三角関数の逆関数である逆三角関数は、微積分において極めて重要な役割を果たします。本記事では $\arcsin x$, $\arccos x$, $\arctan x$ の定義・定義域・値域・グラフを整理し、陰関数の微分法を用いてそれぞれの導関数を導出します。逆三角関数の微分は積分計算の基礎でもあり、確実に習得しましょう。
関数 $y = f(x)$ が単調であるとき、$x$ と $y$ を入れ替えた関数 $x = f^{-1}(y)$（逆関数）が存在します。三角関数 $\sin x$, $\cos x$, $\tan x$ は周期関数であり、そのままでは単射ではないため逆関数が存在しません。
関数 $y = f(x)$ の逆関数が存在するためには、$f$ が単射（1対1対応）である必要があります。
三角関数は周期関数なので、定義域を適切に制限して単射にすることで逆関数を定義します。
たとえば $y = \sin x$ は $-\dfrac{\pi}{2} \leq x \leq \dfrac{\pi}{2}$ に制限すると、$-1 \leq y \leq 1$ への単調増加関数となり、逆関数が定義できます。この逆関数が $\arcsin$ です。
$\sin \theta = \dfrac{1}{2}$ を満たす $\theta$ は無限にありますが、$\arcsin \dfrac{1}{2} = \dfrac{\pi}{6}$ と一つに定まります。
積分の計算において $\displaystyle\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,dx = \arcsin x + C$ のように、逆三角関数は不定積分の結果として自然に現れます。
$$y = \arcsin x \iff \sin y = x \quad \left(-1 \leq x \leq 1,\;\; -\frac{\pi}{2} \leq y \leq \frac{\pi}{2}\right)$$
$\sin^{-1} x$ と書くこともある。$(\sin x)^{-1} = \dfrac{1}{\sin x}$ とは異なるので注意。
すなわち、$\arcsin x$ は「正弦値が $x$ であるような角度で、$-\dfrac{\pi}{2}$ 以上 $\dfrac{\pi}{2}$ 以下のもの」を返す関数です。
代表的な値を確認しましょう。
$$y = \arccos x \iff \cos y = x \quad \left(-1 \leq x \leq 1,\;\; 0 \leq y \leq \pi\right)$$
$\cos^{-1} x$ とも書く。値域が $[0, \pi]$ である点に注意。
$\arccos x$ は「余弦値が $x$ であるような角度で、$0$ 以上 $\pi$ 以下のもの」です。
$$y = \arctan x \iff \tan y = x \quad \left(-\infty < x < \infty,\;\; -\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2}\right)$$
$\tan^{-1} x$ とも書く。定義域は実数全体、値域は開区間 $\left(-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right)$。
$$\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2} \quad (-1 \leq x \leq 1)$$
これは $\sin \theta = \cos\!\left(\dfrac{\pi}{2} - \theta\right)$ から導かれます。この関係から、$\arccos$ の導関数は $\arcsin$ の導関数と符号だけが異なることがわかります。
逆三角関数のグラフは、元の三角関数のグラフを直線 $y = x$ に関して対称に折り返したものです。
| 関数 | 定義域 | 値域 | 単調性 | 対称性 |
|---|---|---|---|---|
| $y = \arcsin x$ | $[-1, 1]$ | $\left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right]$ | 単調増加 | 原点対称（奇関数） |
| $y = \arccos x$ | $[-1, 1]$ | $[0, \pi]$ | 単調減少 | 点 $\left(0, \dfrac{\pi}{2}\right)$ 対称 |
| $y = \arctan x$ | $(-\infty, \infty)$ | $\left(-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right)$ | 単調増加 | 原点対称（奇関数） |
$y = \arcsin x$：原点を通り、$(-1, -\pi/2)$ から $(1, \pi/2)$ へなめらかに増加する曲線です。端点での接線は垂直になります。
$y = \arccos x$：$(−1, \pi)$ から $(1, 0)$ へなめらかに減少する曲線です。
$y = \arctan x$：原点を通り、$y = \pm\dfrac{\pi}{2}$ を漸近線としてなめらかに増加します。
✗ $\arcsin(-\frac{1}{2}) = \frac{5\pi}{6}$（$\sin \frac{5\pi}{6} = \frac{1}{2}$ だが値域外）
✓ $\arcsin(-\frac{1}{2}) = -\frac{\pi}{6}$（値域 $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ に入る値を選ぶ）
逆三角関数の値は必ず定められた値域の範囲で答えます。
逆三角関数の導関数は、陰関数の微分法を用いて求めます。逆関数の微分公式 $\dfrac{dx}{dy} = \dfrac{1}{\frac{dy}{dx}}$ を活用する方法です。
$y = \arcsin x$ とおくと $\sin y = x$（$-\dfrac{\pi}{2} \leq y \leq \dfrac{\pi}{2}$）。
