偶関数は $y$ 軸について対称、奇関数は原点について対称です。この対称性を使うと、$[-a, a]$ 上の定積分は驚くほど簡単になります。偶関数なら「片側を2倍」、奇関数なら「0」── この判定を瞬時にできるようにしましょう。さらに、周期関数の積分にも触れます。
偶関数・奇関数の概念は数学IIで三角関数の文脈で登場しましたが、積分法では格段に重要度が増します。まずは定義を確認しましょう。
偶関数：すべての $x$ に対して $f(-x) = f(x)$（$y$ 軸対称）
奇関数：すべての $x$ に対して $f(-x) = -f(x)$（原点対称）
「偶」「奇」の名称は、$x^n$ で $n$ が偶数なら偶関数、奇数なら奇関数であることに由来します。
| 関数 | 偶奇性 | 確認 |
|---|---|---|
| $x^2, x^4, x^{2n}$ | 偶関数 | $(-x)^{2n} = x^{2n}$ |
| $x, x^3, x^{2n+1}$ | 奇関数 | $(-x)^{2n+1} = -x^{2n+1}$ |
| $\cos x$ | 偶関数 | $\cos(-x) = \cos x$ |
| $\sin x$ | 奇関数 | $\sin(-x) = -\sin x$ |
| $\tan x$ | 奇関数 | $\tan(-x) = -\tan x$ |
| $e^x$ | どちらでもない | $e^{-x} \neq e^x$ かつ $e^{-x} \neq -e^x$ |
| $|x|$ | 偶関数 | $|-x| = |x|$ |
偶関数のグラフは $y$ 軸について左右対称です。つまり、$x = a$ での値と $x = -a$ での値が一致します。
奇関数のグラフは原点について点対称です。$x = a$ での値と $x = -a$ での値が符号反転の関係にあります。特に $f(0) = 0$ が成り立ちます（$f(-0) = -f(0)$ より）。
✗ 誤：指数関数だから何らかの対称性があるはず
○ 正：$e^{-x} \neq e^x$ かつ $e^{-x} \neq -e^x$ なので、どちらでもない
ただし、$e^x$ は偶関数と奇関数の和に分解できます：$e^x = \dfrac{e^x + e^{-x}}{2} + \dfrac{e^x - e^{-x}}{2} = \cosh x + \sinh x$。前者が偶関数、後者が奇関数です。
偶関数・奇関数を対称区間 $[-a, a]$ で積分すると、劇的に簡単になります。
偶関数のとき：
$$\int_{-a}^{a} f(x)\,dx = 2\int_0^{a} f(x)\,dx$$
奇関数のとき：
$$\int_{-a}^{a} f(x)\,dx = 0$$
$$\int_{-a}^{a} f(x)\,dx = \int_{-a}^{0} f(x)\,dx + \int_0^{a} f(x)\,dx$$
第1項で $x = -t$ と置換すると $dx = -dt$、$x: -a \to 0$ で $t: a \to 0$。
$$\int_{-a}^{0} f(x)\,dx = \int_a^0 f(-t)(-dt) = \int_0^a f(-t)\,dt$$
偶関数（$f(-t) = f(t)$）のとき：$= \int_0^a f(t)\,dt$ → 全体で $2\int_0^a f(x)\,dx$。
奇関数（$f(-t) = -f(t)$）のとき：$= -\int_0^a f(t)\,dt$ → 全体で $0$。
対称区間での偶奇性を利用する最大のメリットは、実際に積分する前に結果がわかることです。奇関数なら計算せずに $0$ と答えられ、偶関数なら片側だけ計算すればよいのです。
入試では、被積分関数を偶関数部分と奇関数部分に分解し、奇関数部分を一瞬で $0$ にする手法が頻出します。
✗ 誤：$\int_0^{2} x^3\,dx = 0$（$x^3$ は奇関数だから）
○ 正：区間 $[0, 2]$ は $0$ について対称でないため、偶奇性は使えない。$\int_0^2 x^3\,dx = 4$
偶奇性の公式が使えるのは $[-a, a]$（原点について対称な区間）に限ります。
複雑な関数の偶奇性を判定するには、「積」と「合成」のルールを知っておくと便利です。
積の偶奇性：
偶 $\times$ 偶 $=$ 偶、 奇 $\times$ 奇 $=$ 偶、 偶 $\times$ 奇 $=$ 奇
符号の掛け算と同じ規則です。偶を「$+$」、奇を「$-$」と対応させると覚えやすくなります。
この規則を使えば、複雑な関数も素早く判定できます。
| 関数 | 分解 | 偶奇性 |
