指数関数 $e^x$ は「微分しても自分自身」という唯一無二の性質を持ち、積分でもその特別さが活きます。一方、$\log x$ の積分は一見すると手がかりがないように思えますが、部分積分の考え方を先取りすることで見事に求まります。この記事では、$e^{ax}$, $a^x$, $\log x$ の積分と、応用範囲の広い $\dfrac{f'(x)}{f(x)}$ 型の積分を学びます。
$e^x$ の積分は $e^x + C$ そのものですが、指数に係数が付いた $e^{ax}$ ではどうなるでしょうか。合成関数の微分法を逆に使います。
$(e^{ax})' = ae^{ax}$ ですから、両辺を $a$ で割ると $\left(\dfrac{e^{ax}}{a}\right)' = e^{ax}$ です。
$a \neq 0$ のとき、
$$\int e^{ax}\,dx = \frac{1}{a}\,e^{ax} + C$$
※ $a$ は「内側の微分」に相当します。積分では割り算として処理します。
$f(ax+b)$ の形を積分するとき、合成関数の微分では「外側の微分 $\times$ 内側の微分」となるため、積分では「内側の微分 $a$ で割る」ことで帳尻が合います。
$$\int f(ax+b)\,dx = \frac{1}{a}F(ax+b) + C \quad \text{（$F$ は $f$ の原始関数）}$$
この原理は $e^{ax}$ に限らず、$\sin(ax+b)$, $\cos(ax+b)$, $(ax+b)^n$ などすべての「1次式の合成関数」で使えます。
$$\int e^{3x}\,dx = \frac{e^{3x}}{3} + C, \qquad \int e^{-2x}\,dx = \frac{e^{-2x}}{-2} + C = -\frac{e^{-2x}}{2} + C$$
$$\int e^{x/2}\,dx = \frac{e^{x/2}}{1/2} + C = 2e^{x/2} + C$$
✗ $\int e^{x^2}\,dx = \dfrac{e^{x^2}}{2x} + C$
○ $e^{x^2}$ は初等関数では積分できない（ガウス積分と関連）
$\int e^{ax}\,dx = \dfrac{e^{ax}}{a} + C$ が使えるのは指数が $x$ の1次式のときだけです。$x^2$ のような場合、内側の微分 $2x$ は定数ではないため、この公式は適用できません。
$e^{-x^2}$ の不定積分は初等関数では表せませんが、$-\infty$ から $\infty$ までの定積分は $\sqrt{\pi}$ という美しい値になることが知られています。これは確率・統計で使う正規分布の基礎であり、大学数学の重積分で証明されます。
一般の底 $a > 0$, $a \neq 1$ に対する指数関数 $a^x$ の積分を考えましょう。微分公式 $(a^x)' = a^x \log a$ の逆です。
$a > 0$, $a \neq 1$ のとき、
$$\int a^x\,dx = \frac{a^x}{\log a} + C$$
※ 検算：$\left(\dfrac{a^x}{\log a}\right)' = \dfrac{a^x \log a}{\log a} = a^x$ ✓
$a^x = e^{x \log a}$ と書き換えると、$e^{ax}$ の積分公式で $a = \log a$ として、
$$\int a^x\,dx = \int e^{x\log a}\,dx = \frac{e^{x\log a}}{\log a} + C = \frac{a^x}{\log a} + C$$
$a^x$ を $e$ の指数に直すと「$\log a$ で割る」理由が明快になります。$e^x$ は $a = e$, $\log e = 1$ の場合であり、$1$ で割るので何も付かないのです。
✗ $\int 2^x\,dx = 2^x + C$（$e^x$ と混同）
○ $\int 2^x\,dx = \dfrac{2^x}{\log 2} + C$
「微分しても変わらない」のは $e^x$ だけの特権です。$2^x$ を微分すると $2^x \log 2$ になるため、積分では $\log 2$ で割る必要があります。
1次式 $ax + b$ が指数に入る場合も同様に処理できます。
$$\int e^{ax+b}\,dx = \frac{1}{a}e^{ax+b} + C$$
たとえば $\int e^{2x+3}\,dx = \dfrac{1}{2}e^{2x+3} + C$ です。
