無限級数の中で最も基本的かつ重要なのが「無限等比級数」です。初項 $a$、公比 $r$ の等比数列から作られるこの級数は、$|r| < 1$ のとき収束し、その和は $\dfrac{a}{1-r}$ という美しい公式で表されます。本記事では収束条件の導出から具体的な計算例まで、無限等比級数を徹底的に理解しましょう。
初項 $a$、公比 $r$ の等比数列 $a, ar, ar^2, ar^3, \ldots$ から作られる無限級数
$$a + ar + ar^2 + ar^3 + \cdots = \sum_{n=1}^{\infty} ar^{n-1}$$
を無限等比級数と呼びます。
等比数列の初項から第 $n$ 項までの部分和は：
$$S_n = \sum_{k=1}^{n} ar^{k-1} = \begin{cases} \dfrac{a(1-r^n)}{1-r} & (r \neq 1) \\ na & (r = 1) \end{cases}$$
※ $r \neq 1$ の場合の公式は数学Bで学びました。無限等比級数では、この $S_n$ の $n \to \infty$ の極限を考えます。
無限等比級数は、収束・発散の判定が公比 $r$ だけで完全に決まるという明快さを持ちます。また循環小数の分数表示や図形への応用など、数学のさまざまな場面に登場します。
さらに、テイラー展開や微分方程式の解法など、大学数学への橋渡しとしても極めて重要です。
$a \neq 0$ の場合について、部分和の極限から収束条件を導きます。
$r \neq 1$ のとき、$S_n = \dfrac{a(1-r^n)}{1-r}$
場合1：$|r| < 1$ のとき
$\lim_{n \to \infty} r^n = 0$ であるから、
$$\lim_{n \to \infty} S_n = \frac{a(1-0)}{1-r} = \frac{a}{1-r}$$
よって無限等比級数は収束し、和は $\dfrac{a}{1-r}$。
場合2：$|r| > 1$ のとき
$|r^n| \to \infty$ であるから $S_n$ は発散する。
場合3：$r = 1$ のとき
$S_n = na \to \pm\infty$（$a \neq 0$）であるから発散する。
場合4：$r = -1$ のとき
$S_n = \begin{cases} a & (n \text{ が奇数}) \\ 0 & (n \text{ が偶数}) \end{cases}$ と振動し、発散する。
初項 $a$、公比 $r$ の無限等比級数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} ar^{n-1}$ について：
$a \neq 0$ のとき：
$$|r| < 1 \iff \text{収束し、和は } \frac{a}{1-r}$$
$$|r| \geq 1 \iff \text{発散}$$
$a = 0$ のとき：すべての項が $0$ なので、$r$ の値によらず収束し、和は $0$。
$\dfrac{a}{1-r}$ は「初項を $(1-\text{公比})$ で割る」と覚えましょう。
具体例で確認：$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \cdots$（$a=1, r=\frac{1}{2}$）の和は $\frac{1}{1-\frac{1}{2}} = 2$。
直感的にも $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \cdots$ が $2$ に近づくのは理解できます。
無限等比級数の振る舞いを、公比 $r$ の値ごとに整理します。
| 公比 $r$ の範囲 | $r^n$ の挙動 | $S_n$ の挙動 | 結論 |
|---|---|---|---|
| $-1 < r < 1$（$|r|<1$） | $r^n \to 0$ | $S_n \to \frac{a}{1-r}$ | 収束 |
| $r = 1$ | $r^n = 1$ | $S_n = na \to \pm\infty$ | 発散 |
| $r = -1$ | $r^n$ は $\pm 1$ を交互 | $S_n$ は振動 | 発散（振動） |
| $r > 1$ | $r^n \to +\infty$ | $|S_n| \to \infty$ | 発散 |
| $r < -1$ | $|r^n| \to \infty$（振動） | $S_n$ は振動しつつ発散 | 発散 |
✗ $r = -1$ のとき収束すると誤答する
✓ $r = 1$ も $r = -1$ も発散する。収束条件は $|r| < 1$（等号なし）
特に $r = -1$ のとき $S_n$ が $a$ と $0$ の間を振動するため、収束しそうに見えることがありますが、極限が存在しないため発散です。
問題：次の無限等比級数の収束・発散を調べ、収束する場合は和を求めよ。
(1) $3 + 1 + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{9} + \cdots$ (2) $2 - 3 + \dfrac{9}{2} - \dfrac{27}{4} + \cdots$
解 (1)：初項 $a = 3$、公比 $r = \dfrac{1}{3}$。$|r| = \dfrac{1}{3} < 1$ であるから収束。
和 $= \dfrac{3}{1 - \frac{1}{3}} = \dfrac{3}{\frac{2}{3}} = \dfrac{9}{2}$
解 (2)：初項 $a = 2$、公比 $r = -\dfrac{3}{2}$。$|r| = \dfrac{3}{2} > 1$ であるから発散。
さまざまな形の無限等比級数の計算を練習しましょう。
