の位置に戻ります。つまり $R(-\theta)$ は $R(\theta)$ の逆操作（逆行列）です。この計算では、三角関数の基本恒等式 $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$ が自然に現れています。回転が「距離を保つ操作」であることの行列的な表現です。