置換積分法だけでは手が届かない積分があります。$x e^x$ や $x \sin x$、$x \log x$ のように「異なる種類の関数の積」が被積分関数に現れたとき、威力を発揮するのが部分積分法です。その原理は驚くほど単純で、積の微分法を「逆向き」に読むだけです。ここでは公式の導出から、どの関数を微分しどの関数を積分するかの判断基準、そして典型的な計算パターンまでを体系的に学びます。
部分積分法の出発点は、積の微分法です。2つの微分可能な関数 $f(x)$, $g(x)$ に対して、積の微分法は次のように書けます。
$$\{f(x) g(x)\}' = f'(x) g(x) + f(x) g'(x)$$
この等式を移項して両辺を積分すると、部分積分の公式が得られます。
積の微分法を移項すると：
$$f(x) g'(x) = \{f(x) g(x)\}' - f'(x) g(x)$$
両辺を $x$ で積分すると：
$$\int f(x) g'(x)\,dx = f(x) g(x) - \int f'(x) g(x)\,dx$$
これが部分積分の公式です。右辺の積分 $\int f'(x) g(x)\,dx$ が元の積分より簡単になれば成功です。
$$\int f(x) g'(x)\,dx = f(x) g(x) - \int f'(x) g(x)\,dx$$
略記として $f = f(x)$, $g = g(x)$ と書けば：
$$\int f\,g'\,dx = fg - \int f'\,g\,dx$$
※ 被積分関数を「微分する部分 $f$」と「積分する部分 $g'$」に分け、$f$ を微分し $g'$ を積分して組み替える操作です。
部分積分は「積の微分法を左辺から右辺に読み直す」操作です。$\{fg\}' = f'g + fg'$ を知っているので、$fg'$ を積分したければ $fg$ から $f'g$ の積分を引けばよい。
つまり、積の微分を「巻き戻す」ことで、難しい積分を別の（できれば簡単な）積分に変換するのが部分積分の本質です。
✗ 誤：$g'(x)$ を積分するとき $g(x) + C$ と書き、$C$ を含めたまま計算する
○ 正：$g'(x)$ の不定積分としては1つ選べばよい（$C = 0$ で十分）
部分積分の公式全体が不定積分なので、最終結果にまとめて $+ C$ を付ければ問題ありません。途中の $g(x)$ に積分定数を含めると計算が煩雑になるだけです。
部分積分で最も重要な判断は、被積分関数のどの部分を $f$（微分する側）に、どの部分を $g'$（積分する側）に割り当てるかです。選択を誤ると、積分がかえって複雑になってしまいます。
目安として広く知られているのがLIATE則（ライエイト則）です。次の優先順位の高い関数を $f$（微分する側）に選びます。
| 優先順位 | 関数の種類 | 略号 | 理由 |
|---|---|---|---|
| 1（最優先） | 対数関数（$\log x$） | L | 微分すると $\frac{1}{x}$（有理関数）になり簡単化する |
| 2 | 逆三角関数（$\arctan x$ 等） | I | 微分すると有理関数になる |
| 3 | 代数関数（$x^n$ 等の多項式） | A | 微分すると次数が下がる |
| 4 | 三角関数（$\sin x$, $\cos x$） | T | 微分しても型が変わらないが積分も容易 |
| 5 | 指数関数（$e^x$） | E | 微分しても積分しても変わらない |
LIATE則の根拠は単純です。微分すると簡単になる関数を $f$ に選ぶのが鉄則です。
$\log x$ は微分すると $\frac{1}{x}$ に、$x^n$ は微分すると次数が1つ下がります。一方、$e^x$ は微分しても変わらないので、$e^x$ を $f$ に選んでも簡単化しません。
つまり LIATE則とは、「微分による簡単化の度合いが大きい順」に並べたものです。
$\displaystyle\int x e^x\,dx$ では、$x$（代数関数 = A）と $e^x$（指数関数 = E）の積です。A は E より優先順位が高いので、$f = x$（微分する側）、$g' = e^x$（積分する側）と選びます。
$\displaystyle\int x \log x\,dx$ では、$\log x$（L）と $x$（A）の積です。L は A より優先順位が高いので、$f = \log x$（微分する側）、$g' = x$（積分する側）と選びます。
✗ 誤：LIATE則に従えば必ずうまくいく
○ 正：LIATE則は「多くの場合に有効な目安」であり、例外もある
たとえば $\int e^x \sin x\,dx$ では、$\sin x$（T）を $f$ に選んでも $e^x$（E）を $f$ に選んでも一見変わりません。この場合は2回部分積分して方程式を解く特殊な手法が必要です（セクション5で詳述）。
部分積分の最も基本的な応用は、多項式 $x^n$ と $e^x$ や $\sin x$, $\cos x$ の積です。多項式を微分する側に選べば、微分のたびに次数が1つ下がり、最終的に定数になって積分が完了します。
$f = x$, $g' = e^x$ とおくと、$f' = 1$, $g = e^x$ です。部分積分の公式より：
