入試では、積分法が単独で問われることは少なく、微分法・方程式・不等式などと組み合わせた融合問題として出題されます。ここでは、接線と面積、面積条件からのパラメータ決定、グラフの増減と面積、不等式の証明など、複数の分野を横断する問題の解き方を学びます。
微分法と積分法は表裏一体の関係にあります。入試問題では「接線の方程式を求めてから面積を計算する」という流れが頻出です。
典型的な出題の流れ：
Step 1: 曲線 $y = f(x)$ 上の点における接線の方程式を求める（微分法）
Step 2: 曲線と接線で囲まれた部分の面積を求める（積分法）
※ 接線の方程式：点 $(a, f(a))$ における接線は $y = f'(a)(x - a) + f(a)$
問題：放物線 $y = x^2$ 上の点 $(1, 1)$ における接線と、放物線で囲まれた部分の面積を求めよ。
Step 1（微分）： $y' = 2x$ より、$x = 1$ での接線の傾きは $2$。
接線の方程式：$y = 2(x - 1) + 1 = 2x - 1$
Step 2（交点）： $x^2 = 2x - 1$ より $x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2 = 0$。
接点 $x = 1$ は重解（接線なので当然）。放物線の他の点との交点が必要です。
この場合、接線は放物線に1点でしか接しないため、「囲まれた部分」は存在しません。別の設定を考えましょう。
問題：放物線 $y = x^2$ に点 $(0, -1)$ から引いた2本の接線と放物線で囲まれた部分の面積を求めよ。
Step 1（接線の方程式）：接点を $(t, t^2)$ とすると、接線は $y = 2t(x - t) + t^2 = 2tx - t^2$。
これが $(0, -1)$ を通るから $-1 = -t^2$、すなわち $t^2 = 1$、$t = \pm 1$。
2本の接線：$y = 2x - 1$ と $y = -2x - 1$
Step 2（面積計算）：対称性より、$y$ 軸について左右対称。$x \geq 0$ の部分を2倍します。
$x \geq 0$ では接線 $y = 2x - 1$ と放物線 $y = x^2$ で囲まれた部分。
$x^2 = 2x - 1$ の解は $x = 1$（重解）。$x^2 = -2x - 1$ の解は $x = -1$（重解）。
2本の接線の交点は $2x - 1 = -2x - 1$ より $x = 0$, $y = -1$。
$S = 2\int_0^1 \{(2x-1) - x^2\}\, dx \cdot (-1)$... ここは $[0, 1]$ で $x^2 \geq 2x - 1$ なので：
$S = 2\int_0^1 (x^2 - 2x + 1)\, dx = 2\int_0^1 (x-1)^2\, dx = 2\left[\frac{(x-1)^3}{3}\right]_0^1 = 2\left(0 + \frac{1}{3}\right) = \frac{2}{3}$
微分で求めるもの：接線の方程式、極値、増減表
積分で求めるもの：面積、定積分の値
融合問題では、まず微分を使って図形の「形」（交点・接点・極値）を確定させ、次に積分で「量」（面積）を計算するという流れが基本です。
3次関数では「極値を求める → グラフを描く → 面積を計算する」という流れも重要です。
問題：$f(x) = x^3 - 3x$ の極大値と極小値を求め、曲線 $y = f(x)$ と直線 $y = 0$ で囲まれた部分の面積の和を求めよ。
Step 1（微分で極値）：$f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x+1)(x-1) = 0$ で $x = -1, 1$。
極大値：$f(-1) = -1 + 3 = 2$、極小値：$f(1) = 1 - 3 = -2$
Step 2（$x$ 軸との交点）：$x^3 - 3x = x(x^2-3) = 0$ で $x = 0, \pm\sqrt{3}$。
Step 3（面積）：奇関数の対称性より
$S = 2\int_0^{\sqrt{3}} |x^3 - 3x|\, dx = 2\int_0^{\sqrt{3}} (3x - x^3)\, dx$
$= 2\left[\frac{3x^2}{2} - \frac{x^4}{4}\right]_0^{\sqrt{3}} = 2\left(\frac{9}{2} - \frac{9}{4}\right) = 2 \cdot \frac{9}{4} = \frac{9}{2}$
「面積が与えられた値になるようにパラメータを定めよ」という逆問題は入試の定番です。面積の式を立て、それを方程式として解きます。
基本的な手順：
Step 1: パラメータを含む面積の式 $S(a)$ を立てる
Step 2: $S(a) = (\text{与えられた値})$ を方程式として解く
Step 3: パラメータの条件（範囲・正負など）を確認する
問題：放物線 $y = x^2$ と直線 $y = ax$（$a > 0$）で囲まれた部分の面積が $\frac{4}{3}$ であるとき、$a$ の値を求めよ。
Step 1（交点）：$x^2 = ax$ より $x(x - a) = 0$、$x = 0, a$。
Step 2（面積の式）：$[0, a]$ で $ax \geq x^2$ より
