$\sin^n x \cos^m x$ のような三角関数の冪の積分は、$n$, $m$ の偶奇によって最適な方法が異なります。さらに、$\dfrac{1}{\sin x + \cos x}$ のように一般の三角関数の有理式に対しては、$t = \tan\dfrac{x}{2}$ という万能置換（ワイエルシュトラスの置換）が威力を発揮します。この記事では、三角関数の積分を「場合分けの体系」として整理し、どんな問題でも方針が立てられるようにします。
三角関数の冪の積分で最も重要なのは、指数 $n$, $m$ の偶奇を見ることです。偶奇によって最適な手法が異なるからです。
少なくとも一方が奇数：奇数冪の関数から1つ取り出して $dx$ とセットにし、残りを $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ で書き換える。$\sin x$ か $\cos x$ の置換で有理関数に帰着。
両方とも偶数：半角の公式 $\sin^2 x = \dfrac{1 - \cos 2x}{2}$, $\cos^2 x = \dfrac{1 + \cos 2x}{2}$ で次数を下げる。
$\int \sin^n x \cos^{2k+1} x\,dx$ の形のとき、$\cos x$ を1つ取り出して残りを $\cos^{2k} x = (1 - \sin^2 x)^k$ と書き換え、$t = \sin x$ と置換します。
具体例：$\int \sin^2 x \cos^3 x\,dx$
$\cos^3 x = \cos^2 x \cdot \cos x = (1 - \sin^2 x)\cos x$ と変形し、$t = \sin x$（$dt = \cos x\,dx$）と置換：
$$\int \sin^2 x (1 - \sin^2 x)\cos x\,dx = \int t^2(1-t^2)\,dt = \int (t^2 - t^4)\,dt$$
$$= \frac{t^3}{3} - \frac{t^5}{5} + C = \frac{\sin^3 x}{3} - \frac{\sin^5 x}{5} + C$$
同様に、$\sin x$ を1つ取り出して $t = \cos x$ と置換します。
具体例：$\int \sin^3 x\,dx$
$\sin^3 x = \sin^2 x \cdot \sin x = (1 - \cos^2 x)\sin x$ として $t = \cos x$（$dt = -\sin x\,dx$）：
$$\int (1 - \cos^2 x)\sin x\,dx = -\int (1 - t^2)\,dt = -t + \frac{t^3}{3} + C = -\cos x + \frac{\cos^3 x}{3} + C$$
✗ 誤：$t = \cos x$ として $dt = \sin x\,dx$ とする → 符号が逆
○ 正：$(\cos x)' = -\sin x$ なので $dt = -\sin x\,dx$
$\sin x\,dx = -dt$ というマイナスの符号は非常に見落としやすいです。置換時に $dx$ と微分の関係を丁寧に書きましょう。
$\int \sin^2 x\,dx$ や $\int \cos^4 x\,dx$ のように両方の指数が偶数（片方が $0$ の場合を含む）のときは、上の方法が使えません。ここで活躍するのが半角の公式です。
$$\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}, \quad \cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$$
$$\sin x \cos x = \frac{\sin 2x}{2}$$
※ これらは $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x = 2\cos^2 x - 1$ から導かれます。2乗を1次の三角関数に変換する操作です。
$$\int \sin^2 x\,dx = \int \frac{1 - \cos 2x}{2}\,dx = \frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} + C$$
まず $\cos^4 x = (\cos^2 x)^2 = \left(\dfrac{1+\cos 2x}{2}\right)^2 = \dfrac{1 + 2\cos 2x + \cos^2 2x}{4}$ と変形します。
$\cos^2 2x$ に再度半角の公式を適用：$\cos^2 2x = \dfrac{1+\cos 4x}{2}$
$$\cos^4 x = \frac{1}{4}\left(1 + 2\cos 2x + \frac{1+\cos 4x}{2}\right) = \frac{3}{8} + \frac{1}{2}\cos 2x + \frac{1}{8}\cos 4x$$
$$\int \cos^4 x\,dx = \frac{3x}{8} + \frac{\sin 2x}{4} + \frac{\sin 4x}{32} + C$$
$\sin^2 x$（2次）→ $\dfrac{1 - \cos 2x}{2}$（1次）のように、半角の公式は三角関数の次数を半分に下げます。$\cos^4 x$（4次）なら2回使えば1次以下になり、積分できます。
「偶数冪が出たら半角で次数下げ」と反射的に動けるようにしておきましょう。