問題：$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{2}{3}\right)^n$ と $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{2}{3}\right)^n$ の和をそれぞれ求めよ。
解：$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{2}{3}\right)^n = 1 + \frac{2}{3} + \frac{4}{9} + \cdots$
初項 $a = 1$、公比 $r = \frac{2}{3}$。$|r| < 1$ より収束。和 $= \dfrac{1}{1-\frac{2}{3}} = 3$
$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{2}{3}\right)^n = \frac{2}{3} + \frac{4}{9} + \cdots$
初項 $a = \frac{2}{3}$、公比 $r = \frac{2}{3}$。和 $= \dfrac{\frac{2}{3}}{1-\frac{2}{3}} = 2$
✗ 添字の始まりを無視して公式を当てはめる
✓ $n=0$ から始まるときは初項が $a \cdot r^0 = a$、$n=1$ から始まるときは初項が $ar$ であることを確認する
$\sum_{n=0}^{\infty} ar^n = \dfrac{a}{1-r}$、$\sum_{n=1}^{\infty} ar^n = \dfrac{ar}{1-r}$ と区別しましょう。
問題：$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^n + (-2)^n}{5^n}$ の和を求めよ。
解：$\dfrac{3^n + (-2)^n}{5^n} = \left(\dfrac{3}{5}\right)^n + \left(-\dfrac{2}{5}\right)^n$
$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{3}{5}\right)^n = \frac{\frac{3}{5}}{1-\frac{3}{5}} = \frac{3}{2}$ （$|r| = \frac{3}{5} < 1$）
$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\left(-\frac{2}{5}\right)^n = \frac{-\frac{2}{5}}{1+\frac{2}{5}} = \frac{-\frac{2}{5}}{\frac{7}{5}} = -\frac{2}{7}$ （$|r| = \frac{2}{5} < 1$）
よって和 $= \dfrac{3}{2} - \dfrac{2}{7} = \dfrac{21-4}{14} = \dfrac{17}{14}$
一般項が $\dfrac{f(n)}{c^n}$ の形のとき、$f(n)$ を展開して $\left(\frac{\cdot}{c}\right)^n$ の形に分解できないかを考えましょう。それぞれの等比級数が収束すれば、線形性から和を求められます。
無限等比級数が収束するための $r$（または文字定数）の条件を求める問題は入試頻出です。
問題：$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} (x-1)^n$ が収束するような $x$ の範囲を求め、そのときの和を $x$ で表せ。
解：これは初項 $x-1$、公比 $x-1$ の無限等比級数。
収束条件：$|x-1| < 1$ すなわち $-1 < x-1 < 1$、つまり $0 < x < 2$
和 $= \dfrac{x-1}{1-(x-1)} = \dfrac{x-1}{2-x}$
問題：$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} 2^n x^n$ と $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} 3^n x^n$ がともに収束するような $x$ の範囲と、そのときの和の合計を求めよ。
解：第1の級数は公比 $2x$、第2の級数は公比 $3x$。
ともに収束する条件：$|2x| < 1$ かつ $|3x| < 1$
$|x| < \frac{1}{2}$ かつ $|x| < \frac{1}{3}$ より、$|x| < \frac{1}{3}$ すなわち $-\frac{1}{3} < x < \frac{1}{3}$
和の合計 $= \dfrac{2x}{1-2x} + \dfrac{3x}{1-3x} = \dfrac{2x(1-3x) + 3x(1-2x)}{(1-2x)(1-3x)} = \dfrac{5x - 12x^2}{(1-2x)(1-3x)}$
Step 1：級数を等比級数とみて、公比を特定する
Step 2：$|\text{公比}| < 1$ という不等式を立てる
Step 3：不等式を解いて文字定数の範囲を求める
Step 4：求めた範囲のもとで $\frac{a}{1-r}$ に代入して和を計算する
Q1. 無限等比級数 $\sum ar^{n-1}$ が収束するための条件を述べよ（$a \neq 0$）。
Q2. $1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{9} - \frac{1}{27} + \cdots$ の和を求めよ。
Q3. $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n}{3^{n+1}}$ の和を求めよ。
