この記事は第7章「積分法」の集大成です。不定積分・定積分の計算から、面積・体積・区分求積法まで、積分法の全範囲を横断する総合問題に取り組みます。入試本番を想定し、計算力・思考力・答案作成力を総合的に鍛えましょう。
積分の計算は入試の基本中の基本です。ここでは、さまざまなタイプの関数の積分を総合的に復習します。
べき関数：$\displaystyle \int x^n\, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$（$n \neq -1$）
線形置換：$\displaystyle \int (ax+b)^n\, dx = \frac{(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)} + C$（$a \neq 0$, $n \neq -1$）
定積分の基本定理：$\displaystyle \int_a^b f(x)\, dx = F(b) - F(a)$（$F'(x) = f(x)$）
※ 数学IIの範囲では多項式関数の積分が中心です。
例1：$\int (3x^2 - 4x + 1)\, dx = x^3 - 2x^2 + x + C$
例2：$\int (2x+1)^3\, dx = \frac{(2x+1)^4}{8} + C$
例3：$\int (x+1)(x-2)\, dx = \int (x^2 - x - 2)\, dx = \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} - 2x + C$
例4：$\int (x^2 + 1)^2\, dx = \int (x^4 + 2x^2 + 1)\, dx = \frac{x^5}{5} + \frac{2x^3}{3} + x + C$
例5：$\displaystyle \int_0^2 (x^3 - 3x)\, dx = \left[\frac{x^4}{4} - \frac{3x^2}{2}\right]_0^2 = 4 - 6 = -2$
例6：$\displaystyle \int_{-1}^1 (x^4 - x^2)\, dx$
$f(x) = x^4 - x^2$ は偶関数なので $= 2\int_0^1 (x^4 - x^2)\, dx = 2\left[\frac{x^5}{5} - \frac{x^3}{3}\right]_0^1 = 2\left(\frac{1}{5} - \frac{1}{3}\right) = -\frac{4}{15}$
例7：$\displaystyle \int_{-2}^2 (x^3 + x)\, dx$
$f(x) = x^3 + x$ は奇関数なので $= 0$
偶関数（$f(-x) = f(x)$）：$\displaystyle \int_{-a}^a f(x)\, dx = 2\int_0^a f(x)\, dx$
奇関数（$f(-x) = -f(x)$）：$\displaystyle \int_{-a}^a f(x)\, dx = 0$
対称区間 $[-a, a]$ での定積分は、偶奇性を判定するだけで計算量が半分（または不要）になります。
✗ $\int (x+1)^2\, dx$ をそのまま $\frac{(x+1)^3}{3} + C$ とする
✓ $\frac{(x+1)^3}{3} + C$ は正しい（$(ax+b)^n$ の線形置換で $a = 1$）
ただし、$\int x(x+1)^2\, dx$ のような場合はまず展開が必要です：
$\int x(x^2+2x+1)\, dx = \int (x^3+2x^2+x)\, dx = \frac{x^4}{4} + \frac{2x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + C$
「定積分で表された関数」を求める問題は入試の頻出テーマです。$\int_0^x f(t)\, dt$ の形で与えられた関数を扱います。
$\displaystyle F(x) = \int_a^x f(t)\, dt$ とおくと
$$F'(x) = f(x)$$
これは微分積分学の基本定理そのものです。
※ 積分変数は $t$（ダミー変数）、$x$ は上端として扱います。
問題：$f(x) = x^2 + \int_0^1 f(t)\, dt$ を満たす関数 $f(x)$ を求めよ。
解法：$\int_0^1 f(t)\, dt$ は定数（$x$ に依存しない）なので $a = \int_0^1 f(t)\, dt$ とおく。
$f(x) = x^2 + a$ より
$$a = \int_0^1 (t^2 + a)\, dt = \left[\frac{t^3}{3} + at\right]_0^1 = \frac{1}{3} + a$$
$a = \frac{1}{3} + a$ は矛盾？ ... いいえ、計算を確認します。
$a = \frac{1}{3} + a$ からは $0 = \frac{1}{3}$ となり矛盾です。問題を修正して考えましょう。
問題：$f(x) = x^2 + 2\int_0^1 tf(t)\, dt$ を満たす関数 $f(x)$ を求めよ。
解法：$a = \int_0^1 tf(t)\, dt$ とおくと $f(x) = x^2 + 2a$。