$$\int x e^x\,dx = x e^x - \int 1 \cdot e^x\,dx = x e^x - e^x + C = (x - 1)e^x + C$$
$f = x$, $g' = \sin x$ とおくと、$f' = 1$, $g = -\cos x$ です。
$$\int x \sin x\,dx = x(-\cos x) - \int 1 \cdot (-\cos x)\,dx = -x \cos x + \sin x + C$$
$x^2$ は1回の微分で $2x$ になり、もう1回微分すると $2$ になります。よって部分積分を2回適用します。
$$\int x^2 e^x\,dx = x^2 e^x - \int 2x e^x\,dx = x^2 e^x - 2\int x e^x\,dx$$
先ほどの結果 $\int x e^x\,dx = (x-1)e^x + C$ を代入すると：
$$= x^2 e^x - 2(x-1)e^x + C = (x^2 - 2x + 2)e^x + C$$
✗ 誤：$\int x \sin x\,dx$ で $g = \cos x$ とする（$\sin x$ の積分の符号ミス）
○ 正：$\int \sin x\,dx = -\cos x$ なので $g = -\cos x$
部分積分では $g'$ を積分する段階と、$f'g$ の積分の段階の2か所で符号が発生します。2回部分積分を行うと符号ミスが蓄積しやすいので、各ステップで丁寧に確認しましょう。
$\int x^n e^x\,dx$ のように部分積分を何度も繰り返す場合、表形式（tabular method）で効率化できます。左列に $f$ の微分を、右列に $g'$ の積分を縦に並べ、斜めに符号を交互に付けて掛け合わせます。
たとえば $\int x^2 e^x\,dx$ なら：$x^2 \to 2x \to 2 \to 0$ と $e^x \to e^x \to e^x \to e^x$ を並べ、$(+x^2 e^x) + (-2x e^x) + (+2 e^x) = (x^2 - 2x + 2)e^x + C$ と一気に書けます。
対数関数 $\log x$ や逆三角関数は、そのままでは積分しにくい関数です。しかし微分すると有理関数になるという性質を持っています。この性質を利用するのが部分積分の出番です。
LIATE則に従い $f = \log x$, $g' = x$ と選びます。$f' = \dfrac{1}{x}$, $g = \dfrac{x^2}{2}$ です。
$$\int x \log x\,dx = \frac{x^2}{2} \log x - \int \frac{1}{x} \cdot \frac{x^2}{2}\,dx = \frac{x^2}{2} \log x - \frac{1}{2}\int x\,dx$$
$$= \frac{x^2}{2} \log x - \frac{x^2}{4} + C = \frac{x^2}{4}(2\log x - 1) + C$$
$\log x$ 単体の積分は、$\log x = 1 \cdot \log x$ と見て部分積分を適用します。$f = \log x$, $g' = 1$ とおくと、$f' = \dfrac{1}{x}$, $g = x$ です。
$$\int \log x\,dx = x \log x - \int \frac{1}{x} \cdot x\,dx = x \log x - \int 1\,dx = x \log x - x + C$$
$\log x$ や $\arctan x$ は直接積分する公式を知らなくても、部分積分で微分側に回せば処理できます。微分すれば有理関数になるからです。
「$1 \cdot \log x$」のように $1$ を相棒にする技法は、逆三角関数にも応用できます：$\int \arctan x\,dx = x \arctan x - \int \dfrac{x}{1+x^2}\,dx$
$f = (\log x)^2$, $g' = 1$ とおきます。$f' = \dfrac{2\log x}{x}$, $g = x$ です。
$$\int (\log x)^2\,dx = x(\log x)^2 - \int \frac{2\log x}{x} \cdot x\,dx = x(\log x)^2 - 2\int \log x\,dx$$
先ほどの結果を代入すると：
$$= x(\log x)^2 - 2(x\log x - x) + C = x(\log x)^2 - 2x\log x + 2x + C$$
✗ 誤：$\int x \log x\,dx$ で $f = x$, $g' = \log x$ と選ぶ → $g = x\log x - x$ が必要になり複雑化
○ 正：$\log x$ は常に微分側に選ぶ。微分すれば $\frac{1}{x}$ となり式が簡単になる
$\log x$ を積分側に選ぶと、$\log x$ の不定積分が必要になり、結局部分積分がもう一度必要になります。二度手間を避けるため、$\log x$ は微分側に回しましょう。
$f = \arctan x$, $g' = 1$ とおくと $f' = \dfrac{1}{1+x^2}$, $g = x$ より：
