本記事は第3章「微分法」の最終回として、微分係数の定義、導関数の計算、合成関数・陰関数・媒介変数表示の微分、対数微分法、高次導関数、極限との融合、不等式の証明など全テーマを横断する入試レベルの総合問題に取り組みます。まず全公式を一覧表で整理し、手法の選び方を確認したうえで演習に入ります。
第3章で学んだ全ての導関数公式を一覧にまとめます。入試前にはこの表を見て瞬時に使えるかどうか確認しましょう。
べき関数：$(x^n)' = nx^{n-1}$（$n$ は実数）
三角関数：$(\sin x)' = \cos x$, $(\cos x)' = -\sin x$, $(\tan x)' = \dfrac{1}{\cos^2 x}$
指数関数：$(e^x)' = e^x$, $(a^x)' = a^x \log a$
対数関数：$(\log x)' = \dfrac{1}{x}$, $(\log_a x)' = \dfrac{1}{x\log a}$
| 公式の種類 | 内容 |
|---|---|
| 定数倍 | $\{cf(x)\}' = cf'(x)$ |
| 和・差 | $\{f(x) \pm g(x)\}' = f'(x) \pm g'(x)$ |
| 積の微分 | $\{f(x)g(x)\}' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$ |
| 商の微分 | $\left\{\dfrac{f(x)}{g(x)}\right\}' = \dfrac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{\{g(x)\}^2}$ |
| 合成関数 | $\{f(g(x))\}' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$ |
| 逆関数 | $\dfrac{dx}{dy} = \dfrac{1}{\frac{dy}{dx}}$ |
| 媒介変数 | $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}$ |
| 対数微分法 | $\log|y| = \cdots$ として微分 → $\dfrac{y'}{y} = \cdots$ |
三角関数：$\sin \to \cos \to -\sin \to -\cos \to \sin$ の循環をイメージする
指数・対数：$e^x$ は微分で不変。$\log x$ は $\frac{1}{x}$。$a^x$ や $\log_a x$ は底の変換で $\log a$ が付く
積の微分：「前微分後＋前後微分」で覚える。商はそれを分母の2乗で割る構造
複雑な関数を微分するとき、どの手法を使うかの判断が重要です。以下のフローチャートに従って手法を選択しましょう。
Q1. 関数は $y = f(x)$ の陽関数か？
→ No → 陰関数の微分法（両辺を $x$ で微分）
Q2. 媒介変数 $t$ で表されているか？
→ Yes → 媒介変数表示の微分法（$\frac{dy}{dt} \div \frac{dx}{dt}$）
Q3. $f(x)^{g(x)}$ の形か？
→ Yes → 対数微分法（両辺の対数をとる）
Q4. 複雑な積・商・べき乗か？
→ Yes → 対数微分法を検討（計算が楽になるか判断）
Q5. 合成関数 $f(g(x))$ の構造か？
→ Yes → チェインルール（外から順に微分し内側を掛ける）
Q6. 積 $f(x)g(x)$ や商 $f(x)/g(x)$ か？
→ Yes → 積・商の微分法
失敗1：$y = x^x$ を $y' = x \cdot x^{x-1}$ とする（$x^n$ の公式は $n$ が定数のときのみ有効）
失敗2：陰関数の微分で $y$ の微分に $\frac{dy}{dx}$ を付け忘れる
失敗3：媒介変数表示の微分で $\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dt} \cdot \frac{dt}{dx}$ と書くべきところを $\frac{dy}{dt} \cdot \frac{dx}{dt}$ とする
対策：問題を読んだらまず関数の構造を分析し、上記フローに従って手法を決めてから計算を始める
ここでは第3章の全範囲から、基本~標準レベルの計算問題を出題します。各問題で使うべき手法を自分で判断してから解きましょう。
問1. $y = \dfrac{\sin x}{1 + \cos x}$ を微分せよ。
商の微分法を適用。
$y' = \dfrac{\cos x(1+\cos x) - \sin x(-\sin x)}{(1+\cos x)^2} = \dfrac{\cos x + \cos^2 x + \sin^2 x}{(1+\cos x)^2}$
$= \dfrac{\cos x + 1}{(1+\cos x)^2} = \dfrac{1}{1+\cos x}$
問2. $y = e^{x\sin x}$ を微分せよ。
合成関数の微分。内側 $u = x\sin x$ の微分は $u' = \sin x + x\cos x$。
$y' = e^{x\sin x}(\sin x + x\cos x)$
問3. $y = \log\sqrt{\dfrac{1+x}{1-x}}$ を微分せよ。
$y = \dfrac{1}{2}(\log(1+x) - \log(1-x))$ と変形。
