前回は $x \to a$ の極限を学びました。本記事では $x$ が限りなく大きくなる（$x \to \infty$）とき、あるいは限りなく小さくなる（$x \to -\infty$）ときの関数の極限を扱います。多項式関数・有理関数の極限の求め方と、数列の極限との関連を学びます。
数列の極限 $\lim_{n \to \infty} a_n$ は $n$ が自然数の範囲で無限大に向かうものでしたが、関数の極限では $x$ が実数の範囲で無限大に向かいます。
$x$ が限りなく大きくなるとき $f(x)$ が $L$ に収束するならば
$$\lim_{x \to \infty} f(x) = L$$
$x$ が限りなく小さくなる（負の方向に大きくなる）とき $f(x)$ が $L$ に収束するならば
$$\lim_{x \to -\infty} f(x) = L$$
1. $\lim_{x \to \infty} \dfrac{1}{x} = 0$, $\quad \lim_{x \to -\infty} \dfrac{1}{x} = 0$
2. $\lim_{x \to \infty} \dfrac{1}{x^n} = 0$（$n > 0$）
3. $\lim_{x \to \infty} \dfrac{c}{x^n} = 0$（$c$ は定数, $n > 0$）
※ $\frac{1}{x}$, $\frac{1}{x^2}$, $\frac{1}{x^3}$, ... はすべて $x \to \pm\infty$ で $0$ に収束する。
問題：次の極限を求めよ。
(1) $\lim_{x \to \infty} \dfrac{3}{x^2}$ (2) $\lim_{x \to -\infty} \dfrac{5}{x}$ (3) $\lim_{x \to \infty} \left(2 + \dfrac{1}{x}\right)$
解：
(1) $\lim_{x \to \infty} \dfrac{3}{x^2} = 3 \cdot 0 = 0$
(2) $\lim_{x \to -\infty} \dfrac{5}{x} = 0$
(3) $\lim_{x \to \infty} \left(2 + \dfrac{1}{x}\right) = 2 + 0 = 2$
$x \to \infty$：$x$ は正の方向に限りなく大きくなる
$x \to -\infty$：$x$ は負の方向に限りなく大きくなる（絶対値が大きくなる）
奇数次の関数（$x^3, x^5, \ldots$）は正負で振る舞いが異なるため、$x \to \infty$ と $x \to -\infty$ で極限が変わります。
多項式関数 $f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_0$ の $x \to \pm\infty$ における極限は、最高次の項で決まります。
$f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_0$（$a_n \neq 0$）のとき
$$\lim_{x \to \infty} f(x) = \lim_{x \to \infty} a_n x^n$$
すなわち、$x \to \infty$ での多項式の振る舞いは最高次の項 $a_n x^n$ が支配する。
※ $a_n > 0$ のとき $+\infty$、$a_n < 0$ のとき $-\infty$ に発散する。
問題：次の極限を求めよ。
(1) $\lim_{x \to \infty} (2x^3 - 5x^2 + 3)$ (2) $\lim_{x \to -\infty} (-x^4 + 3x^2)$
解：
(1) 最高次の項は $2x^3$。$x \to \infty$ のとき $2x^3 \to +\infty$ なので
$\lim_{x \to \infty} (2x^3 - 5x^2 + 3) = +\infty$
(2) 最高次の項は $-x^4$。$x \to -\infty$ のとき $x^4 \to +\infty$ なので $-x^4 \to -\infty$
$\lim_{x \to -\infty} (-x^4 + 3x^2) = -\infty$
$f(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3$ を $x^3$ でくくると：
$$f(x) = x^3\!\left(2 - \frac{5}{x} + \frac{3}{x^3}\right)$$
$x \to \infty$ のとき $\dfrac{5}{x} \to 0$, $\dfrac{3}{x^3} \to 0$ なので括弧内は $2$ に収束。
よって $f(x) \approx x^3 \cdot 2 = 2x^3 \to +\infty$。
✗ $\lim_{x \to -\infty} x^3 = +\infty$ と間違える