$\log x$ の原始関数は何でしょうか。微分の逆引き表を探しても、$\log x$ にぴたり対応する公式は見当たりません。実は、この積分を求めるには部分積分法（後の記事で正式に学ぶ技法）の考え方が必要です。ここではその結果と、なぜそうなるかの直感的な理解を先に得ておきましょう。
$$\int \log x\,dx = x\log x - x + C$$
※ 検算：$(x\log x - x)' = \log x + x \cdot \dfrac{1}{x} - 1 = \log x + 1 - 1 = \log x$ ✓
$\int \log x\,dx$ を $\int 1 \cdot \log x\,dx$ と見なします。$1$ を積分すると $x$、$\log x$ を微分すると $\dfrac{1}{x}$ ですから、
$$\int 1 \cdot \log x\,dx = x \cdot \log x - \int x \cdot \frac{1}{x}\,dx = x\log x - \int 1\,dx = x\log x - x + C$$
ここで使った「一方を積分し、他方を微分して引く」という技法が部分積分法です。詳しくは III-5-5 で学びます。
$\log x$ だけでは原始関数が見えませんが、$1 \cdot \log x$ と「$1$ との積」と読み替えることで部分積分が使えるようになります。「積分できない関数 $\times$ 1」のパターンは $\log x$ に限らず、逆三角関数などでも有効です。
✗ $\int \log x\,dx = \dfrac{1}{x} + C$（微分と積分を逆にしている）
○ $\int \log x\,dx = x\log x - x + C$
$(\log x)' = \dfrac{1}{x}$ という微分公式を「積分方向」に読んだのが $\int \dfrac{1}{x}\,dx = \log|x| + C$ です。$\log x$ の積分はこれとは別物で、$x\log x - x + C$ です。
$\log|x|$ や $\log(ax+b)$ の積分も同様の方法で求まります。
$$\int \log(ax+b)\,dx = \frac{1}{a}\{(ax+b)\log(ax+b) - (ax+b)\} + C$$
これは置換 $t = ax+b$ を用いて $\int \log t \cdot \dfrac{dt}{a}$ に帰着させ、$\int \log t\,dt = t\log t - t + C$ を使えば得られます。
$\displaystyle\int_2^x \frac{dt}{\log t}$（対数積分）は、$x$ 以下の素数の個数 $\pi(x)$ の近似として知られています。$\pi(x) \approx \dfrac{x}{\log x}$ という素数定理は、対数関数と素数分布の深いつながりを示す数論の金字塔です。
$\log|f(x)|$ を微分すると $\dfrac{f'(x)}{f(x)}$ になります。これを逆に読むと、非常に応用範囲の広い積分公式が得られます。
$$\int \frac{f'(x)}{f(x)}\,dx = \log|f(x)| + C$$
※ 分子が分母の微分になっている形を見抜くことが鍵です。
分数形の被積分関数を見たら、まず「分子が分母の微分（の定数倍）になっていないか」を確認する習慣を付けましょう。これが成り立てば即座に $\log$ で積分でき、複雑な変形を回避できます。
例1：$\displaystyle\int \frac{2x}{x^2 + 1}\,dx$
$f(x) = x^2 + 1$ とおくと $f'(x) = 2x$。分子がまさに $f'(x)$ なので、
$$\int \frac{2x}{x^2+1}\,dx = \log(x^2+1) + C$$
（$x^2 + 1 > 0$ なので絶対値は不要）
例2：$\displaystyle\int \frac{\cos x}{\sin x}\,dx$
$f(x) = \sin x$ とおくと $f'(x) = \cos x$。よって、
$$\int \frac{\cos x}{\sin x}\,dx = \log|\sin x| + C$$
例3：$\displaystyle\int \frac{e^x}{e^x + 1}\,dx$
$f(x) = e^x + 1$ とおくと $f'(x) = e^x$。よって、
$$\int \frac{e^x}{e^x+1}\,dx = \log(e^x+1) + C$$
$\displaystyle\int \frac{x}{x^2+1}\,dx$ の場合、分母の微分は $2x$ であり分子の $x$ とは $2$ 倍のずれがあります。