$$\int \arctan x\,dx = x\arctan x - \int \frac{x}{1+x^2}\,dx = x\arctan x - \frac{1}{2}\log(1+x^2) + C$$
高校範囲では逆三角関数は発展的ですが、大学の微積分では頻出です。$\log x$ と全く同じ「微分側に回す」戦略で処理できることを覚えておきましょう。
$\int e^x \sin x\,dx$ は一見すると厄介です。$e^x$ は微分しても積分しても変わらず、$\sin x$ は微分すると $\cos x$ になるだけで簡単化しません。LIATE則では解決しないタイプです。
ここでは、2回の部分積分で元の積分に戻ることを利用して方程式を立てる手法を紹介します。
求める積分を $I = \int e^x \sin x\,dx$ とおきます。$f = \sin x$, $g' = e^x$ として1回目の部分積分：
$$I = \sin x \cdot e^x - \int \cos x \cdot e^x\,dx = e^x \sin x - \int e^x \cos x\,dx$$
次に $\int e^x \cos x\,dx$ に対して、同じく $f = \cos x$, $g' = e^x$ として2回目の部分積分：
$$\int e^x \cos x\,dx = \cos x \cdot e^x - \int (-\sin x) \cdot e^x\,dx = e^x \cos x + \int e^x \sin x\,dx = e^x \cos x + I$$
これを最初の式に代入すると：
$$I = e^x \sin x - (e^x \cos x + I)$$
$$I = e^x \sin x - e^x \cos x - I$$
$$2I = e^x(\sin x - \cos x)$$
$$I = \frac{e^x(\sin x - \cos x)}{2} + C$$
$e^x \sin x$ 型の積分では、2回部分積分すると被積分関数が元の形 $e^x \sin x$ に戻ります。これは一見行き止まりに見えますが、求めたい積分 $I$ を未知数とする方程式が立つことを意味します。
$I = (\text{何か}) - I$ の形になるので、$2I = (\text{何か})$ として解けます。「元に戻る ＝ 失敗」ではなく「元に戻る ＝ 方程式で解ける」と発想を切り替えましょう。
同じ手法で、一般の場合も計算できます。結果をまとめると：
$$\int e^{ax} \sin bx\,dx = \frac{e^{ax}(a\sin bx - b\cos bx)}{a^2 + b^2} + C$$
$$\int e^{ax} \cos bx\,dx = \frac{e^{ax}(a\cos bx + b\sin bx)}{a^2 + b^2} + C$$
※ 丸暗記は不要です。「$I$ とおいて2回部分積分し、方程式を解く」手順を身に付ければ毎回導けます。
✗ 誤：1回目で $f = \sin x$, $g' = e^x$ としたのに、2回目で $f = e^x$, $g' = \cos x$ と変える
○ 正：2回とも同じ方針（三角関数を微分側、指数関数を積分側）を貫く
途中で割り当てを入れ替えると、2回目の部分積分で元に「戻る」のではなく、1回目の部分積分を「打ち消す」ことになり、$I = I$（恒等式）が得られるだけで何もわかりません。
大学数学では $e^{ix} = \cos x + i\sin x$（オイラーの公式）を使い、$\int e^{(a+bi)x}\,dx = \dfrac{e^{(a+bi)x}}{a+bi} + C$ を計算して実部と虚部に分けることで、上の公式を一瞬で得られます。部分積分の計算が不要になる、エレガントな方法です。
Q1. 部分積分の公式 $\int f g'\,dx = fg - \int f' g\,dx$ は、何の公式を逆向きに使っていますか？
Q2. $\int x e^x\,dx$ を計算しなさい。
Q3. $\int \log x\,dx$ を求めるとき、被積分関数をどのように見ますか？
Q4. LIATE則で、$\int x \log x\,dx$ のとき $f$ に選ぶべきなのはどちらですか？
Q5. $\int e^x \sin x\,dx$ で2回部分積分すると何が起きますか？
次の不定積分を求めよ。
(1) $\displaystyle\int x \cos x\,dx$
(2) $\displaystyle\int x^2 \log x\,dx$
(1) $f = x$, $g' = \cos x$ とおくと $f' = 1$, $g = \sin x$。
$$\int x\cos x\,dx = x\sin x - \int \sin x\,dx = x\sin x + \cos x + C$$
(2) $f = \log x$, $g' = x^2$ とおくと $f' = \dfrac{1}{x}$, $g = \dfrac{x^3}{3}$。
$$\int x^2 \log x\,dx = \frac{x^3}{3}\log x - \int \frac{1}{x}\cdot\frac{x^3}{3}\,dx = \frac{x^3}{3}\log x - \frac{1}{3}\int x^2\,dx$$