✓ 奇数乗：$x \to -\infty$ のとき $x^n \to -\infty$（例：$x^3 \to -\infty$）
✓ 偶数乗：$x \to -\infty$ のとき $x^n \to +\infty$（例：$x^4 \to +\infty$）
$\dfrac{f(x)}{g(x)}$ の形の有理関数で $x \to \infty$ の極限を求めるには、分母の最高次の項で分母・分子を割る方法が基本です。
$\lim_{x \to \infty} \dfrac{a_m x^m + \cdots}{b_n x^n + \cdots}$ は分母の最高次 $x^n$ で割って：
$m < n$ のとき：$\lim = 0$（分子の次数 $<$ 分母の次数）
$m = n$ のとき：$\lim = \dfrac{a_m}{b_n}$（最高次の係数の比）
$m > n$ のとき：$\lim = \pm\infty$（発散）
問題：$\lim_{x \to \infty} \dfrac{3x + 1}{x^2 + 2}$ を求めよ。
解：分母の最高次 $x^2$ で分母・分子を割る：
$$\lim_{x \to \infty} \dfrac{3x + 1}{x^2 + 2} = \lim_{x \to \infty} \dfrac{\frac{3}{x} + \frac{1}{x^2}}{1 + \frac{2}{x^2}} = \dfrac{0 + 0}{1 + 0} = 0$$
問題：$\lim_{x \to \infty} \dfrac{4x^2 - 3x + 1}{2x^2 + 5x - 7}$ を求めよ。
解：分母の最高次 $x^2$ で割る：
$$\lim_{x \to \infty} \dfrac{4 - \frac{3}{x} + \frac{1}{x^2}}{2 + \frac{5}{x} - \frac{7}{x^2}} = \dfrac{4 - 0 + 0}{2 + 0 - 0} = 2$$
問題：$\lim_{x \to \infty} \dfrac{x^3 + 2x}{x^2 - 1}$ を求めよ。
解：分母の最高次 $x^2$ で割る：
$$\lim_{x \to \infty} \dfrac{x + \frac{2}{x}}{1 - \frac{1}{x^2}} = \dfrac{\infty}{1} = +\infty$$
分子の次数が分母の次数より大きいので、発散する。
Step 1：分母の最高次の項を確認する（$x^n$ とする）。
Step 2：分母・分子のすべての項を $x^n$ で割る。
Step 3：$\frac{c}{x^k} \to 0$（$k > 0$）を使って極限を求める。
数列の極限 $\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n}$ で「$n$ の最高次で割る」のと全く同じ手法です。
問題：$\lim_{x \to -\infty} \dfrac{x^2 - 3x}{2x^2 + 1}$ を求めよ。
解：$x^2$ で割る：
$$\lim_{x \to -\infty} \dfrac{1 - \frac{3}{x}}{2 + \frac{1}{x^2}} = \dfrac{1 - 0}{2 + 0} = \dfrac{1}{2}$$
分子・分母ともに最高次が $x^2$ なので、$x \to -\infty$ でも結果は同じ。
根号を含む関数（$\sqrt{x^2 + \cdots}$ など）の極限では、有理化や根号内からの括り出しが有効です。
問題：$\lim_{x \to \infty} \left(\sqrt{x^2 + 3x} - x\right)$ を求めよ。
解：$\infty - \infty$ 型。有理化する：
$$\left(\sqrt{x^2 + 3x} - x\right) \cdot \dfrac{\sqrt{x^2 + 3x} + x}{\sqrt{x^2 + 3x} + x} = \dfrac{(x^2 + 3x) - x^2}{\sqrt{x^2 + 3x} + x} = \dfrac{3x}{\sqrt{x^2 + 3x} + x}$$
$x > 0$ のとき $\sqrt{x^2 + 3x} = x\sqrt{1 + \frac{3}{x}}$ なので
$$= \dfrac{3x}{x\sqrt{1 + \frac{3}{x}} + x} = \dfrac{3}{\sqrt{1 + \frac{3}{x}} + 1} \to \dfrac{3}{\sqrt{1} + 1} = \dfrac{3}{2}$$
問題：$\lim_{x \to -\infty} \dfrac{\sqrt{x^2 + 1}}{x}$ を求めよ。
解：$x < 0$ のとき $\sqrt{x^2} = |x| = -x$ に注意する。
$$\dfrac{\sqrt{x^2 + 1}}{x} = \dfrac{|x|\sqrt{1 + \frac{1}{x^2}}}{x} = \dfrac{-x \cdot \sqrt{1 + \frac{1}{x^2}}}{x} = -\sqrt{1 + \dfrac{1}{x^2}}$$