✗ 誤：$\cos^4 x$ の展開で $\cos^2 2x$ をそのまま残して積分しようとする
○ 正：$\cos^2 2x = \dfrac{1+\cos 4x}{2}$ と再度変換して全体を1次にする
$\cos^2(\cdot)$ が残っている限り、まだ積分可能な形にはなっていません。すべての偶数冪が消えるまで半角の公式を繰り返し適用しましょう。
$\tan x$ を含む積分も重要なパターンです。基本は $(\tan x)' = \dfrac{1}{\cos^2 x}$ と $\tan^2 x = \dfrac{1}{\cos^2 x} - 1$ という2つの関係式を活用することです。
$$\int \tan x\,dx = -\log|\cos x| + C = \log|\sec x| + C$$
$$\int \frac{1}{\cos^2 x}\,dx = \tan x + C$$
$$\int \tan^2 x\,dx = \tan x - x + C$$
※ $\tan^2 x = \dfrac{1}{\cos^2 x} - 1$ を使えば3つ目は2つ目から直ちに得られます。
$\tan^n x = \tan^{n-2} x \cdot \tan^2 x = \tan^{n-2} x \left(\dfrac{1}{\cos^2 x} - 1\right)$ と書けるので：
$$\int \tan^n x\,dx = \int \frac{\tan^{n-2} x}{\cos^2 x}\,dx - \int \tan^{n-2} x\,dx$$
最初の積分は $t = \tan x$（$dt = \dfrac{dx}{\cos^2 x}$）で $\int t^{n-2}\,dt = \dfrac{t^{n-1}}{n-1} = \dfrac{\tan^{n-1} x}{n-1}$ となるので：
$$\int \tan^n x\,dx = \frac{\tan^{n-1} x}{n-1} - \int \tan^{n-2} x\,dx$$
この漸化式により、$\tan$ の冪の積分は次数を2ずつ下げながら計算できます。
✗ 誤：$\int \tan x\,dx = \int \dfrac{\sin x}{\cos x}\,dx$ を $\log|\sin x|$ と書く
○ 正：$t = \cos x$ と置換すると $dt = -\sin x\,dx$ なので $\int \dfrac{-dt}{t} = -\log|t| = -\log|\cos x| + C$
$\dfrac{\sin x}{\cos x}$ は分子が分母の微分ではなく、分母の微分のマイナスです。$\log$ の中身は $\cos x$ であって $\sin x$ ではありません。
大学の微積分では $\sec x = \dfrac{1}{\cos x}$, $\csc x = \dfrac{1}{\sin x}$ の積分も基本公式として扱います。
$$\int \sec x\,dx = \log|\sec x + \tan x| + C$$
これは分子分母に $\sec x + \tan x$ を掛けるというトリッキーな変形で導けます。高校範囲では $\int \dfrac{1}{\cos x}\,dx$ として出題されることがあります。
$\sin x$ や $\cos x$ の有理式、たとえば $\dfrac{1}{a\sin x + b\cos x + c}$ のような積分に対して、万能置換と呼ばれる強力な手法があります。
$t = \tan\dfrac{x}{2}$ とおくと：
$$\sin x = \frac{2t}{1+t^2}, \quad \cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}, \quad dx = \frac{2}{1+t^2}\,dt$$
※ この置換により、$\sin x$ と $\cos x$ の任意の有理式は $t$ の有理関数に変換されます。有理関数の積分は部分分数分解で必ず処理できるので、原理的にはすべての三角関数の有理式が積分可能になります。
$t = \tan\dfrac{x}{2}$ より、$\sin\dfrac{x}{2}$ と $\cos\dfrac{x}{2}$ を $t$ で表します。$1 + t^2 = 1 + \tan^2\dfrac{x}{2} = \dfrac{1}{\cos^2\frac{x}{2}}$ より $\cos^2\dfrac{x}{2} = \dfrac{1}{1+t^2}$。
2倍角の公式から：
$$\sin x = 2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2} = 2\cdot\frac{t}{\sqrt{1+t^2}}\cdot\frac{1}{\sqrt{1+t^2}} = \frac{2t}{1+t^2}$$
$$\cos x = \cos^2\frac{x}{2} - \sin^2\frac{x}{2} = \frac{1}{1+t^2} - \frac{t^2}{1+t^2} = \frac{1-t^2}{1+t^2}$$
また $\dfrac{x}{2} = \arctan t$ より $x = 2\arctan t$、$dx = \dfrac{2}{1+t^2}\,dt$ です。
$t = \tan\dfrac{x}{2}$ と置換します。$\sin x = \dfrac{2t}{1+t^2}$, $dx = \dfrac{2}{1+t^2}\,dt$ より：
