定積分は「微小な短冊の面積を積み上げる」操作そのものです。この章では、曲線と $x$ 軸の間の面積、2つの曲線で囲まれた領域の面積を求める方法を学びます。符号の扱いや上下関係の判定を正しく行うことが、面積計算の出発点です。
定積分 $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$ は、幾何学的には「$y = f(x)$ のグラフと $x$ 軸の間の符号付き面積」を表します。しかし、なぜ原始関数の差で面積が計算できるのでしょうか。
区間 $[a, b]$ を $n$ 等分し、各小区間の幅を $\Delta x = \dfrac{b-a}{n}$ とします。各小区間で関数値 $f(x_k)$ を高さとする短冊を考えると、その面積の総和は
$$S_n = \sum_{k=1}^{n} f(x_k)\,\Delta x$$
$n \to \infty$ としたとき、この和が定積分 $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$ に収束します。つまり定積分とは、無限に薄い短冊の面積を無限個足し合わせた極限なのです。
面積を求めるとは、「微小幅 $dx$ の短冊の面積 $f(x)\,dx$ を $a$ から $b$ まで積み上げる」ことです。この考え方は面積に限らず、体積・弧長・仕事など、積分のあらゆる応用に共通する原理です。
重要なのは、$f(x) < 0$ の部分では短冊の面積が負としてカウントされる点です。だから面積（正の量）を求めるには、符号の処理が必要になります。
✗ 誤：$\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$ が常に面積を表す
○ 正：$f(x) \ge 0$ のときだけ、定積分がそのまま面積になる
$f(x) < 0$ の部分では定積分は負の値を返します。面積（正の量）を求めるには $\displaystyle\int_a^b |f(x)|\,dx$ とする必要があります。
ここで用いた「区間を分割して短冊の面積を足す」方法はリーマン積分と呼ばれます。大学数学ではルベーグ積分という、より一般的な積分概念を学びます。ルベーグ積分では「$y$ 方向に分割する」発想を用い、リーマン積分では扱えない複雑な関数にも適用できます。
最も基本的な面積計算は、曲線 $y = f(x)$ と $x$ 軸で囲まれた部分の面積です。
区間 $[a, b]$ で $f(x) \ge 0$ のとき：
$$S = \int_a^b f(x)\,dx$$
区間 $[a, b]$ で $f(x) \le 0$ のとき：
$$S = -\int_a^b f(x)\,dx = \int_a^b \{-f(x)\}\,dx$$
一般の場合（符号が変わる場合）：
$$S = \int_a^b |f(x)|\,dx$$
※ 絶対値の中身の符号が変わる点（零点）で積分区間を分割して計算します。
$f(x) = x^2 - 1$ と $x$ 軸で囲まれた部分の面積を求めましょう。$f(x) = 0$ とすると $x = \pm 1$ であり、$-1 \le x \le 1$ で $f(x) \le 0$ です。
$$S = \int_{-1}^{1} |x^2 - 1|\,dx = \int_{-1}^{1} (1 - x^2)\,dx = \left[x - \frac{x^3}{3}\right]_{-1}^{1} = \frac{4}{3}$$
ここで $|x^2 - 1| = 1 - x^2$（$-1 \le x \le 1$ で $x^2 - 1 \le 0$ なので）としています。
✗ 誤：$\displaystyle\int_{-1}^{1}(x^2 - 1)\,dx = \left[\frac{x^3}{3} - x\right]_{-1}^{1} = -\frac{4}{3}$
○ 正：$x^2 - 1 \le 0$ なので $|x^2 - 1| = -(x^2 - 1) = 1 - x^2$ として積分し $\dfrac{4}{3}$
面積は必ず正の値です。定積分が負になったら、符号の処理を間違えている証拠です。
$f(x) = x^2 - 4$ と $x$ 軸で囲まれた部分の面積を区間 $[-3, 3]$ で求めるとします。$f(x) = 0$ の解は $x = \pm 2$ です。
$|x| > 2$ で $f(x) > 0$、$|x| < 2$ で $f(x) < 0$ なので：
$$S = \int_{-3}^{-2}(x^2-4)\,dx + \int_{-2}^{2}(4-x^2)\,dx + \int_2^3(x^2-4)\,dx$$
対称性を利用すれば $S = 2\displaystyle\int_2^3(x^2-4)\,dx + \int_{-2}^{2}(4-x^2)\,dx$ と計算量を減らせます。