$$\lim_{x \to -\infty} \left(-\sqrt{1 + \dfrac{1}{x^2}}\right) = -\sqrt{1 + 0} = -1$$
✗ $\sqrt{x^2} = x$ とする（$x < 0$ で誤り）
✓ $\sqrt{x^2} = |x|$。$x \geq 0$ のとき $|x| = x$、$x < 0$ のとき $|x| = -x$
$x \to -\infty$ の問題で $\sqrt{x^2}$ を $x$ と書いてしまうのは非常に多い間違いです。
$\sqrt{f(x)} - g(x)$ の形で $\infty - \infty$ 型になるときは、有理化が定石です。
$$\sqrt{f(x)} - g(x) = \dfrac{f(x) - \{g(x)\}^2}{\sqrt{f(x)} + g(x)}$$
分子で差が簡単になり、$\frac{\infty}{\infty}$ 型に帰着できます。
数列の極限 $\lim_{n \to \infty} a_n$ と関数の極限 $\lim_{x \to \infty} f(x)$ には重要な対応関係があります。
$\lim_{x \to \infty} f(x) = L$ ならば $\lim_{n \to \infty} f(n) = L$（$n$ は自然数）
※ 逆は一般には成り立たない。関数の極限はすべての実数値での収束を要求するが、数列の極限は自然数値のみ。
問題：$f(x) = \sin(\pi x)$ について、$\lim_{n \to \infty} f(n)$ と $\lim_{x \to \infty} f(x)$ をそれぞれ調べよ。
解：
$n$ が自然数のとき $\sin(n\pi) = 0$ なので $\lim_{n \to \infty} f(n) = 0$。
しかし一般の実数 $x$ に対しては $\sin(\pi x)$ は $-1$ と $1$ の間で振動し続けるので、$\lim_{x \to \infty} \sin(\pi x)$ は存在しない。
| 比較項目 | 数列の極限 $\lim_{n \to \infty} a_n$ | 関数の極限 $\lim_{x \to \infty} f(x)$ |
|---|---|---|
| 変数の範囲 | 自然数 $n = 1, 2, 3, \ldots$ | 実数 $x$（すべての実数値） |
| 近づく方向 | $n \to \infty$ のみ | $x \to \infty$, $x \to -\infty$, $x \to a^{\pm}$ |
| 最高次で割る手法 | $\frac{a_n}{b_n}$ で $n$ の最高次で割る | $\frac{f(x)}{g(x)}$ で $x$ の最高次で割る |
| $\frac{0}{0}$ 型 | （通常出現しない） | $x \to a$ のときに出現 |
$\lim_{x \to \infty} f(x) = L$ が正しければ、$x = 1, 10, 100, 1000, \ldots$ を代入した値は $L$ に近づくはずです。
例えば $\lim_{x \to \infty} \frac{2x+1}{x+3}$ について、$x = 100$ なら $\frac{201}{103} \approx 1.951$、$x = 1000$ なら $\frac{2001}{1003} \approx 1.995$。
確かに $2$ に近づいています。このような「数値的確認」は答え合わせに有効です。
$\lim_{x \to \infty} f(x) = L$ ならば $y = L$ は $f(x)$ のグラフの水平漸近線です。
例えば $f(x) = \dfrac{2x+1}{x+3}$ は $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = 2$ なので、$y = 2$ が水平漸近線。
漸近線の概念は関数のグラフを描くときに欠かせません。
Q1. $\lim_{x \to \infty} \dfrac{5x - 2}{3x + 1}$ を求めよ。
Q2. $\lim_{x \to \infty} \dfrac{x + 1}{x^3 - 2}$ を求めよ。
Q3. $\lim_{x \to -\infty} (3x^3 + x)$ を求めよ。
Q4. $\lim_{x \to -\infty} \dfrac{\sqrt{x^2 + 4}}{x}$ を求めよ。
Q5. $\lim_{x \to \infty} f(x) = 3$ のとき、$y = 3$ を $f(x)$ のグラフの何というか。
次の極限を求めよ。
(1) $\lim_{x \to \infty} \dfrac{3x^2 - x + 2}{x^2 + 4}$
(2) $\lim_{x \to -\infty} \dfrac{2x + 5}{x^2 - 3}$