Q4. $\sum_{n=0}^{\infty} x^n$ が収束するための $x$ の範囲と和を求めよ。
Q5. 初項 $5$、公比 $-\frac{2}{5}$ の無限等比級数の和を求めよ。
次の無限等比級数の収束・発散を調べ、収束する場合は和を求めよ。
(1) $(\sqrt{3}-1) + (4-2\sqrt{3}) + (6\sqrt{3}-10) + \cdots$
(2) $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-3)^n}{4^{n-1}}$
(1) 公比 $r = \dfrac{4-2\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1} = \dfrac{2(2-\sqrt{3})}{\sqrt{3}-1}$
有理化：$= \dfrac{2(2-\sqrt{3})(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} = \dfrac{2(2\sqrt{3}+2-3-\sqrt{3})}{2} = \sqrt{3}-1$
$|r| = \sqrt{3}-1 \approx 0.73 < 1$ より収束。
和 $= \dfrac{\sqrt{3}-1}{1-(\sqrt{3}-1)} = \dfrac{\sqrt{3}-1}{2-\sqrt{3}} = \dfrac{(\sqrt{3}-1)(2+\sqrt{3})}{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})} = \dfrac{2\sqrt{3}+3-2-\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3}+1$
(2) 初項 $\frac{-3}{1} = -3$、公比 $r = \frac{-3}{4}$。$|r| = \frac{3}{4} < 1$ より収束。
和 $= \dfrac{-3}{1+\frac{3}{4}} = \dfrac{-3}{\frac{7}{4}} = -\dfrac{12}{7}$
$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(2x-1)^n}{3^n}$ が収束するような $x$ の範囲を求め、そのときの和を $x$ で表せ。
$\dfrac{(2x-1)^n}{3^n} = \left(\dfrac{2x-1}{3}\right)^n$ であるから、公比 $r = \dfrac{2x-1}{3}$。
収束条件：$\left|\dfrac{2x-1}{3}\right| < 1$ すなわち $|2x-1| < 3$
$-3 < 2x - 1 < 3$ より $-1 < x < 2$
初項 $\dfrac{2x-1}{3}$、公比 $\dfrac{2x-1}{3}$ より
和 $= \dfrac{\frac{2x-1}{3}}{1-\frac{2x-1}{3}} = \dfrac{2x-1}{3-(2x-1)} = \dfrac{2x-1}{4-2x}$
初項 $4$ の無限等比級数の和が $3$ であるとき、公比 $r$ を求めよ。また、各項の2乗からなる無限等比級数 $\sum a_n^2$ の和を求めよ。
$\dfrac{4}{1-r} = 3$ より $4 = 3(1-r) = 3 - 3r$、$3r = -1$、$r = -\dfrac{1}{3}$
確認：$|r| = \frac{1}{3} < 1$ ✓
$a_n = 4 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)^{n-1}$ より $a_n^2 = 16 \cdot \left(\frac{1}{9}\right)^{n-1} = 16 \cdot \left(\frac{1}{9}\right)^{n-1}$
$\sum a_n^2$ は初項 $16$、公比 $\frac{1}{9}$ の無限等比級数。$\frac{1}{9} < 1$ より収束。
和 $= \dfrac{16}{1-\frac{1}{9}} = \dfrac{16}{\frac{8}{9}} = 18$
$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{3^n}$ の和を求めよ。
$S = \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{3^n} = \frac{1}{3} + \frac{2}{9} + \frac{3}{27} + \frac{4}{81} + \cdots$ とおく。
$\frac{1}{3}S = \frac{1}{9} + \frac{2}{27} + \frac{3}{81} + \cdots$
$S - \frac{1}{3}S = \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{27} + \frac{1}{81} + \cdots$
$\frac{2}{3}S = \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{3^n} = \frac{\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{3}} = \frac{1}{2}$
$S = \dfrac{3}{4}$
$\sum n \cdot r^n$ 型は「$rS$ を作ってずらして引く」方法（数学Bで学んだ等差 $\times$ 等比型の手法）を使います。引き算の結果、$n$ の部分が消えて純粋な等比級数が現れるのがポイントです。無限級数の場合、$|r|<1$ であれば $S_n$ の各項の極限を直接取ることができます。