入試で最も出題される面積の問題は、2つの曲線で囲まれた領域の面積です。ここでの最重要ポイントは上下関係の判定です。
区間 $[a, b]$ で $f(x) \ge g(x)$ のとき：
$$S = \int_a^b \{f(x) - g(x)\}\,dx$$
一般の場合：
$$S = \int_a^b |f(x) - g(x)|\,dx$$
※ $f(x) - g(x)$ の符号が変わる点（交点の $x$ 座標）で区間を分割します。
$y = f(x)$ と $y = g(x)$ で囲まれた面積を求める問題は、実質的には $h(x) = f(x) - g(x)$ と $x$ 軸の間の面積を求める問題と同じです。
「上の曲線 $-$ 下の曲線」を被積分関数とする ── これが2曲線間の面積計算の原則です。どちらが上にあるかは、区間ごとに確認する必要があります。
2つの曲線 $y = f(x)$ と $y = g(x)$ の上下関係を調べるには、次の手順を踏みます。
Step 1: 交点を求める。$f(x) = g(x)$ を解いて交点の $x$ 座標 $x = \alpha, \beta, \ldots$ を求めます。
Step 2: 各区間で $f(x) - g(x)$ の符号を調べる。交点の間の区間から代表的な $x$ の値を1つ選び、$f(x) - g(x)$ の正負を確認します。
Step 3: 上下関係に応じて面積を計算する。$f(x) - g(x) \ge 0$ なら $f$ が上、$f(x) - g(x) \le 0$ なら $g$ が上です。
✗ 誤：「見た目で $f(x)$ が上だろう」と思い込んで $\int_a^b\{f(x)-g(x)\}\,dx$ を計算 → 負の値が出て混乱
○ 正：交点の間で具体的に代入して $f(x)-g(x)$ の正負を確認してから積分
グラフの概形がわかっている場合でも、計算で確認する習慣をつけましょう。
$y = x^2$ と $y = x + 2$ で囲まれた部分の面積を求めましょう。交点は $x^2 = x + 2$ より $x^2 - x - 2 = 0$、$(x-2)(x+1) = 0$ で $x = -1, 2$ です。
$-1 \le x \le 2$ で $(x+2) - x^2 = -x^2 + x + 2 = -(x-2)(x+1) \ge 0$（直線が上）なので：
$$S = \int_{-1}^{2}\{(x+2) - x^2\}\,dx = \int_{-1}^{2}(-x^2+x+2)\,dx = \left[-\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}+2x\right]_{-1}^{2} = \frac{9}{2}$$
放物線と直線の交点の $x$ 座標が $\alpha, \beta$（$\alpha < \beta$）のとき、囲まれる面積は
$$S = \frac{|a|}{6}(\beta - \alpha)^3$$
（$a$ は放物線 $y = ax^2 + bx + c$ の2次の係数）で求まります。上の例では $a = 1$, $\beta - \alpha = 3$ より $S = \dfrac{1}{6} \cdot 27 = \dfrac{9}{2}$ と一致します。この公式は入試で非常に有用ですが、適用条件を正しく理解して使いましょう。
面積計算で最も間違いやすいのが、符号の処理です。定積分は符号付きの量ですが、面積は常に正です。この違いを明確に意識しましょう。
Step 1（零点の発見）：被積分関数 $= 0$ となる点を求めて、積分区間を分割する
Step 2（符号の判定）：各小区間で被積分関数の正負を確認する
Step 3（絶対値の処理）：負の区間では符号を反転させて積分する
$f(x) = x^3 - 3x$ と $x$ 軸で囲まれた2つの部分の面積の和を求めましょう。$f(x) = x(x^2-3) = x(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3}) = 0$ より $x = 0, \pm\sqrt{3}$ です。
$-\sqrt{3} \le x \le 0$ で $f(x) \ge 0$、$0 \le x \le \sqrt{3}$ で $f(x) \le 0$ です（奇関数であることからもわかります）。
$$S = \int_{-\sqrt{3}}^{0}(x^3-3x)\,dx + \int_0^{\sqrt{3}}(3x-x^3)\,dx$$
奇関数の対称性から、2つの積分の値は等しく：
$$S = 2\int_0^{\sqrt{3}}(3x-x^3)\,dx = 2\left[\frac{3x^2}{2}-\frac{x^4}{4}\right]_0^{\sqrt{3}} = 2\left(\frac{9}{2}-\frac{9}{4}\right) = \frac{9}{2}$$