$$\int \frac{1}{1 + \frac{2t}{1+t^2}} \cdot \frac{2}{1+t^2}\,dt = \int \frac{1}{\frac{1+t^2+2t}{1+t^2}} \cdot \frac{2}{1+t^2}\,dt = \int \frac{2}{(1+t)^2}\,dt$$
$$= \frac{-2}{1+t} + C = \frac{-2}{1+\tan\frac{x}{2}} + C$$
$t = \tan\dfrac{x}{2}$ の置換は、$\sin x$ と $\cos x$ をすべて $t$ の有理式に変換します。三角関数の有理式 $R(\sin x, \cos x)$ はどんなに複雑でも $t$ の有理関数になるので、あとは部分分数分解で積分できます。
「万能」と呼ばれる所以は、原理的にどんな三角関数の有理式にも適用できるからです。ただし計算が煩雑になることがあるため、他の方法が使える場合はそちらを優先しましょう。
✗ 誤：$\int \sin^3 x\,dx$ に万能置換を使う → 計算が非常に煩雑
○ 正：$\sin^3 x = (1-\cos^2 x)\sin x$ として $t = \cos x$ と置換する方がはるかに簡単
万能置換は「最後の手段」です。偶奇判定や半角公式で処理できる場合は、そちらの方が計算が圧倒的に楽です。万能置換が真に有効なのは、$\dfrac{1}{a\sin x + b\cos x + c}$ のような形の場合です。
$\sin mx \cos nx$ のような異なる角の三角関数の積が現れた場合は、積和の公式を使って和の形に直すのが定石です。
$$\sin A \cos B = \frac{1}{2}\{\sin(A+B) + \sin(A-B)\}$$
$$\cos A \cos B = \frac{1}{2}\{\cos(A-B) + \cos(A+B)\}$$
$$\sin A \sin B = -\frac{1}{2}\{\cos(A+B) - \cos(A-B)\}$$
※ 加法定理を足し引きすることで導出できます。
積和の公式で和に直します。
$$\sin 3x \cos 2x = \frac{1}{2}\{\sin 5x + \sin x\}$$
$$\int \sin 3x \cos 2x\,dx = \frac{1}{2}\int (\sin 5x + \sin x)\,dx = \frac{1}{2}\left(-\frac{\cos 5x}{5} - \cos x\right) + C$$
$$= -\frac{\cos 5x}{10} - \frac{\cos x}{2} + C$$
$\sin 2x = 2\sin x \cos x$ は積和の特殊ケースです。$\int \sin x \cos x\,dx$ は次のいずれでも計算できます。
方法1（$\sin 2x$ に変換）：$\int \sin x \cos x\,dx = \dfrac{1}{2}\int \sin 2x\,dx = -\dfrac{\cos 2x}{4} + C$
方法2（$t = \sin x$ と置換）：$\int \sin x \cos x\,dx = \int t\,dt = \dfrac{\sin^2 x}{2} + C$
これらは $-\dfrac{\cos 2x}{4} = -\dfrac{1-2\sin^2 x}{4} = \dfrac{\sin^2 x}{2} - \dfrac{1}{4}$ なので、定数の差を除いて一致します。
✗ 誤：$-\dfrac{\cos 2x}{4} + C$ と $\dfrac{\sin^2 x}{2} + C$ は違う答えだと思い込む
○ 正：不定積分は積分定数 $C$ の分だけ自由度がある。上の2つは定数の差だけ異なり、どちらも正解
三角関数の積分では、使う公式によって見た目の異なる答えが出ることがよくあります。三角関数の恒等式を使えば一方から他方を導けます。不安なときは微分して検算しましょう。
$\sin mx$, $\cos nx$ の積の積分は、大学数学のフーリエ解析で中心的な役割を果たします。$\int_0^{2\pi} \sin mx \cos nx\,dx = 0$（$m \neq n$ のとき）のような直交性が、関数を三角関数で展開するフーリエ級数の基礎になります。
ここで学んでいる積和の公式の計算は、そのまま大学数学の土台になるのです。
Q1. $\int \sin^3 x \cos^2 x\,dx$ を求める方針は？（偶奇判定を使って答えなさい）
Q2. $\int \sin^2 x\,dx$ を半角の公式を用いて求めなさい。
Q3. ワイエルシュトラスの置換 $t = \tan\frac{x}{2}$ のとき、$\sin x$ を $t$ で表すと？
Q4. $\int \tan x\,dx$ を求めなさい。
Q5. $\sin 3x \cos x$ を積和の公式で和に直しなさい。
次の不定積分を求めよ。
(1) $\displaystyle\int \sin^2 x \cos^3 x\,dx$
(2) $\displaystyle\int \cos^2 x\,dx$
(1) $\cos$ の指数が奇数なので $t = \sin x$ と置換する。$\cos^3 x = (1-\sin^2 x)\cos x$ より：
$$\int \sin^2 x(1-\sin^2 x)\cos x\,dx = \int t^2(1-t^2)\,dt = \frac{t^3}{3} - \frac{t^5}{5} + C = \frac{\sin^3 x}{3} - \frac{\sin^5 x}{5} + C$$