$y' = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{1+x} + \dfrac{1}{1-x}\right) = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{(1-x)+(1+x)}{(1+x)(1-x)} = \dfrac{1}{1-x^2}$
問4. $x = \dfrac{1-t^2}{1+t^2}$, $y = \dfrac{2t}{1+t^2}$ のとき $\dfrac{dy}{dx}$ を $t$ で表せ。
$\dfrac{dx}{dt} = \dfrac{-2t(1+t^2) - (1-t^2) \cdot 2t}{(1+t^2)^2} = \dfrac{-2t - 2t^3 - 2t + 2t^3}{(1+t^2)^2} = \dfrac{-4t}{(1+t^2)^2}$
$\dfrac{dy}{dt} = \dfrac{2(1+t^2) - 2t \cdot 2t}{(1+t^2)^2} = \dfrac{2 - 2t^2}{(1+t^2)^2}$
$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{\frac{2(1-t^2)}{(1+t^2)^2}}{\frac{-4t}{(1+t^2)^2}} = \dfrac{2(1-t^2)}{-4t} = \dfrac{t^2 - 1}{2t}$
問5. $\sin(xy) = x$ のとき $\dfrac{dy}{dx}$ を求めよ。
両辺を $x$ で微分：$\cos(xy)\left(y + x\dfrac{dy}{dx}\right) = 1$
$y\cos(xy) + x\cos(xy)\dfrac{dy}{dx} = 1$
$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1 - y\cos(xy)}{x\cos(xy)}$
問6. $y = (\cos x)^{\sin x}$（$\cos x > 0$）を微分せよ。
対数微分法。$\log y = \sin x \cdot \log(\cos x)$
$\dfrac{y'}{y} = \cos x \cdot \log(\cos x) + \sin x \cdot \dfrac{-\sin x}{\cos x} = \cos x \log(\cos x) - \dfrac{\sin^2 x}{\cos x}$
$y' = (\cos x)^{\sin x}\left(\cos x \log(\cos x) - \dfrac{\sin^2 x}{\cos x}\right)$
1. 微分する前に対数法則や三角関数の公式で式を簡単にできないか検討する
2. 商の微分は、分子を展開せず因数分解のまま残すと約分しやすい
3. 結果が複雑になったら、途中で共通因数を括り出して整理する
微分法を他分野と組み合わせた発展問題に挑戦します。入試本番を想定して取り組みましょう。
問7. $f(x) = x^2 e^x$ のとき、$\displaystyle\lim_{h \to 0}\dfrac{f(a+2h) - 2f(a+h) + f(a)}{h^2}$ を求めよ。
$g(h) = f(a+2h) - 2f(a+h) + f(a)$ とおくと $g(0) = 0$。
$g'(h) = 2f'(a+2h) - 2f'(a+h)$。$g'(0) = 2f'(a) - 2f'(a) = 0$。
$g''(h) = 4f''(a+2h) - 2f''(a+h)$。$g''(0) = 4f''(a) - 2f''(a) = 2f''(a)$。
分母の $h^2$ について：$(h^2)' = 2h$, $(h^2)'' = 2$。
よって極限 $= \dfrac{g''(0)}{2} = \dfrac{2f''(a)}{2} = f''(a)$。
$f'(x) = 2xe^x + x^2e^x = (x^2+2x)e^x$、$f''(x) = (2x+2)e^x + (x^2+2x)e^x = (x^2+4x+2)e^x$
答え：$(a^2+4a+2)e^a$
問8. $x > 0$ のとき $\dfrac{x}{1+x} < \log(1+x) < x$ を示せ。
右の不等式 $\log(1+x) < x$：
$f(x) = x - \log(1+x)$ とおく。$f(0) = 0$。$f'(x) = 1 - \dfrac{1}{1+x} = \dfrac{x}{1+x} > 0$（$x > 0$）。
$f(x)$ は単調増加。$f(0) = 0$ より $f(x) > 0$（$x > 0$）。
左の不等式 $\dfrac{x}{1+x} < \log(1+x)$：
$g(x) = \log(1+x) - \dfrac{x}{1+x}$ とおく。$g(0) = 0$。
$g'(x) = \dfrac{1}{1+x} - \dfrac{(1+x) - x}{(1+x)^2} = \dfrac{1}{1+x} - \dfrac{1}{(1+x)^2} = \dfrac{x}{(1+x)^2} > 0$（$x > 0$）。
$g(x)$ は単調増加。$g(0) = 0$ より $g(x) > 0$（$x > 0$）。
問9. $f(x) = x^n e^{-x}$（$n$ は正の整数）について、$f^{(n)}(0)$ を求めよ。