✗ 誤：$f(x) = x^3 - 3x$ は奇関数なので $\displaystyle\int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}}(x^3-3x)\,dx = 0$。よって面積 $= 0$
○ 正：定積分が $0$ になるのは正負が打ち消し合うから。面積は $|f(x)|$ の積分で $\dfrac{9}{2}$
定積分の値 $= 0$ は「$x$ 軸の上と下の面積が等しい」ことを意味するだけで、面積が $0$ ではありません。
「直線 $x = t$ が面積を二等分する $t$ の値を求めよ」という問題は入試の定番です。面積を $t$ の関数として立式し、全体の面積の半分と等しいとおいて方程式を解きます。
このとき $S(t) = \displaystyle\int_a^t |f(x)|\,dx$ は $t$ の関数であり、$S'(t) = |f(t)|$ であることを利用すると見通しがよくなります。
✗ 誤：「対称だから中央で等分」と即断する
○ 正：曲線が対称軸に関して対称であることを確認してから使う
$y = x^2$ は $y$ 軸対称ですが、$y = x^2 - x$ のような関数は対称ではありません。対称性は便利ですが、使える条件を確認しましょう。
これまでは $x$ 軸方向に積分してきましたが、曲線の形によっては $y$ 軸方向に積分する方が計算が簡単になる場合があります。
$x = \varphi(y)$ で表される曲線と $y$ 軸の間の面積：
$$S = \int_c^d |\varphi(y)|\,dy$$
2曲線 $x = \varphi(y)$, $x = \psi(y)$ の間の面積（$\varphi(y) \ge \psi(y)$）：
$$S = \int_c^d \{\varphi(y) - \psi(y)\}\,dy$$
※ $x$ 方向の積分と $y$ 方向の積分は同じ面積を与えます。計算が楽な方を選びましょう。
$x = y^2$ と $x = 2 - y^2$ で囲まれた面積を求めましょう。これを $x$ 軸方向で積分しようとすると、$y = \pm\sqrt{x}$ と $y = \pm\sqrt{2-x}$ の場合分けが煩雑です。
$y$ 軸方向なら、交点は $y^2 = 2 - y^2$ より $y = \pm 1$ で、$-1 \le y \le 1$ で $(2-y^2) - y^2 = 2 - 2y^2 \ge 0$ なので：
$$S = \int_{-1}^{1}(2-2y^2)\,dy = 2\int_0^1(2-2y^2)\,dy = 2\left[2y - \frac{2y^3}{3}\right]_0^1 = \frac{8}{3}$$
面積を求めるとき、$x$ 方向と $y$ 方向のどちらで積分するかは、「被積分関数が1つの式で表せる方」を選ぶのが原則です。
$y$ を $x$ の関数として1つの式で書けるなら $x$ 方向、$x$ を $y$ の関数として1つの式で書けるなら $y$ 方向で積分します。場合分けが少ない方を選ぶと計算ミスも減ります。
大学数学では、面積は2変数関数 $f(x,y) = 1$ の重積分 $\iint_D 1\,dx\,dy$ として定義されます。$x$ 方向に先に積分するか $y$ 方向に先に積分するかは、累次積分の順序交換に対応します。高校では「計算が楽な方向を選ぶ」という経験的な判断ですが、大学ではフビニの定理がこの自由度を保証しています。
Q1. $y = x^2$ と $x$ 軸および直線 $x = 2$ で囲まれた面積を求めよ。
Q2. $y = \sin x$ と $x$ 軸で囲まれた、$0 \le x \le 2\pi$ の範囲の面積を求めよ。
Q3. $y = x^2$ と $y = 2x$ で囲まれた面積を求めよ。
Q4. $\dfrac{1}{6}$ 公式を用いて、$y = -x^2 + 4x$ と $x$ 軸で囲まれた面積を求めよ。
Q5. $x = y^2$ と $y$ 軸で囲まれた部分の面積を $y$ 軸方向の積分で求めよ（$0 \le y \le 2$）。
放物線 $y = x^2 - 2x$ と $x$ 軸で囲まれた部分の面積 $S$ を求めよ。
$x^2 - 2x = x(x-2) = 0$ より $x = 0, 2$。
$0 \le x \le 2$ で $x^2 - 2x \le 0$ なので：
$$S = \int_0^2 (2x - x^2)\,dx = \left[x^2 - \frac{x^3}{3}\right]_0^2 = 4 - \frac{8}{3} = \frac{4}{3}$$
（$\dfrac{1}{6}$ 公式：$S = \dfrac{1}{6}(2-0)^3 = \dfrac{8}{6} = \dfrac{4}{3}$ と一致）