|---|---|---|
| $x\sin x$ | 奇 $\times$ 奇 | 偶関数 |
| $x\cos x$ | 奇 $\times$ 偶 | 奇関数 |
| $x^2\sin x$ | 偶 $\times$ 奇 | 奇関数 |
| $\sin^2 x$ | 奇 $\times$ 奇 | 偶関数 |
| $x^2\cos x$ | 偶 $\times$ 偶 | 偶関数 |
| $\sin x\cos x$ | 奇 $\times$ 偶 | 奇関数 |
✗ 誤：$\cos(\sin x)$ の偶奇性がわからない
○ 正：$\cos(\sin(-x)) = \cos(-\sin x) = \cos(\sin x)$。偶関数（偶 $\circ$ 奇 $=$ 偶）
合成の場合は $f(-x)$ に具体的に $-x$ を代入して確認するのが確実です。
どんな関数 $f(x)$ も、偶関数部分と奇関数部分の和に分解できます。
$$f(x) = \underbrace{\frac{f(x) + f(-x)}{2}}_{\text{偶関数}} + \underbrace{\frac{f(x) - f(-x)}{2}}_{\text{奇関数}}$$
対称区間 $[-a, a]$ で積分するとき、奇関数部分の積分は $0$ になるので：
$$\int_{-a}^{a} f(x)\,dx = \int_{-a}^{a} \frac{f(x) + f(-x)}{2}\,dx = 2\int_0^a \frac{f(x) + f(-x)}{2}\,dx$$
任意の関数を偶関数と奇関数に分解する考え方は、大学で学ぶフーリエ級数の基礎です。周期関数を $\cos nx$（偶関数）と $\sin nx$（奇関数）で展開するとき、偶関数なら $\cos$ 項のみ（フーリエ余弦級数）、奇関数なら $\sin$ 項のみ（フーリエ正弦級数）で表されます。偶奇の判定は計算量を大幅に削減します。
偶奇性を使った計算のパターンを、具体例で確認しましょう。
被積分関数を偶関数部分と奇関数部分に分けます。
$x^3$：奇、$x^2$：偶、$x$：奇、$1$：偶
奇関数部分 $x^3 + x$ の積分は $0$。偶関数部分のみ計算します。
$$\int_{-1}^{1}(x^3 + x^2 + x + 1)\,dx = 2\int_0^1 (x^2 + 1)\,dx = 2\left[\frac{x^3}{3} + x\right]_0^1 = 2\cdot\frac{4}{3} = \frac{8}{3}$$
$x^2$（偶）$\times$ $\sin x$（奇）$=$ 奇関数。対称区間なので：
$$\int_{-\pi}^{\pi} x^2 \sin x\,dx = 0$$
計算せずに答えが出ました。
$\cos^3 x$：偶 $\times$ 偶 $\times$ 偶 $=$ 偶関数。$x\sin x$：奇 $\times$ 奇 $=$ 偶関数。
どちらも偶関数なので：
$$= 2\int_0^{\pi/2}(\cos^3 x + x\sin x)\,dx$$
$$= 2\int_0^{\pi/2}\cos^3 x\,dx + 2\int_0^{\pi/2} x\sin x\,dx$$
$\int_0^{\pi/2}\cos^3 x\,dx = \int_0^{\pi/2}(1-\sin^2 x)\cos x\,dx = \left[\sin x - \frac{\sin^3 x}{3}\right]_0^{\pi/2} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$
$\int_0^{\pi/2} x\sin x\,dx = \Big[-x\cos x\Big]_0^{\pi/2} + \int_0^{\pi/2}\cos x\,dx = 0 + 1 = 1$（部分積分）
$$= 2\cdot\frac{2}{3} + 2\cdot 1 = \frac{4}{3} + 2 = \frac{10}{3}$$
対称区間の積分を見たら、まず被積分関数の偶奇性をチェックしましょう。奇関数の項は一瞬で消去でき、偶関数の項は片側の2倍に帰着できます。このステップを省くと、無駄に複雑な計算をすることになります。
$\sin x$, $\cos x$ のように周期 $T$ を持つ関数には、積分区間に関する便利な性質があります。
$f(x)$ が周期 $T$ の関数（$f(x + T) = f(x)$）のとき：
$$\int_a^{a+T} f(x)\,dx = \int_0^T f(x)\,dx$$
積分区間の「始点」をどこにずらしても、1周期分の積分値は変わりません。