(2) 偶数冪なので半角の公式。$\cos^2 x = \dfrac{1+\cos 2x}{2}$ より：
$$\int \cos^2 x\,dx = \frac{x}{2} + \frac{\sin 2x}{4} + C$$
$\displaystyle\int \tan^4 x\,dx$ を求めよ。
$\tan^4 x = \tan^2 x \cdot \tan^2 x = \tan^2 x \left(\dfrac{1}{\cos^2 x} - 1\right) = \dfrac{\tan^2 x}{\cos^2 x} - \tan^2 x$
$$\int \tan^4 x\,dx = \int \frac{\tan^2 x}{\cos^2 x}\,dx - \int \tan^2 x\,dx$$
第1項：$t = \tan x$ として $\int t^2\,dt = \dfrac{\tan^3 x}{3}$
第2項：$\int \tan^2 x\,dx = \int \left(\dfrac{1}{\cos^2 x} - 1\right)\,dx = \tan x - x$
$$\int \tan^4 x\,dx = \frac{\tan^3 x}{3} - \tan x + x + C$$
$\displaystyle\int \frac{1}{3 + 5\cos x}\,dx$ を求めよ。
$t = \tan\dfrac{x}{2}$ とおく。$\cos x = \dfrac{1-t^2}{1+t^2}$, $dx = \dfrac{2}{1+t^2}\,dt$ より：
$$3 + 5\cos x = 3 + 5\cdot\frac{1-t^2}{1+t^2} = \frac{3(1+t^2)+5(1-t^2)}{1+t^2} = \frac{8-2t^2}{1+t^2}$$
$$\int \frac{1}{3+5\cos x}\,dx = \int \frac{1+t^2}{8-2t^2} \cdot \frac{2}{1+t^2}\,dt = \int \frac{1}{4-t^2}\,dt$$
$\dfrac{1}{4-t^2} = \dfrac{1}{(2-t)(2+t)} = \dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{2-t} + \dfrac{1}{2+t}\right)$ より：
$$= \frac{1}{4}\left(-\log|2-t| + \log|2+t|\right) + C = \frac{1}{4}\log\left|\frac{2+t}{2-t}\right| + C$$
$$= \frac{1}{4}\log\left|\frac{2+\tan\frac{x}{2}}{2-\tan\frac{x}{2}}\right| + C$$
$\displaystyle\int \frac{\sin x}{1 + \sin x + \cos x}\,dx$ を求めよ。
$t = \tan\dfrac{x}{2}$ とおく。$\sin x = \dfrac{2t}{1+t^2}$, $\cos x = \dfrac{1-t^2}{1+t^2}$, $dx = \dfrac{2}{1+t^2}\,dt$。
分母：$1 + \dfrac{2t}{1+t^2} + \dfrac{1-t^2}{1+t^2} = \dfrac{(1+t^2)+2t+(1-t^2)}{1+t^2} = \dfrac{2+2t}{1+t^2} = \dfrac{2(1+t)}{1+t^2}$
$$\int \frac{\frac{2t}{1+t^2}}{\frac{2(1+t)}{1+t^2}} \cdot \frac{2}{1+t^2}\,dt = \int \frac{2t}{1+t^2} \cdot \frac{1+t^2}{2(1+t)} \cdot \frac{2}{1+t^2}\,dt = \int \frac{2t}{(1+t)(1+t^2)}\,dt$$
部分分数分解：$\dfrac{2t}{(1+t)(1+t^2)} = \dfrac{A}{1+t} + \dfrac{Bt+C}{1+t^2}$
$2t = A(1+t^2) + (Bt+C)(1+t)$。$t = -1$ で $-2 = 2A$, $A = -1$。
展開して係数比較：$t^2$ の係数 $A + B = 0$ より $B = 1$、$t^0$ の係数 $A + C = 0$ より $C = 1$。
$$\int \left(\frac{-1}{1+t} + \frac{t+1}{1+t^2}\right)\,dt = -\log|1+t| + \frac{1}{2}\log(1+t^2) + \arctan t + C$$
$t = \tan\dfrac{x}{2}$ を代入して：
$$= -\log\left|1+\tan\frac{x}{2}\right| + \frac{1}{2}\log\left(1+\tan^2\frac{x}{2}\right) + \frac{x}{2} + C$$
万能置換で $t$ の有理関数に変換した後、部分分数分解で既約2次式 $1+t^2$ を含む形を処理します。分子の $t+1$ は $\dfrac{t}{1+t^2}$（$\to \log$）と $\dfrac{1}{1+t^2}$（$\to \arctan$）に分かれます。万能置換 + 部分分数分解 + $\arctan$ 型という、複数の技法の融合問題です。