ライプニッツの公式を適用：$f^{(n)}(x) = \displaystyle\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}(x^n)^{(k)}(e^{-x})^{(n-k)}$
$(x^n)^{(k)} = \dfrac{n!}{(n-k)!}x^{n-k}$（$k \leq n$）。$x = 0$ では $k = n$ のときのみ非零で $(x^n)^{(n)} = n!$。
$(e^{-x})^{(n-k)} = (-1)^{n-k}e^{-x}$。$x = 0$ で $(-1)^{n-k}$。
$k = n$ のとき $(x^n)^{(n)} = n!$, $(e^{-x})^{(0)} = e^{-x}\big|_{x=0} = 1$。
$f^{(n)}(0) = \binom{n}{n} \cdot n! \cdot 1 = n!$
別解として、$f^{(n)}(0) = n! \cdot \left[\text{マクローリン展開の $x^n$ の係数}\right] \cdot n!$ からも得られる。
計算問題：複雑な関数の微分を正確に行えるかを問う（配点は低めだが落とせない）
証明問題：不等式の証明、等式の証明で微分を道具として使う
融合問題：微分＋極限、微分＋積分、微分＋帰納法の組み合わせ
応用問題：第4章（微分法の応用）で扱う接線・増減・極値の問題（次章に続く）
第3章で学んだ微分法の知識を入試本番で活用するための戦略を整理します。
Step 1：関数の構造を把握する（陽関数/陰関数/媒介変数/特殊形）
Step 2：適切な微分手法を選択する（フローチャート参照）
Step 3：微分する前に式の変形で簡単にできないか考える
Step 4：丁寧に計算し、途中で整理を怠らない
Step 5：結果を検算する（特殊な値を代入して確認、次元チェックなど）
特殊値の代入：$x = 0$, $x = 1$ などを代入して元の関数と導関数の値が整合するか確認
次元解析：$y = x^n$ なら $y' \sim x^{n-1}$ のようにべき次数が $1$ 下がることを確認
符号の確認：元の関数が増加している区間で $y' > 0$ となるか確認
対称性の確認：偶関数の導関数は奇関数、奇関数の導関数は偶関数
| 間違いやすいポイント | 確認方法 |
|---|---|
| 合成関数で内側の微分を忘れる | チェインルールの各段階を明記する |
| 陰関数の微分で $\frac{dy}{dx}$ を付け忘れる | $y$ が出てくるたびに $\frac{dy}{dx}$ の有無を確認 |
| 対数微分法で $y$ を掛け戻し忘れる | 最後に $y' = y \times \cdots$ の形に必ず戻す |
| $a^x$ と $x^a$ の公式を混同する | 底が定数→指数関数、指数が定数→べき関数と区別 |
| 商の微分の分子の符号ミス | 「分子の微分×分母 マイナス 分子×分母の微分」を暗唱 |
Q1. $y = f(x)^{g(x)}$ を微分するとき、最初に行うべき操作は何か。
Q2. $y = \dfrac{e^{2x}}{(1+x)^3}$ を微分する際、対数微分法と商の微分法のどちらが有利か述べよ。
Q3. $\sin(xy) = x$ を $x$ で微分するとき、$\sin(xy)$ の微分結果は何か。
Q4. $x > 0$ で $f(x) > 0$ を示したいとき、微分を使う方法の基本方針は何か。
Q5. 偶関数 $f(x)$（$f(-x) = f(x)$）の導関数 $f'(x)$ は偶関数か奇関数か。
次の関数を微分せよ。
(1) $y = x^3 e^{-2x}$
(2) $y = \log\dfrac{e^x}{1+e^x}$
(3) $y = \arctan(\log x)$（ただし $(\arctan u)' = \dfrac{1}{1+u^2}$）
(1) $y' = 3x^2 e^{-2x} + x^3(-2)e^{-2x} = x^2 e^{-2x}(3 - 2x)$
(2) $y = x - \log(1+e^x)$ と変形。$y' = 1 - \dfrac{e^x}{1+e^x} = \dfrac{1}{1+e^x}$
(3) $y' = \dfrac{1}{1+(\log x)^2} \cdot \dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{x(1+(\log x)^2)}$
$x \geq 0$ のとき、次の不等式を証明せよ。
$$e^x \geq 1 + x + \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^3}{6}$$
$f(x) = e^x - 1 - x - \dfrac{x^2}{2} - \dfrac{x^3}{6}$ とおく。$f(0) = 0$。
$f'(x) = e^x - 1 - x - \dfrac{x^2}{2}$。$f'(0) = 0$。
$f''(x) = e^x - 1 - x$。$f''(0) = 0$。
$f'''(x) = e^x - 1$。$x > 0$ のとき $f'''(x) > 0$。
$f'''(x) > 0$（$x > 0$）より $f''$ は増加。$f''(0) = 0$ より $f''(x) > 0$（$x > 0$）。
$f''(x) > 0$（$x > 0$）より $f'$ は増加。$f'(0) = 0$ より $f'(x) > 0$（$x > 0$）。