両辺を $x$ で微分すると：
$$\cos y \cdot \frac{dy}{dx} = 1$$
$$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\cos y}$$
$-\dfrac{\pi}{2} \leq y \leq \dfrac{\pi}{2}$ のとき $\cos y \geq 0$ であるから：
$$\cos y = \sqrt{1 - \sin^2 y} = \sqrt{1 - x^2}$$
$$\therefore\; \frac{d}{dx}(\arcsin x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \quad (-1 < x < 1)$$
$y = \arccos x$ とおくと $\cos y = x$（$0 \leq y \leq \pi$）。
両辺を $x$ で微分すると：
$$-\sin y \cdot \frac{dy}{dx} = 1$$
$$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sin y}$$
$0 \leq y \leq \pi$ のとき $\sin y \geq 0$ であるから：
$$\sin y = \sqrt{1 - \cos^2 y} = \sqrt{1 - x^2}$$
$$\therefore\; \frac{d}{dx}(\arccos x) = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \quad (-1 < x < 1)$$
$y = \arctan x$ とおくと $\tan y = x$（$-\dfrac{\pi}{2} < y < \dfrac{\pi}{2}$）。
両辺を $x$ で微分すると：
$$\frac{1}{\cos^2 y} \cdot \frac{dy}{dx} = 1$$
$$\frac{dy}{dx} = \cos^2 y$$
ここで $1 + \tan^2 y = \dfrac{1}{\cos^2 y}$ より $\cos^2 y = \dfrac{1}{1 + \tan^2 y} = \dfrac{1}{1 + x^2}$。
$$\therefore\; \frac{d}{dx}(\arctan x) = \frac{1}{1 + x^2} \quad (-\infty < x < \infty)$$
$$(\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \quad (-1 < x < 1)$$
$$(\arccos x)' = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \quad (-1 < x < 1)$$
$$(\arctan x)' = \frac{1}{1 + x^2} \quad (-\infty < x < \infty)$$
※ $\arcsin$ と $\arccos$ の導関数は符号だけ異なる。これは $\arcsin x + \arccos x = \dfrac{\pi}{2}$ から自然に導かれる。
✗ $\cos y = \pm\sqrt{1 - \sin^2 y}$ としてそのまま進む
✓ $y$ の値域から $\cos y \geq 0$ を確認してから正の平方根を選ぶ
$\arcsin x$ では $y \in [-\pi/2, \pi/2]$ なので $\cos y \geq 0$、$\arccos x$ では $y \in [0, \pi]$ なので $\sin y \geq 0$。値域の確認が導出の鍵です。
合成関数の微分法（連鎖律）と組み合わせることで、より一般的な関数の微分が可能です。
$$\frac{d}{dx}\arcsin f(x) = \frac{f'(x)}{\sqrt{1 - \{f(x)\}^2}}$$
$$\frac{d}{dx}\arccos f(x) = -\frac{f'(x)}{\sqrt{1 - \{f(x)\}^2}}$$
$$\frac{d}{dx}\arctan f(x) = \frac{f'(x)}{1 + \{f(x)\}^2}$$
$f(x) = 2x$ とすると $f'(x) = 2$。
$$y' = \frac{2}{\sqrt{1 - (2x)^2}} = \frac{2}{\sqrt{1 - 4x^2}} \quad \left(-\frac{1}{2} < x < \frac{1}{2}\right)$$
$f(x) = \dfrac{1}{x}$ とすると $f'(x) = -\dfrac{1}{x^2}$。
$$y' = \frac{-\frac{1}{x^2}}{1 + \frac{1}{x^2}} = \frac{-\frac{1}{x^2}}{\frac{x^2 + 1}{x^2}} = -\frac{1}{x^2 + 1}$$
積の微分法を用いて：
$$y' = \arctan x + x \cdot \frac{1}{1 + x^2} = \arctan x + \frac{x}{1 + x^2}$$
$f(x) = \dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}$ とおく。商の微分法より：
$$f'(x) = \frac{\sqrt{1+x^2} - x \cdot \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}}{1+x^2} = \frac{\frac{1+x^2 - x^2}{\sqrt{1+x^2}}}{1+x^2} = \frac{1}{(1+x^2)^{3/2}}$$
また $1 - \{f(x)\}^2 = 1 - \dfrac{x^2}{1+x^2} = \dfrac{1}{1+x^2}$。
$$y' = \frac{\frac{1}{(1+x^2)^{3/2}}}{\sqrt{\frac{1}{1+x^2}}} = \frac{\frac{1}{(1+x^2)^{3/2}}}{\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}} = \frac{1}{1+x^2}$$
