数直線上や平面上を動く点の位置が時刻 $t$ の関数で表されるとき、微分は速度を、2回微分は加速度を与えます。微分が「変化率」を表すという本質が、物理学の運動の記述に直結する場面です。速さ・向き・減速と加速の判定法を整理しましょう。
数直線上を動く点 P の時刻 $t$ における座標が $x = f(t)$ で与えられるとき、P の運動を微分で記述できます。
速度：$v = \dfrac{dx}{dt} = f'(t)$（位置の時間微分）
加速度：$a = \dfrac{dv}{dt} = \dfrac{d^2x}{dt^2} = f''(t)$（速度の時間微分）
速度 $v$ は正なら正の向き、負なら負の向きに運動していることを表す。
位置 $x(t)$ → 速度 $v(t) = x'(t)$ → 加速度 $a(t) = v'(t) = x''(t)$
微分は「変化率」を与える演算なので、位置の変化率が速度、速度の変化率が加速度です。逆に、加速度を積分すると速度、速度を積分すると位置が得られます。
$v = 3t^2 - 12t + 9 = 3(t-1)(t-3)$
$a = 6t - 12 = 6(t-2)$
$v = 0$ のとき $t = 1, 3$。$t < 1$ で $v > 0$（正の向き）、$1 < t < 3$ で $v < 0$（負の向き）、$t > 3$ で $v > 0$。
$t = 1$ で折り返し：$x(1) = 4$。$t = 3$ で再び折り返し：$x(3) = 0$。
✕ 誤：$v = 0$ のとき点は停止している
○ 正：$v = 0$ は瞬間的に速度が $0$ になっただけで、通常はすぐに動き出す（折り返し点）
例題1の $t = 1$ では速度が $0$ になりますが、点は正の方向から負の方向へ折り返すだけです。
速度（velocity）：$v = f'(t)$（正負の符号あり＝向きの情報を含む）
速さ（speed）：$|v| = |f'(t)|$（常に非負＝大きさのみ）
✕ 誤：速さ = 速度
○ 正：速さ $= |v|$。速度は向き付き、速さは大きさのみ
入試問題で「速さ」が問われたときに負の値を答えると減点されます。
加速中：$v$ と $a$ が同符号（速さ $|v|$ が増加中）
減速中：$v$ と $a$ が異符号（速さ $|v|$ が減少中）
※ 速さ $|v|$ の時間微分を考えると：$\dfrac{d}{dt}|v| = \dfrac{va}{|v|}$。$va > 0$（同符号）なら速さ増加、$va < 0$（異符号）なら速さ減少。
$v > 0, a > 0$：正方向に加速（どんどん速くなる）
$v > 0, a < 0$：正方向に減速（ブレーキ）
$v < 0, a < 0$：負方向に加速（逆向きに速くなる）
$v < 0, a > 0$：負方向に減速（逆向きにブレーキ）
平面上の点の位置が $(x(t), y(t))$ で表されるとき、速度と加速度はベクトルとして表されます。
速度ベクトル：$\vec{v} = \left(\dfrac{dx}{dt}, \dfrac{dy}{dt}\right)$
速さ：$|\vec{v}| = \sqrt{\left(\dfrac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\dfrac{dy}{dt}\right)^2}$
加速度ベクトル：$\vec{a} = \left(\dfrac{d^2x}{dt^2}, \dfrac{d^2y}{dt^2}\right)$
$\dfrac{dx}{dt} = -r\omega\sin\omega t$, $\dfrac{dy}{dt} = r\omega\cos\omega t$
速さ：$|\vec{v}| = \sqrt{r^2\omega^2\sin^2\omega t + r^2\omega^2\cos^2\omega t} = r\omega$（一定！）
$\dfrac{d^2x}{dt^2} = -r\omega^2\cos\omega t$, $\dfrac{d^2y}{dt^2} = -r\omega^2\sin\omega t$
$\vec{a} = -\omega^2(r\cos\omega t, r\sin\omega t) = -\omega^2 \vec{r}$（中心向きの加速度＝向心加速度）
物理学のニュートンの運動方程式 $F = ma$ は「力＝質量×加速度」です。加速度は位置の2階微分 $\dfrac{d^2x}{dt^2}$ なので、運動方程式は本質的に2階常微分方程式です。微分方程式を解くことで物体の運動（位置の時間関数）が決定されます。
曲線が $x = f(t)$, $y = g(t)$ と媒介変数表示されているとき、$\dfrac{dy}{dx}$ は速度成分の比で表されます。
$$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{\dot{y}}{\dot{x}}$$
（ただし $\dot{x} \neq 0$。ドットは $t$ についての微分を表す）
$\dot{x} = a(1 - \cos t)$, $\dot{y} = a\sin t$
速さ：$|\vec{v}| = a\sqrt{(1-\cos t)^2 + \sin^2 t} = a\sqrt{2 - 2\cos t} = 2a\left|\sin\dfrac{t}{2}\right|$