✗ $\int \dfrac{x}{x^2+1}\,dx = \log(x^2+1) + C$
○ $\int \dfrac{x}{x^2+1}\,dx = \dfrac{1}{2}\log(x^2+1) + C$
$\dfrac{x}{x^2+1} = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2x}{x^2+1}$ と係数を調整してから公式を適用します。
前の記事で学んだ $\int \tan x\,dx = -\log|\cos x| + C$ も、$\dfrac{f'(x)}{f(x)}$ 型の一例です。$\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x} = -\dfrac{-\sin x}{\cos x} = -\dfrac{(\cos x)'}{\cos x}$ と見れば、$-\log|\cos x|$ が直ちに得られます。
$\dfrac{f'(x)}{f(x)} = (\log|f(x)|)'$ という関係は、微分法で学んだ対数微分法の裏返しです。積や商の微分が複雑な関数を扱うとき、対数を取ってから微分する対数微分法と、$\dfrac{f'}{f}$ 型を見抜いて $\log$ で積分する技法は、同じ原理の表と裏です。
この記事で学んだ公式を整理し、全体の見通しを立てましょう。
| 被積分関数 | 不定積分 | ポイント |
|---|---|---|
| $e^x$ | $e^x + C$ | 微分しても不変 |
| $e^{ax}$（$a \neq 0$） | $\dfrac{1}{a}e^{ax} + C$ | 内側の微分 $a$ で割る |
| $a^x$（$a > 0, a \neq 1$） | $\dfrac{a^x}{\log a} + C$ | $e^{x\log a}$ に帰着 |
| $\log x$ | $x\log x - x + C$ | 部分積分で導出 |
| $\dfrac{1}{x}$ | $\log|x| + C$ | $\dfrac{f'}{f}$ 型の最も基本的な形 |
| $\dfrac{f'(x)}{f(x)}$ | $\log|f(x)| + C$ | 分子が分母の微分か確認 |
$\dfrac{1}{x}$ の積分は $\log|x| + C$、$\log x$ の積分は $x\log x - x + C$ です。この2つは全く異なる問題であり、互いの公式を取り違えるミスが多発します。
○ $\int \dfrac{1}{x}\,dx = \log|x| + C$（微分公式 $(\log|x|)' = \dfrac{1}{x}$ の逆）
○ $\int \log x\,dx = x\log x - x + C$（部分積分で導出）
指数・対数関数における微分と積分の関係をまとめると、次のようになります。
$$e^x \xrightarrow{\text{微分}} e^x \xrightarrow{\text{微分}} e^x \quad \longleftrightarrow \quad e^x \xleftarrow{\text{積分}} e^x \xleftarrow{\text{積分}} e^x$$
$$\log x \xrightarrow{\text{微分}} \frac{1}{x} \xrightarrow{\text{微分}} -\frac{1}{x^2} \quad \longleftrightarrow \quad x\log x - x \xleftarrow{\text{積分}} \log x \xleftarrow{\text{積分}} \frac{1}{x}$$
$e^x$ の「ループ」に対して、$\log x$ は微分するほど単純になり、積分するほど複雑になるという対照的な振る舞いを見せます。
$x^n \log x$ のような積は、部分積分法で $\log x$ を微分し $x^n$ を積分する方針で処理します。$\int x^n \log x\,dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1}\log x - \dfrac{x^{n+1}}{(n+1)^2} + C$ です。これは部分積分法の記事で詳しく学びます。
Q1. $\int e^{5x}\,dx$ を求めよ。
Q2. $\int 3^x\,dx$ を求めよ。
Q3. $\int \log x\,dx$ の結果は？
Q4. $\displaystyle\int \frac{2x+1}{x^2+x+3}\,dx$ を求めよ。