$$S = \int_0^a (ax - x^2)\, dx = \left[\frac{ax^2}{2} - \frac{x^3}{3}\right]_0^a = \frac{a^3}{2} - \frac{a^3}{3} = \frac{a^3}{6}$$
Step 3（方程式を解く）：$\frac{a^3}{6} = \frac{4}{3}$ より $a^3 = 8$、$a = 2$。
問題：放物線 $y = 4 - x^2$ と $x$ 軸で囲まれた部分を、直線 $y = k$（$0 < k < 4$）が2つの領域に分ける。上側と下側の面積が等しくなるように $k$ の値を定めよ。
全体の面積：$x^2 = 4$ で $x = \pm 2$。$S_{\text{全}} = \frac{1}{6} \cdot 1 \cdot (2 - (-2))^3 = \frac{32}{3}$
下側の面積（$y = k$ より下）：$4 - x^2 = k$ のとき $x = \pm\sqrt{4-k}$。
$$S_{\text{下}} = \int_{-\sqrt{4-k}}^{\sqrt{4-k}} \{(4-x^2) - k\}\, dx \cdot (-1) + k \cdot 2\sqrt{4-k}$$
... これは複雑なので、別のアプローチを使います。下側の面積を直接計算します。
$S_{\text{下}} = \int_{-\sqrt{4-k}}^{\sqrt{4-k}} k\, dx - \int_{-\sqrt{4-k}}^{\sqrt{4-k}} \{-(4-x^2)\}\, dx$
ここで、下側は放物線と直線 $y = k$ で囲まれた部分から、$x$ 軸より下の部分を除いた領域です。
簡潔に考え直すと、上側の面積は放物線と $y = k$ で囲まれた部分：
$$S_{\text{上}} = \int_{-\sqrt{4-k}}^{\sqrt{4-k}} \{(4-x^2) - k\}\, dx = \int_{-\sqrt{4-k}}^{\sqrt{4-k}} \{(4-k) - x^2\}\, dx$$
$h = \sqrt{4-k}$ とおくと $4 - k = h^2$ で
$$S_{\text{上}} = 2\int_0^{h} (h^2 - x^2)\, dx = 2\left[h^2 x - \frac{x^3}{3}\right]_0^{h} = 2\left(h^3 - \frac{h^3}{3}\right) = \frac{4h^3}{3}$$
$S_{\text{上}} = \frac{S_{\text{全}}}{2} = \frac{16}{3}$ より $\frac{4h^3}{3} = \frac{16}{3}$、$h^3 = 4$、$h = \sqrt[3]{4}$。
$k = 4 - h^2 = 4 - (\sqrt[3]{4})^2 = 4 - \sqrt[3]{16}$
✗ 面積の方程式を解いて $a = -2$ を得たが、条件 $a > 0$ を確認しなかった
✓ 必ず問題文のパラメータの条件を最後に確認する
面積を使った方程式は3次方程式になることが多く、複数の解が出ます。問題の条件に合う解だけを選びましょう。
3次関数のグラフの形状を増減表で把握し、そこから面積計算に進む問題は大学入試の王道パターンです。
Step 1：$f'(x) = 0$ を解いて極値の $x$ 座標を求める
Step 2：増減表を作成し、グラフの概形を描く
Step 3：$f(x) = 0$ を解いて $x$ 軸との交点を求める
Step 4：区間を正負で分割し、面積を計算する
問題：$f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x$ について、極値を求め、曲線 $y = f(x)$ と $x$ 軸で囲まれた2つの部分の面積の和を求めよ。
Step 1：$f'(x) = 3x^2 - 6x + 2 = 0$ で $x = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{6} = 1 \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$
Step 2：$f(x) = x(x-1)(x-2) = 0$ で $x = 0, 1, 2$。
$[0, 1]$ で $f(x) \geq 0$、$[1, 2]$ で $f(x) \leq 0$。
Step 3（面積計算）：$F(x) = \frac{x^4}{4} - x^3 + x^2$ として
$F(0) = 0$, $F(1) = \frac{1}{4} - 1 + 1 = \frac{1}{4}$, $F(2) = 4 - 8 + 4 = 0$
$$S = (F(1) - F(0)) - (F(2) - F(1)) = \frac{1}{4} - \left(-\frac{1}{4}\right) = \frac{1}{2}$$
$f(x) = a(x - \alpha)(x - \beta)(x - \gamma)$（$\alpha < \beta < \gamma$）と $x$ 軸で囲まれた2つの部分の面積について：
$[\alpha, \beta]$ の部分と $[\beta, \gamma]$ の部分は、一般には面積が異なります。