これは $\arctan x$ の導関数と一致します。実は $\arcsin\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}} = \arctan x$ が成り立ちます。
逆三角関数の導関数を逆に読むことで、次の重要な積分公式が得られます。
$$\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,dx = \arcsin x + C$$
$$\int \frac{1}{1+x^2}\,dx = \arctan x + C$$
これらは第4章「積分法」で頻繁に使う公式です。
Q1. $\arcsin \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ の値を求めよ。
Q2. $\arccos(-\frac{1}{2})$ の値を求めよ。
Q3. $(\arctan x)' = \dfrac{1}{1+x^2}$ を陰関数微分で導出する際、$\cos^2 y$ をどのように $x$ の式に変換するか。
Q4. $y = \arctan 3x$ を微分せよ。
Q5. $\arcsin x + \arccos x$ の値（定数）を答え、この関係式を微分の観点から説明せよ。
次の関数を微分せよ。
(1) $y = \arcsin(1 - 2x)$
(2) $y = \arccos\dfrac{x}{a} \quad (a > 0)$
(3) $y = \arctan(e^x)$
(1) $f(x) = 1 - 2x$ より $f'(x) = -2$。
$y' = \dfrac{-2}{\sqrt{1 - (1-2x)^2}} = \dfrac{-2}{\sqrt{4x - 4x^2}} = \dfrac{-2}{2\sqrt{x(1-x)}} = \dfrac{-1}{\sqrt{x(1-x)}}$
(2) $f(x) = \dfrac{x}{a}$ より $f'(x) = \dfrac{1}{a}$。
$y' = -\dfrac{\frac{1}{a}}{\sqrt{1 - \frac{x^2}{a^2}}} = -\dfrac{\frac{1}{a}}{\frac{\sqrt{a^2 - x^2}}{a}} = -\dfrac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}}$
(3) $f(x) = e^x$ より $f'(x) = e^x$。
$y' = \dfrac{e^x}{1 + e^{2x}}$
次の関数を微分せよ。
(1) $y = x^2 \arcsin x$
(2) $y = \arctan x - \dfrac{x}{1 + x^2}$
(1) 積の微分法より：
$y' = 2x \arcsin x + x^2 \cdot \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} = 2x \arcsin x + \dfrac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}$
(2) $y' = \dfrac{1}{1+x^2} - \dfrac{(1+x^2) - x \cdot 2x}{(1+x^2)^2}$
$= \dfrac{1}{1+x^2} - \dfrac{1-x^2}{(1+x^2)^2} = \dfrac{(1+x^2) - (1-x^2)}{(1+x^2)^2} = \dfrac{2x^2}{(1+x^2)^2}$
$y = \arcsin x$ のとき、$(1 - x^2) y'' - x y' = 0$ が成り立つことを示せ。
$y' = \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} = (1-x^2)^{-1/2}$
$y'' = -\dfrac{1}{2}(1-x^2)^{-3/2} \cdot (-2x) = \dfrac{x}{(1-x^2)^{3/2}}$
$(1-x^2)y'' - xy'$
$= (1-x^2) \cdot \dfrac{x}{(1-x^2)^{3/2}} - x \cdot \dfrac{1}{(1-x^2)^{1/2}}$
$= \dfrac{x}{(1-x^2)^{1/2}} - \dfrac{x}{(1-x^2)^{1/2}} = 0 \quad \square$
$y' = (1-x^2)^{-1/2}$ を微分するときに合成関数の微分法を用いる点がポイントです。結果的に $(1-x^2)y'' = xy'$ が成り立ち、$y = \arcsin x$ が満たす微分方程式が得られます。
$x > 0$ のとき、$\arctan x + \arctan \dfrac{1}{x} = \dfrac{\pi}{2}$ を示せ。また、$f(x) = \arctan x + \arctan \dfrac{1}{x}$ の導関数を求め、この等式を微分の観点から証明せよ。
微分による証明：
$f(x) = \arctan x + \arctan \dfrac{1}{x}$ とおく（$x > 0$）。
$f'(x) = \dfrac{1}{1+x^2} + \dfrac{-\frac{1}{x^2}}{1+\frac{1}{x^2}} = \dfrac{1}{1+x^2} + \dfrac{-\frac{1}{x^2}}{\frac{x^2+1}{x^2}} = \dfrac{1}{1+x^2} - \dfrac{1}{x^2+1} = 0$
$f'(x) = 0$ より $f(x)$ は定数。$f(1) = \arctan 1 + \arctan 1 = \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\pi}{2}$。
よって $f(x) = \dfrac{\pi}{2}$（$x > 0$）。$\square$
「ある関数の導関数が恒等的に $0$ であれば、その関数は定数」という原理を利用した証明法です。定数値は特定の $x$ を代入して求めます。この手法は恒等式の証明に極めて有効です。