$$= \frac{x^3}{3}\log x - \frac{x^3}{9} + C = \frac{x^3}{9}(3\log x - 1) + C$$
$\displaystyle\int e^x \cos x\,dx$ を求めよ。
$I = \int e^x \cos x\,dx$ とおく。$f = \cos x$, $g' = e^x$ として：
$$I = e^x \cos x - \int (-\sin x) e^x\,dx = e^x \cos x + \int e^x \sin x\,dx$$
$\int e^x \sin x\,dx$ に対して $f = \sin x$, $g' = e^x$ として：
$$\int e^x \sin x\,dx = e^x \sin x - \int e^x \cos x\,dx = e^x \sin x - I$$
代入すると：
$$I = e^x \cos x + e^x \sin x - I$$
$$2I = e^x(\cos x + \sin x)$$
$$I = \frac{e^x(\cos x + \sin x)}{2} + C$$
$I_n = \displaystyle\int x^n e^x\,dx$（$n$ は自然数）とおくとき、$I_n$ と $I_{n-1}$ の関係式（漸化式）を求めよ。また、$I_3$ を計算せよ。
$f = x^n$, $g' = e^x$ として部分積分すると：
$$I_n = x^n e^x - \int n x^{n-1} e^x\,dx = x^n e^x - n I_{n-1}$$
これが求める漸化式。$I_0 = \int e^x\,dx = e^x + C$ より：
$I_1 = xe^x - I_0 = xe^x - e^x = (x-1)e^x$
$I_2 = x^2 e^x - 2I_1 = x^2 e^x - 2(x-1)e^x = (x^2 - 2x + 2)e^x$
$I_3 = x^3 e^x - 3I_2 = x^3 e^x - 3(x^2 - 2x + 2)e^x = (x^3 - 3x^2 + 6x - 6)e^x + C$
部分積分で導かれる漸化式は、定積分（ウォリス積分など）でも頻出します。$I_n = x^n e^x - nI_{n-1}$ という構造から、$I_n = P_n(x) e^x$（$P_n$ は $n$ 次多項式）となることがわかります。
$\displaystyle\int e^x(x^2 + 2x + 3)\sin x\,dx$ を求めよ。
（ヒント：$\int e^x \sin x\,dx$ および $\int x e^x \sin x\,dx$ を利用せよ。）
$J = \int x e^x \sin x\,dx$ を求める。$f = x$, $g' = e^x \sin x$ とし、$\int e^x \sin x\,dx = \dfrac{e^x(\sin x - \cos x)}{2}$ を利用する。
$$J = x \cdot \frac{e^x(\sin x - \cos x)}{2} - \int 1 \cdot \frac{e^x(\sin x - \cos x)}{2}\,dx$$
$$= \frac{x e^x(\sin x - \cos x)}{2} - \frac{1}{2}\left(\int e^x \sin x\,dx - \int e^x \cos x\,dx\right)$$
既知の結果 $\int e^x \sin x\,dx = \dfrac{e^x(\sin x - \cos x)}{2}$、$\int e^x \cos x\,dx = \dfrac{e^x(\cos x + \sin x)}{2}$ を代入：
$$J = \frac{x e^x(\sin x - \cos x)}{2} - \frac{1}{2}\left(\frac{e^x(\sin x - \cos x)}{2} - \frac{e^x(\cos x + \sin x)}{2}\right)$$
$$= \frac{x e^x(\sin x - \cos x)}{2} - \frac{e^x}{4}(\sin x - \cos x - \cos x - \sin x)$$
$$= \frac{x e^x(\sin x - \cos x)}{2} + \frac{e^x \cos x}{2}$$
同様に $\int x^2 e^x \sin x\,dx$ を $f = x^2$, $g' = e^x \sin x$ で求め、最終的に各項を組み合わせて元の積分を計算する。
あるいは、$(x^2+2x+3)$ を展開して $\int x^2 e^x \sin x\,dx + 2J + 3\int e^x \sin x\,dx$ として各項を部分積分で求める方針も有効である。
この問題は「多項式 $\times$ 指数関数 $\times$ 三角関数」という3つの関数の積の積分です。多項式部分を微分側に選んで繰り返し部分積分を行い、各段階で $e^x \sin x$ 型の既知の結果を利用します。計算は煩雑ですが、方針は明確です。