(3) $\lim_{x \to \infty} \dfrac{x^3 - 2x}{4x^2 + 1}$
(1) 次数が等しい（ともに2次）。$\dfrac{3 - \frac{1}{x} + \frac{2}{x^2}}{1 + \frac{4}{x^2}} \to \dfrac{3}{1} = 3$
(2) 分子1次 $<$ 分母2次。$\dfrac{\frac{2}{x} + \frac{5}{x^2}}{1 - \frac{3}{x^2}} \to \dfrac{0}{1} = 0$
(3) 分子3次 $>$ 分母2次。$\dfrac{x - \frac{2}{x}}{4 + \frac{1}{x^2}} \to \dfrac{\infty}{4} = +\infty$
次の極限を求めよ。
(1) $\lim_{x \to \infty} \left(\sqrt{x^2 + 4x} - x\right)$
(2) $\lim_{x \to \infty} \dfrac{\sqrt{4x^2 + 1}}{x + 2}$
(1) 有理化：$\dfrac{(x^2+4x)-x^2}{\sqrt{x^2+4x}+x} = \dfrac{4x}{\sqrt{x^2+4x}+x}$
$= \dfrac{4x}{x\sqrt{1+\frac{4}{x}}+x} = \dfrac{4}{\sqrt{1+\frac{4}{x}}+1} \to \dfrac{4}{1+1} = 2$
(2) $x > 0$ で $\sqrt{4x^2+1} = x\sqrt{4+\frac{1}{x^2}}$ なので
$\dfrac{x\sqrt{4+\frac{1}{x^2}}}{x+2} = \dfrac{\sqrt{4+\frac{1}{x^2}}}{1+\frac{2}{x}} \to \dfrac{\sqrt{4}}{1} = 2$
次の極限を求めよ。
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\sqrt{x^2 - 2x} + x\right)$$
$x \to -\infty$ なので $x < 0$ とする。有理化：
$\dfrac{(x^2-2x)-x^2}{\sqrt{x^2-2x}-x} = \dfrac{-2x}{\sqrt{x^2-2x}-x}$
$x < 0$ のとき $\sqrt{x^2-2x} = |x|\sqrt{1-\frac{2}{x}} = -x\sqrt{1-\frac{2}{x}}$ なので
$= \dfrac{-2x}{-x\sqrt{1-\frac{2}{x}}-x} = \dfrac{-2x}{-x(\sqrt{1-\frac{2}{x}}+1)} = \dfrac{2}{\sqrt{1-\frac{2}{x}}+1}$
$x \to -\infty$ で $\frac{2}{x} \to 0$ なので $\to \dfrac{2}{1+1} = 1$
$x \to -\infty$ では $\sqrt{x^2} = -x$（$x < 0$ なので $|x| = -x$）が最大のポイントです。この符号処理を間違えると答えの符号が逆になります。有理化の際は $\sqrt{x^2 - 2x} + x$ を分母に移すため $\sqrt{x^2 - 2x} - x$ を掛けます。
$f(x) = \dfrac{x^2 + 3x - 1}{x + 1}$ について：
(1) $\lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x)}{x}$ を求めよ。
(2) $\lim_{x \to \infty} \{f(x) - (x + 2)\}$ を求めよ。
(3) $f(x)$ のグラフの斜め漸近線の方程式を求めよ。
(1) $\dfrac{f(x)}{x} = \dfrac{x^2 + 3x - 1}{x(x+1)} = \dfrac{x^2 + 3x - 1}{x^2 + x}$
$x^2$ で割ると $\dfrac{1 + \frac{3}{x} - \frac{1}{x^2}}{1 + \frac{1}{x}} \to \dfrac{1}{1} = 1$
(2) まず割り算を行う：$\dfrac{x^2+3x-1}{x+1} = x + 2 + \dfrac{-3}{x+1}$
$f(x) - (x+2) = \dfrac{-3}{x+1} \to 0$（$x \to \infty$）
(3) $\lim_{x \to \infty} \{f(x) - (x+2)\} = 0$ より、$y = x + 2$ が斜め漸近線。
分子の次数が分母の次数より1大きい有理関数は、割り算を実行すると「1次式 + 分数式」の形になります。$x \to \infty$ で分数式が $0$ に収束するので、この1次式が斜め漸近線（oblique asymptote）となります。水平漸近線は次数が等しいときでしたが、斜め漸近線は1次高いときに現れます。