Q5. $\int e^{-x}\,dx$ を求めよ。
次の不定積分を求めよ。
(1) $\displaystyle\int (e^{2x} + e^{-3x})\,dx$
(2) $\displaystyle\int \frac{3x^2}{x^3+1}\,dx$
(3) $\displaystyle\int 5^x\,dx$
(1) $\dfrac{e^{2x}}{2} - \dfrac{e^{-3x}}{3} + C$
(2) $f(x) = x^3 + 1$ とおくと $f'(x) = 3x^2$。$\dfrac{f'(x)}{f(x)}$ 型なので、
$\log|x^3+1| + C = \log(x^3+1) + C$（$x^3+1$ の符号に注意が必要だが、問題の範囲では正とする）
(3) $\dfrac{5^x}{\log 5} + C$
次の不定積分を求めよ。
(1) $\displaystyle\int \frac{\sin x}{1 + \cos x}\,dx$
(2) $\displaystyle\int \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}\,dx$
(1) $f(x) = 1 + \cos x$ とおくと $f'(x) = -\sin x$。分子は $\sin x = -f'(x)$ なので、
$\displaystyle\int \frac{\sin x}{1+\cos x}\,dx = -\int \frac{-\sin x}{1+\cos x}\,dx = -\log|1+\cos x| + C = -\log(1+\cos x) + C$
（$1 + \cos x \ge 0$ で、$\cos x = -1$ の点を除けば正）
(2) $f(x) = e^x + e^{-x}$ とおくと $f'(x) = e^x - e^{-x}$。$\dfrac{f'(x)}{f(x)}$ の形なので、
$\displaystyle\int \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}\,dx = \log(e^x + e^{-x}) + C$
（$e^x + e^{-x} > 0$ より絶対値不要）
次の不定積分を求めよ。
$$\int \frac{e^{2x}}{e^x + 1}\,dx$$
$e^{2x} = (e^x)^2$ なので、分子を変形する。
$\dfrac{e^{2x}}{e^x+1} = \dfrac{(e^x)^2}{e^x+1} = \dfrac{(e^x+1)(e^x-1) + 1}{e^x+1} = e^x - 1 + \dfrac{1}{e^x+1}$
ここで $\dfrac{1}{e^x+1} = \dfrac{e^{-x}}{1+e^{-x}}$ と変形すると、$f(x) = 1+e^{-x}$, $f'(x) = -e^{-x}$ より $\dfrac{e^{-x}}{1+e^{-x}} = -\dfrac{f'}{f}$ 型。
$$\int \frac{e^{2x}}{e^x+1}\,dx = e^x - x - \log(1+e^{-x}) + C$$
$1+e^{-x} = \dfrac{e^x+1}{e^x}$ を用いると、$-\log(1+e^{-x}) = -\log(e^x+1) + x$ より、
$$= e^x - \log(e^x+1) + C$$
関数 $f(x)$ が $f'(x) = \dfrac{f(x)}{x}$（$x > 0$）を満たし、$f(1) = 2$ であるとき、$f(x)$ を求めよ。
$f'(x) = \dfrac{f(x)}{x}$ を変形すると $\dfrac{f'(x)}{f(x)} = \dfrac{1}{x}$
両辺を積分すると、
$$\int \frac{f'(x)}{f(x)}\,dx = \int \frac{1}{x}\,dx$$
$$\log|f(x)| = \log x + C_1$$
$|f(x)| = e^{C_1} \cdot x = Ax$（$A > 0$）
$f(1) = 2 > 0$ より $f(x) = Ax$、$A = 2$
$$f(x) = 2x$$
$\dfrac{f'}{f} = \dfrac{1}{x}$ は変数分離型の微分方程式です。$\dfrac{f'}{f}$ 型の積分公式を使えば、$\log|f(x)| = \log x + C$ が直ちに得られ、$f(x) = Ax$ の形が導かれます。初期条件で $A$ を決定する流れは、不定積分から定数を決定する基本パターンです。