$$a = \int_0^1 t(t^2 + 2a)\, dt = \int_0^1 (t^3 + 2at)\, dt = \left[\frac{t^4}{4} + at^2\right]_0^1 = \frac{1}{4} + a$$
$a = \frac{1}{4} + a$ ... これも矛盾。さらに修正します。
問題：$f(x) = x + \int_0^1 xf(t)\, dt$ を満たす関数 $f(x)$ を求めよ。
解法：$a = \int_0^1 f(t)\, dt$ とおくと $f(x) = x + ax = (1 + a)x$。
$$a = \int_0^1 (1+a)t\, dt = (1+a)\left[\frac{t^2}{2}\right]_0^1 = \frac{1+a}{2}$$
$a = \frac{1+a}{2}$ より $2a = 1 + a$、$a = 1$。
よって $f(x) = 2x$。
検算：$\int_0^1 xf(t)\, dt = x\int_0^1 2t\, dt = x \cdot 1 = x$。$f(x) = x + x = 2x$ ✓
基本戦略：定積分の部分は定数なので、文字（$a$, $b$ など）でおく。
$f(x)$ を $a$, $b$ を含む式で表し、その $f(x)$ を元の定積分に代入して $a$, $b$ の連立方程式を解く。
定積分が2種類あれば未知数2つ、1種類なら未知数1つの方程式になります。
$\int_0^1 f(t)\, dt$ は定数です（$x$ を含まない）。
$\int_0^1 xf(t)\, dt = x\int_0^1 f(t)\, dt$ は $x$ の1次式です（$x$ を外に出せる）。
$\int_0^x f(t)\, dt$ は $x$ の関数です（上端が $x$）。
これらの区別を正確にすることが、定積分を含む方程式を解く第一歩です。
面積計算は積分法の最も重要な応用です。ここでは複雑な図形の面積や、パラメータを含む問題を総合的に扱います。
曲線と $x$ 軸：$S = \int_a^b |f(x)|\, dx$
2曲線の間：$S = \int_a^b |f(x) - g(x)|\, dx$
$\frac{1}{6}$ 公式：$y = a(x-\alpha)(x-\beta)$ と $x$ 軸 → $S = \frac{|a|}{6}(\beta - \alpha)^3$
$\frac{1}{6}$ 公式（2曲線）：$f(x) - g(x) = a(x-\alpha)(x-\beta)$ → $S = \frac{|a|}{6}(\beta - \alpha)^3$
$\frac{1}{12}$ 公式：3次関数 $f(x) = a(x-\alpha)^2(x-\beta)$ と接線 → $S = \frac{|a|}{12}|\beta - \alpha|^4$
問題：$y = x^2$ と $y = -x^2 + 4x$ で囲まれた部分の面積を求めよ。
交点：$x^2 = -x^2 + 4x$ より $2x^2 - 4x = 0$、$2x(x-2) = 0$、$x = 0, 2$。
$[0, 2]$ で $-x^2 + 4x \geq x^2$（$\because -2x^2 + 4x = -2x(x-2) \geq 0$）
$$S = \int_0^2 \{(-x^2 + 4x) - x^2\}\, dx = \int_0^2 (-2x^2 + 4x)\, dx$$
$$= \left[-\frac{2x^3}{3} + 2x^2\right]_0^2 = -\frac{16}{3} + 8 = \frac{8}{3}$$
$\frac{1}{6}$ 公式でも：$-2x^2 + 4x = -2x(x-2)$ で $S = \frac{2}{6}(2-0)^3 = \frac{8}{3}$ ✓
問題：放物線 $y = x^2$ と直線 $y = mx$（$m > 0$）で囲まれた部分の面積を $m$ の式で表せ。
交点：$x^2 = mx$ より $x(x - m) = 0$、$x = 0, m$。
$[0, m]$ で $mx \geq x^2$。$\frac{1}{6}$ 公式：
$$S = \frac{1}{6}(m - 0)^3 = \frac{m^3}{6}$$
✗ 3次関数と直線の面積に $\frac{1}{6}$ 公式を使う
✓ $\frac{1}{6}$ 公式は差が2次式のときのみ使える。3次関数と直線の差は3次式になるので使えない
公式を使う前に、$f(x) - g(x)$ の次数を確認しましょう。2次式なら $\frac{1}{6}$ 公式、それ以外は地道に計算。
回転体の体積と区分求積法は、定積分の応用として重要なテーマです。ここでは両者を組み合わせた総合問題を扱います。
曲線 $y = f(x)$（$f(x) \geq 0$）と $x$ 軸、$x = a$, $x = b$ で囲まれた図形を $x$ 軸のまわりに回転させた回転体の体積は：
$$V = \pi\int_a^b \{f(x)\}^2\, dx$$
※ 断面が半径 $f(x)$ の円なので、断面積 $= \pi\{f(x)\}^2$ を積分します。
例1：$y = x^2$（$0 \leq x \leq 1$）を $x$ 軸まわりに回転させた体積
$V = \pi\int_0^1 (x^2)^2\, dx = \pi\int_0^1 x^4\, dx = \pi\left[\frac{x^5}{5}\right]_0^1 = \frac{\pi}{5}$