$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{\sin t}{1 - \cos t} = \dfrac{2\sin(t/2)\cos(t/2)}{2\sin^2(t/2)} = \dfrac{\cos(t/2)}{\sin(t/2)} = \cot\dfrac{t}{2}$
$t = 0$ で $\dot{x} = 0$, $\dot{y} = 0$。このとき速度ベクトルは零ベクトルで、尖点（カスプ）が生じます。
✕ 誤：$\dot{x} = 0$ でも $dy/dx$ は計算できる
○ 正：$\dot{x} = 0$ のとき $dy/dx$ は定義されない。接線が垂直になるか、尖点が生じる
$\dot{x} = 0$ かつ $\dot{y} \neq 0$ なら接線は垂直。$\dot{x} = \dot{y} = 0$ なら特異点（尖点など）。
| 問われること | 使う式 |
|---|---|
| ある時刻の速度 | $v(t_0) = x'(t_0)$ |
| ある時刻の速さ | $|v(t_0)| = |x'(t_0)|$ |
| 折り返しの時刻 | $v(t) = 0$ を解く |
| 移動距離 | $\displaystyle\int_{t_1}^{t_2} |v(t)| \, dt$ |
| 加速か減速か | $v(t)$ と $a(t)$ の符号を比較 |
| 最大速さ | $|v(t)|$ の最大値を求める |
変位（displacement）：$x(t_2) - x(t_1) = \displaystyle\int_{t_1}^{t_2} v(t) \, dt$（符号付き）
移動距離（distance）：$\displaystyle\int_{t_1}^{t_2} |v(t)| \, dt$（常に正）
折り返しがある場合、移動距離 $>$ 変位の絶対値 となります。
大学物理では運動を記述する座標系の選び方が重要になります。直交座標だけでなく、極座標 $(r, \theta)$ を使うと、円運動や楕円軌道の記述が簡潔になります。数学IIIの媒介変数表示は、座標系の自由な選択の基礎です。
Q1. $x = t^2 - 4t$ のとき、$t = 3$ での速度と速さを求めよ。
Q2. 速度と加速度が異符号のとき、物体は加速中か減速中か。
Q3. 変位と移動距離の違いを述べよ。
Q4. 等速円運動 $x = r\cos\omega t$, $y = r\sin\omega t$ の速さを求めよ。
Q5. 折り返し点とは何か。速度と位置の関係で説明せよ。
点 P が数直線上を $x = 2t^3 - 9t^2 + 12t$ に従って動くとき、$t \geq 0$ での速度と加速度を求め、P の運動を分析せよ。
$v = 6t^2 - 18t + 12 = 6(t-1)(t-2)$
$a = 12t - 18 = 6(2t - 3)$
$v = 0$ のとき $t = 1, 2$。$x(0) = 0$, $x(1) = 5$, $x(2) = 4$。
$0 \leq t < 1$：$v > 0$（正方向に移動）、$t = 1$ で折り返し、$1 < t < 2$：$v < 0$（負方向に移動）、$t = 2$ で再び折り返し。
$x = t^3 - 3t$ で動く点の $t = 0$ から $t = 2$ までの移動距離を求めよ。
$v = 3t^2 - 3 = 3(t+1)(t-1)$。$t = 1$ で $v = 0$（$0 \leq t \leq 2$ の範囲で）。
$0 \leq t < 1$：$v < 0$、$1 < t \leq 2$：$v > 0$
$x(0) = 0$, $x(1) = -2$, $x(2) = 2$
移動距離 $= |x(1) - x(0)| + |x(2) - x(1)| = |-2| + |4| = 6$
（変位は $x(2) - x(0) = 2$ だが、移動距離は $6$）
平面上の点 P が $x = \cos t + t\sin t$, $y = \sin t - t\cos t$（$t \geq 0$）で動くとき、$t$ における速さを求めよ。
$\dot{x} = -\sin t + \sin t + t\cos t = t\cos t$
$\dot{y} = \cos t - \cos t + t\sin t = t\sin t$
速さ $= \sqrt{t^2\cos^2 t + t^2\sin^2 t} = \sqrt{t^2} = |t| = t$（$t \geq 0$）
この曲線はインボリュート（伸開線）と呼ばれる曲線で、速さが $t$ に比例するという美しい性質をもちます。
$x = e^{-t}\sin t$（$t \geq 0$）で動く点について、速度・加速度を求め、点が減速している時間帯を求めよ。
$v = -e^{-t}\sin t + e^{-t}\cos t = e^{-t}(\cos t - \sin t) = \sqrt{2}e^{-t}\cos\!\left(t + \dfrac{\pi}{4}\right)$
$a = -e^{-t}(\cos t - \sin t) + e^{-t}(-\sin t - \cos t) = -2e^{-t}\cos t$
減速条件：$va < 0$
$va = \sqrt{2}e^{-t}\cos(t + \pi/4) \cdot (-2e^{-t}\cos t) = -2\sqrt{2}e^{-2t}\cos(t + \pi/4)\cos t$
$va < 0$ のとき $\cos(t + \pi/4)\cos t > 0$（同符号）
各区間で $\cos(t + \pi/4)$ と $\cos t$ の符号を調べ、両方正または両方負の区間が減速区間です。