$$\int_a^{a+T} f(x)\,dx = \int_a^0 f(x)\,dx + \int_0^T f(x)\,dx + \int_T^{a+T} f(x)\,dx$$
第3項で $x = t + T$ と置換すると $dx = dt$、$x: T \to a+T$ で $t: 0 \to a$。
$f(t+T) = f(t)$ より $\int_T^{a+T} f(x)\,dx = \int_0^a f(t)\,dt$。
よって $\int_a^{a+T} f(x)\,dx = \int_a^0 f(x)\,dx + \int_0^T f(x)\,dx + \int_0^a f(x)\,dx$
$= -\int_0^a f(x)\,dx + \int_0^T f(x)\,dx + \int_0^a f(x)\,dx = \int_0^T f(x)\,dx$
$\sin^2 x$ は周期 $\pi$ の偶関数です。よって：
$$\int_{\alpha}^{\alpha + \pi} \sin^2 x\,dx = \int_0^{\pi} \sin^2 x\,dx = \int_0^{\pi}\frac{1-\cos 2x}{2}\,dx = \frac{\pi}{2}$$
この結果は $\alpha$ の値に依りません。
✗ 誤：$\sin^2 x$ の周期は $2\pi$
○ 正：$\sin^2 x = \dfrac{1 - \cos 2x}{2}$ より、$\cos 2x$ の周期は $\pi$ なので $\sin^2 x$ の周期も $\pi$
$\sin x$ の周期は $2\pi$ ですが、$\sin^2 x$ の周期は $\pi$ です。半角公式で確認しましょう。
周期 $T$ の関数 $f(x)$ に対し、$\dfrac{1}{T}\int_0^T f(x)\,dx$ は $f$ の1周期分の平均値です。たとえば $\sin^2 x$ の1周期（$T = \pi$）の平均値は $\dfrac{1}{\pi}\cdot\dfrac{\pi}{2} = \dfrac{1}{2}$ です。物理学では交流電流の実効値の計算にこの考え方が使われます。
Q1. $f(x) = x^3 + \cos x$ は偶関数か奇関数か、それともどちらでもないか。
Q2. $\int_{-2}^{2} x^5\,dx$ の値を、偶奇性を使って求めよ。
Q3. $\int_{-\pi}^{\pi} \sin^2 x\,\cos x\,dx$ の値を求めよ。
Q4. $\sin^2 x$ の周期はいくつか。
Q5. 任意の関数を偶関数部分と奇関数部分に分解する公式を述べよ。
次の定積分を求めよ。
(1) $\displaystyle\int_{-1}^{1}(x^4 - 3x^3 + 2x^2 - x + 1)\,dx$
(2) $\displaystyle\int_{-\pi/2}^{\pi/2}(x^2 + \cos x)\,dx$
(1) 偶関数部分：$x^4 + 2x^2 + 1$、奇関数部分：$-3x^3 - x$（積分は $0$）。
$2\int_0^1 (x^4 + 2x^2 + 1)\,dx = 2\left[\frac{x^5}{5} + \frac{2x^3}{3} + x\right]_0^1 = 2\left(\frac{1}{5} + \frac{2}{3} + 1\right) = 2\cdot\frac{28}{15} = \frac{56}{15}$
(2) $x^2$（偶）、$\cos x$（偶）ともに偶関数。
$2\int_0^{\pi/2}(x^2 + \cos x)\,dx = 2\left[\frac{x^3}{3} + \sin x\right]_0^{\pi/2} = 2\left(\frac{\pi^3}{24} + 1\right) = \frac{\pi^3}{12} + 2$
$\displaystyle\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{\cos x}{1 + e^x}\,dx$ を求めよ。
$I = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \dfrac{\cos x}{1 + e^x}\,dx$ とおく。
$x = -t$ と置換すると $dx = -dt$、$x: -\frac{\pi}{2} \to \frac{\pi}{2}$ で $t: \frac{\pi}{2} \to -\frac{\pi}{2}$。