例2：$y = \sqrt{x}$（$0 \leq x \leq 4$）を $x$ 軸まわりに回転させた体積
$V = \pi\int_0^4 (\sqrt{x})^2\, dx = \pi\int_0^4 x\, dx = \pi\left[\frac{x^2}{2}\right]_0^4 = 8\pi$
$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} f\!\left(\frac{k}{n}\right) = \int_0^1 f(x)\, dx$$
より一般的に：$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1} f\!\left(\frac{k}{n}\right) = \int_0^1 f(x)\, dx$
※ 和の極限を定積分に変換する公式です。$\frac{k}{n} \to x$, $\frac{1}{n} \to dx$ と対応づけます。
例1：$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} \frac{k}{n}$
$= \int_0^1 x\, dx = \left[\frac{x^2}{2}\right]_0^1 = \frac{1}{2}$
例2：$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} \left(\frac{k}{n}\right)^2$
$= \int_0^1 x^2\, dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^1 = \frac{1}{3}$
例3：$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n+k}$
$= \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{1+\frac{k}{n}} = \int_0^1 \frac{1}{1+x}\, dx = [\log(1+x)]_0^1 = \log 2$
次のような形の極限は区分求積法で解けます：
$\displaystyle \frac{1}{n}\sum_{k=?}^{?} (\frac{k}{n}$ の式$)$ → $\int$ に変換
$\frac{1}{n}$ が外に出ない場合も、$\frac{1}{n}$ の形を作れないか工夫しましょう。
回転体の体積公式 $V = \pi\int_a^b \{f(x)\}^2\, dx$ は、まさに区分求積法の考え方に基づいています。
厚さ $\Delta x$ の薄い円板の体積 $\pi\{f(x_k)\}^2 \Delta x$ を足し合わせ、$\Delta x \to 0$ の極限をとったものが回転体の体積です。
このように「微小な量を足し合わせる」という積分の本質は、面積でも体積でも同じです。
入試では、積分法の問題は計算量が多くなりがちです。時間配分を意識して効率よく解くための戦略を確認しましょう。
計算問題（不定積分・定積分）：1問あたり3~5分
面積の問題：1問あたり8~12分（交点の計算 + 積分）
融合問題（微分+積分）：1問あたり12~15分
体積・区分求積法：1問あたり10~15分
| 場面 | チェック項目 | 使える公式・技法 |
|---|---|---|
| 2曲線の面積 | 差が2次式か？ | 2次式なら $\frac{1}{6}$ 公式 |
| 対称区間の定積分 | 被積分関数は偶関数？奇関数？ | 偶 → 2倍、奇 → 0 |
| 定積分を含む方程式 | 定積分は定数か関数か？ | 定数なら文字でおく |
| 和の極限 | $\frac{1}{n}\sum$ の形にできるか？ | 区分求積法で $\int$ に変換 |
| 回転体の体積 | 回転軸はどれか？ | $V = \pi\int \{f(x)\}^2\, dx$ |
1. 検算を組み込む：不定積分を求めたら、微分して元に戻るか確認。$\frac{1}{6}$ 公式の結果は直接計算でも検算。
2. 符号の確認：面積は必ず正。途中で負の値が出たら上下関係を再確認。
3. 次元チェック：面積の単位は（長さ）$^2$、体積は（長さ）$^3$。式の次元が合っているか確認。
✗ 面積の計算で交点を間違え、以降の計算がすべて無駄に
✓ 交点の計算は面積問題の「土台」。ここに時間をかけても正確に求める
✗ 区分求積法で $\sum$ の範囲（$k=0$ から？$k=1$ から？）を間違えた
✓ $n \to \infty$ では $k=0$ でも $k=1$ でも結果は同じだが、解答では明記する
Q1. $\int (x+2)(x-3)\, dx$ を求めよ。
Q2. $\displaystyle \int_{-1}^1 (x^3 - 2x)\, dx$ の値を求めよ。
Q3. $y = x^2$ を $x$ 軸まわりに回転（$0 \leq x \leq 2$）させた体積を求めよ。
Q4. $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} \left(\frac{k}{n}\right)^3$ を定積分で表し、値を求めよ。
Q5. $f(x) = 2x + \int_0^1 f(t)\, dt$ を満たす $f(x)$ を求めよ。