曲線 $y = e^x$ と直線 $y = ex$ で囲まれた部分の面積 $S$ を求めよ。
$e^x = ex$ とおく。$x = 1$ のとき $e^1 = e \cdot 1$ で成立。
$f(x) = e^x - ex$ とすると $f'(x) = e^x - e$、$f'(x) = 0$ より $x = 1$。
$x < 1$ で $f'(x) < 0$（$f$ は単調減少）、$x > 1$ で $f'(x) > 0$（$f$ は単調増加）。
$f(1) = e - e = 0$ は極小値かつ最小値なので、$x = 1$ でのみ $f(x) = 0$。
しかし $f(0) = 1 - 0 = 1 > 0$、$\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0 - (-\infty) = +\infty$ なので、$x = 1$ は唯一の接点。
実際 $y = ex$ は $y = e^x$ の $x = 1$ における接線です。接線と曲線の面積を考えます。
もう一つの交点を探すと、$e^x = ex$ で $x = 0$ を確認：$e^0 = 1$, $e \cdot 0 = 0$ より不成立。
再考：$e^x - ex = 0$ の解は $x = 1$ のみ（接する）。面積は $x = 0$ 付近を含む領域を考えます。
$x = 0$：$e^0 = 1$, $e \cdot 0 = 0$ より曲線が上。囲まれた領域は $0 \le x \le 1$ で $e^x \ge ex$ です。
$$S = \int_0^1 (e^x - ex)\,dx = \left[e^x - \frac{ex^2}{2}\right]_0^1 = \left(e - \frac{e}{2}\right) - 1 = \frac{e}{2} - 1$$
放物線 $y = 4 - x^2$ と $x$ 軸で囲まれた部分の面積を、直線 $y = k$（$0 < k < 4$）が2等分するとき、$k$ の値を求めよ。
放物線と $x$ 軸の交点は $x = \pm 2$。全体の面積は：
$$S = \int_{-2}^{2}(4-x^2)\,dx = 2\int_0^2(4-x^2)\,dx = 2\left[4x - \frac{x^3}{3}\right]_0^2 = \frac{32}{3}$$
$y = k$ と $y = 4-x^2$ の交点は $4-x^2 = k$ より $x = \pm\sqrt{4-k}$。
直線 $y = k$ より上の部分の面積は：
$$S_1 = \int_{-\sqrt{4-k}}^{\sqrt{4-k}}\{(4-x^2) - k\}\,dx = 2\int_0^{\sqrt{4-k}}(4-k-x^2)\,dx$$
$$= 2\left[(4-k)x - \frac{x^3}{3}\right]_0^{\sqrt{4-k}} = 2(4-k)^{3/2}\left(1 - \frac{1}{3}\right) = \frac{4}{3}(4-k)^{3/2}$$
$S_1 = \dfrac{S}{2} = \dfrac{16}{3}$ とおくと：
$$\frac{4}{3}(4-k)^{3/2} = \frac{16}{3} \implies (4-k)^{3/2} = 4 \implies 4-k = 4^{2/3} = 2\sqrt[3]{2}$$
$$k = 4 - 2\sqrt[3]{2}$$
曲線 $y = x\,e^{-x}$（$x \ge 0$）と $x$ 軸で囲まれた部分の面積を求めよ。すなわち $\displaystyle\lim_{t \to \infty}\int_0^t x\,e^{-x}\,dx$ を計算せよ。
$x \ge 0$ で $xe^{-x} \ge 0$ なので面積はそのまま定積分で求まる。部分積分を用いる。
$$\int_0^t xe^{-x}\,dx = \left[-xe^{-x}\right]_0^t + \int_0^t e^{-x}\,dx = -te^{-t} + \left[-e^{-x}\right]_0^t$$
$$= -te^{-t} + (-e^{-t} + 1) = 1 - (t+1)e^{-t}$$
$t \to \infty$ のとき $(t+1)e^{-t} \to 0$（指数関数の増加速度が多項式を圧倒するため）。
よって $S = \displaystyle\lim_{t \to \infty}\left\{1 - (t+1)e^{-t}\right\} = 1$
$y = xe^{-x}$ は $x = 1$ で極大値 $e^{-1}$ をとり、$x \to \infty$ で急速に $0$ に近づく曲線です。無限に広がる領域でも面積が有限値に収束するのは、$e^{-x}$ の減衰が速いためです。このような広義積分は大学入試でも頻出します。