$f'(x) > 0$（$x > 0$）より $f$ は増加。$f(0) = 0$ より $f(x) > 0$（$x > 0$）。
$x = 0$ では $f(0) = 0$ なので等号成立。以上より $f(x) \geq 0$（$x \geq 0$）。
$e^x$ のマクローリン展開 $1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots$ の各部分和が下からの評価を与えます。微分を繰り返して $e^x - 1 > 0$（$x > 0$）に帰着させるのが定石です。
アステロイド $x^{2/3} + y^{2/3} = a^{2/3}$（$a > 0$）について：
(1) $\dfrac{dy}{dx}$ を $x$, $y$ で表せ。
(2) この曲線は $x = a\cos^3 t$, $y = a\sin^3 t$ と媒介変数表示できることを示し、$\dfrac{dy}{dx}$ を $t$ で表せ。
(3) $t = \dfrac{\pi}{4}$ における接線の方程式を求めよ。
(1) 両辺を $x$ で微分：$\dfrac{2}{3}x^{-1/3} + \dfrac{2}{3}y^{-1/3}\dfrac{dy}{dx} = 0$
$\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{x^{-1/3}}{y^{-1/3}} = -\left(\dfrac{y}{x}\right)^{1/3}$
(2) $x = a\cos^3 t$, $y = a\sin^3 t$ のとき
$x^{2/3} + y^{2/3} = a^{2/3}\cos^2 t + a^{2/3}\sin^2 t = a^{2/3}$。曲線上にある。
$\dfrac{dx}{dt} = -3a\cos^2 t\sin t$, $\dfrac{dy}{dt} = 3a\sin^2 t\cos t$
$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{3a\sin^2 t\cos t}{-3a\cos^2 t\sin t} = -\dfrac{\sin t}{\cos t} = -\tan t$
(3) $t = \dfrac{\pi}{4}$：$x = a\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^3 = \dfrac{a\sqrt{2}}{4}$, $y = \dfrac{a\sqrt{2}}{4}$。傾き $= -\tan\dfrac{\pi}{4} = -1$。
接線：$y - \dfrac{a\sqrt{2}}{4} = -1\left(x - \dfrac{a\sqrt{2}}{4}\right)$、すなわち $x + y = \dfrac{a\sqrt{2}}{2}$
$n$ を正の整数とし、$f_n(x) = (1+x)^n$ とする。
(1) $f_n^{(k)}(0) = \dfrac{n!}{(n-k)!}$（$0 \leq k \leq n$）を示せ。
(2) $g(x) = e^x$ のマクローリン展開を利用して $\displaystyle\lim_{n \to \infty}\left(1 + \dfrac{x}{n}\right)^n = e^x$ を示せ。
(3) すべての正の整数 $n$ と $x > 0$ に対して $\left(1 + \dfrac{x}{n}\right)^n < e^x$ であることを示せ。
(1) $f_n(x) = (1+x)^n$ より $f_n^{(k)}(x) = n(n-1)\cdots(n-k+1)(1+x)^{n-k} = \dfrac{n!}{(n-k)!}(1+x)^{n-k}$
$f_n^{(k)}(0) = \dfrac{n!}{(n-k)!}$
(2) $h_n(x) = \left(1+\dfrac{x}{n}\right)^n$ とおく。$\log h_n(x) = n\log\left(1+\dfrac{x}{n}\right)$
$t = \dfrac{x}{n} \to 0$（$n \to \infty$）とおくと $n\log(1+t) = \dfrac{x}{t}\log(1+t) = x \cdot \dfrac{\log(1+t)}{t} \to x \cdot 1 = x$
よって $\log h_n(x) \to x$、すなわち $h_n(x) \to e^x$。
(3) 対数をとると、$n\log\left(1+\dfrac{x}{n}\right) < x$ を示せばよい。
$x > 0$ のとき $\log(1+u) < u$（$u > 0$）を利用する（III-3-14で証明済み）。
$u = \dfrac{x}{n} > 0$ として $\log\left(1+\dfrac{x}{n}\right) < \dfrac{x}{n}$。
両辺に $n > 0$ を掛けて $n\log\left(1+\dfrac{x}{n}\right) < x$。よって $\left(1+\dfrac{x}{n}\right)^n < e^x$。
$(1+\frac{x}{n})^n$ と $e^x$ の関係は微分法と極限の深い結びつきを示す重要なテーマです。(3) は微分で証明した不等式 $\log(1+u) < u$ を活用する典型的な融合問題です。