次の定積分を計算せよ。
(1) $\displaystyle \int_1^3 (2x^2 - 3x + 1)\, dx$
(2) $\displaystyle \int_{-2}^2 (x^4 - 3x^2 + 2)\, dx$
(1) $\left[\frac{2x^3}{3} - \frac{3x^2}{2} + x\right]_1^3 = \left(18 - \frac{27}{2} + 3\right) - \left(\frac{2}{3} - \frac{3}{2} + 1\right)$
$= \frac{15}{2} - \frac{1}{6} = \frac{45 - 1}{6} = \frac{22}{3}$
(2) $f(x) = x^4 - 3x^2 + 2$ は偶関数。
$= 2\int_0^2 (x^4 - 3x^2 + 2)\, dx = 2\left[\frac{x^5}{5} - x^3 + 2x\right]_0^2 = 2\left(\frac{32}{5} - 8 + 4\right) = 2 \cdot \frac{12}{5} = \frac{24}{5}$
放物線 $y = x^2 - 2x$ と直線 $y = x - 2$ で囲まれた部分の面積を求めよ。
交点：$x^2 - 2x = x - 2$ より $x^2 - 3x + 2 = (x-1)(x-2) = 0$、$x = 1, 2$。
$[1, 2]$ で $(x-2) - (x^2-2x) = -(x^2-3x+2) = -(x-1)(x-2) \geq 0$ なので直線が上。
$\frac{1}{6}$ 公式：差 $= -(x-1)(x-2)$ で $a = -1$。
$$S = \frac{|-1|}{6}(2-1)^3 = \frac{1}{6}$$
直接計算でも確認：$S = \int_1^2 \{(x-2) - (x^2-2x)\}\, dx = \int_1^2 (-x^2+3x-2)\, dx = \left[-\frac{x^3}{3}+\frac{3x^2}{2}-2x\right]_1^2 = (-\frac{8}{3}+6-4)-(-\frac{1}{3}+\frac{3}{2}-2) = -\frac{2}{3} - (-\frac{5}{6}) = \frac{1}{6}$ ✓
$f(x) = x^2 - 2x + \int_0^2 f(t)\, dt$ を満たす関数 $f(x)$ を求め、$\int_0^2 f(x)\, dx$ の値を求めよ。
$a = \int_0^2 f(t)\, dt$ とおくと $f(x) = x^2 - 2x + a$。
$a = \int_0^2 (t^2 - 2t + a)\, dt = \left[\frac{t^3}{3} - t^2 + at\right]_0^2 = \frac{8}{3} - 4 + 2a = -\frac{4}{3} + 2a$
$a = -\frac{4}{3} + 2a$ より $-a = -\frac{4}{3}$、$a = \frac{4}{3}$。
よって $f(x) = x^2 - 2x + \frac{4}{3}$、$\int_0^2 f(x)\, dx = \frac{4}{3}$。
以下の問に答えよ。
(1) 曲線 $y = x - x^2$ と $x$ 軸で囲まれた部分を $x$ 軸のまわりに回転させた立体の体積 $V$ を求めよ。
(2) $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} \left\{\frac{k}{n} - \left(\frac{k}{n}\right)^2\right\}^2$ の値を求めよ。
(1) $x - x^2 = x(1-x) = 0$ で $x = 0, 1$。$[0, 1]$ で $x - x^2 \geq 0$。
$V = \pi\int_0^1 (x - x^2)^2\, dx = \pi\int_0^1 (x^2 - 2x^3 + x^4)\, dx$
$= \pi\left[\frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{2} + \frac{x^5}{5}\right]_0^1 = \pi\left(\frac{1}{3} - \frac{1}{2} + \frac{1}{5}\right) = \pi \cdot \frac{10 - 15 + 6}{30} = \frac{\pi}{30}$
(2) $f(x) = (x - x^2)^2 = x^2 - 2x^3 + x^4$ として
$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} f\!\left(\frac{k}{n}\right) = \int_0^1 f(x)\, dx = \int_0^1 (x^2 - 2x^3 + x^4)\, dx = \frac{1}{30}$$
（(1)の計算で $\pi$ を除いた値に等しい）
(1) と (2) は本質的に同じ計算です。(2) の和の極限は区分求積法により $\int_0^1 (x-x^2)^2\, dx$ に変換され、これは (1) の体積を $\pi$ で割ったものです。このように、体積の問題と区分求積法の問題は密接に関連しています。