$$I = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{\cos(-t)}{1 + e^{-t}}\,dt = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{\cos t}{1 + e^{-t}}\,dt = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{e^t \cos t}{e^t + 1}\,dt$$
$I + I$ を計算すると：
$$2I = \int_{-\pi/2}^{\pi/2}\frac{\cos x}{1+e^x}\,dx + \int_{-\pi/2}^{\pi/2}\frac{e^x\cos x}{1+e^x}\,dx = \int_{-\pi/2}^{\pi/2}\frac{(1+e^x)\cos x}{1+e^x}\,dx = \int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos x\,dx$$
$$= \Big[\sin x\Big]_{-\pi/2}^{\pi/2} = 1 - (-1) = 2$$
$$\therefore\quad I = 1$$
$\dfrac{1}{1+e^x}$ は偶関数でも奇関数でもありませんが、$\dfrac{1}{1+e^x} + \dfrac{1}{1+e^{-x}} = 1$ という関係があります。$x \to -x$ の置換で $I$ を2つ作り、足すことで分母が消える ── 定積分の対称性を巧みに利用した解法です。
$\displaystyle\int_{-1}^{1} \frac{x^2}{1 + e^{-x}}\,dx$ を求めよ。
$\dfrac{x^2}{1+e^{-x}} = \dfrac{x^2 e^x}{e^x + 1}$。
$f(x) = \dfrac{x^2 e^x}{e^x + 1}$ を偶奇分解する。
$f(-x) = \dfrac{x^2 e^{-x}}{e^{-x}+1} = \dfrac{x^2}{e^x + 1}$
偶関数部分：$\dfrac{f(x)+f(-x)}{2} = \dfrac{x^2}{2}\cdot\dfrac{e^x + 1}{e^x + 1} = \dfrac{x^2}{2}$
奇関数部分の積分は $0$。よって：
$$\int_{-1}^1 \frac{x^2}{1+e^{-x}}\,dx = \int_{-1}^1 \frac{x^2}{2}\,dx = 2\int_0^1 \frac{x^2}{2}\,dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^1 = \frac{1}{3}$$
$f(x)$ は周期 $2\pi$ の連続関数で、かつ奇関数であるとする。
(1) $\displaystyle\int_0^{2\pi} f(x)\,dx = 0$ を示せ。
(2) 任意の実数 $a$ に対して $\displaystyle\int_a^{a+2\pi} f(x)\,dx = 0$ を示せ。
(3) $g(x) = \displaystyle\int_0^x f(t)\,dt$ が周期 $2\pi$ の関数であることを示せ。
(1) $f(x)$ は周期 $2\pi$ より $\int_0^{2\pi} f(x)\,dx = \int_{-\pi}^{\pi} f(x)\,dx$。
$f(x)$ は奇関数なので、対称区間 $[-\pi, \pi]$ での積分は $0$。
(2) 周期関数の性質より $\int_a^{a+2\pi} f(x)\,dx = \int_0^{2\pi} f(x)\,dx = 0$（(1)より）。
(3) $g(x + 2\pi) - g(x) = \int_0^{x+2\pi} f(t)\,dt - \int_0^x f(t)\,dt = \int_x^{x+2\pi} f(t)\,dt$
(2) より $\int_x^{x+2\pi} f(t)\,dt = 0$。
よって $g(x+2\pi) = g(x)$ が任意の $x$ で成り立ち、$g(x)$ は周期 $2\pi$ の関数である。
この問題は「周期性」と「奇関数の性質」を組み合わせたもので、(1)→(2)→(3) と結果を積み上げていく構造です。(3) は特に重要で、「奇関数の原始関数は周期関数になる」という一般的な事実を示しています。逆に偶関数 $\cos x$ の原始関数 $\sin x$ は確かに周期関数ですが、奇関数でない $1$ の原始関数 $x$ は周期的ではありません。