ただし、$\beta - \alpha = \gamma - \beta$（等間隔）のときは2つの面積が等しくなります。
※ これは $f(x)$ が $x = \beta$ に関して反対称になるためです。
$f(x) = x(x-1)(x-2)$ のように零点が等間隔の場合、$x = 1$ に関して $f(1-t) = -f(1+t)$ が成り立ちます。
このとき $[0, 1]$ の面積と $[1, 2]$ の面積は等しいので、片方を計算して2倍すれば十分です。
入試ではこの対称性に気づけるかどうかが時間短縮のカギです。
定積分を面積として視覚的に捉えることで、不等式を証明できる場合があります。これは数学的に美しいだけでなく、入試でも出題される重要なテーマです。
$[a, b]$ で $f(x) \geq g(x)$ ならば
$$\int_a^b f(x)\, dx \geq \int_a^b g(x)\, dx$$
これは「上にあるグラフの方が面積が大きい」という直感的な事実です。
問題：$0 \leq x \leq 1$ のとき $x^2 \leq x$ であることを利用して、$\int_0^1 x^2\, dx \leq \int_0^1 x\, dx$ を示し、$\frac{1}{3} \leq \frac{1}{2}$ を確認せよ。
証明：$[0, 1]$ で $0 \leq x \leq 1$ より $x^2 \leq x$（両辺に $x$ を掛けても不等号の向きは変わらない）。
定積分の不等式より $\int_0^1 x^2\, dx \leq \int_0^1 x\, dx$。
左辺 $= \frac{1}{3}$、右辺 $= \frac{1}{2}$。確かに $\frac{1}{3} \leq \frac{1}{2}$。$\square$
問題：$n$ を自然数とする。$\frac{1}{n+1} < \int_0^1 x^n\, dx < 1$ を面積の観点から説明せよ。
解答：$[0, 1]$ において $0 < x^n < 1$（$0 < x < 1$ のとき）。
$y = 0$ と $y = x^n$ と $y = 1$ の大小関係から：
$$0 < \int_0^1 x^n\, dx < \int_0^1 1\, dx = 1$$
実際に $\int_0^1 x^n\, dx = \frac{1}{n+1}$ なので、$0 < \frac{1}{n+1} < 1$ が成り立ちます。
面積の観点では、$y = x^n$ のグラフは $n$ が大きいほど $x$ 軸に近づくため、面積 $\frac{1}{n+1}$ は小さくなります。
不等式の証明に面積を使うアイデアは、以下の3つのステップで考えます：
1. 示したい不等式を定積分の形に翻訳する
2. 被積分関数の大小関係をグラフから読み取る
3. 定積分の大小関係（面積の大小）として結論を導く
融合問題を解くには、問題文を正確に読み取り、どの道具（微分・積分・方程式）をどの順番で使うかを見極める力が必要です。
Step 1：問題の分析
・「求めよ」が何かを確認（面積？パラメータ？極値？）
・与えられた条件を整理する
Step 2：道具の選択
・接線 → 微分法（$f'(a)$ で傾き）
・面積 → 積分法（$\int$ で計算）
・パラメータ決定 → 方程式を解く
Step 3：答案の構成
・小問の誘導に従って段階的に解く
・図を描いて視覚的に確認する
| 問題文のキーワード | 使う道具 | 典型的な操作 |
|---|---|---|
| 「接線」「傾き」 | 微分法 | $f'(a)$ を計算 |
| 「極値」「増減」 | 微分法 | $f'(x) = 0$ を解く |
| 「面積」「囲まれた」 | 積分法 | $\int$ で面積計算 |
| 「面積が...のとき」 | 積分＋方程式 | $S(a) = (\text{値})$ を解く |
| 「...を示せ」（不等式） | 積分＋不等式 | $f(x) \geq g(x)$ の利用 |
小問がある場合：前の小問の結果が次の小問のヒントになっています。(1) で接線を求め、(2) で面積を求めるという誘導が典型です。
図を活用：融合問題では、グラフの概形を描くだけで方針が見えることが多いです。交点の位置関係やグラフの上下関係を確認しましょう。
計算の工夫：$\frac{1}{6}$ 公式や $\frac{1}{12}$ 公式が使えないか常にチェック。使えると計算量が激減します。
✗ 面積を求める際、上下関係を確認せずに積分した
✓ 必ず「上の曲線 $-$ 下の曲線」の順で被積分関数を設定
✗ 接線の方程式で $f'(x)$ のまま代入（$x$ を残してしまった）
✓ 接線の傾きは $f'(a)$（数値）であり、$f'(x)$（関数）ではない
Q1. 曲線 $y = x^2$ 上の点 $(2, 4)$ における接線の方程式を求めよ。
Q2. 放物線 $y = x^2$ と直線 $y = 2x$ で囲まれた部分の面積を求めよ。
Q3. 放物線 $y = x^2$ と直線 $y = kx$（$k > 0$）で囲まれた面積が $\frac{9}{2}$ のとき $k$ を求めよ。
Q4. $[0, 1]$ で $x^3 \leq x^2$ が成り立つことを利用して、$\int_0^1 x^3\, dx$ と $\int_0^1 x^2\, dx$ の大小を述べよ。
Q5. 融合問題で「接線」「面積」の2つが問われている場合、一般的にどちらを先に求めるべきか、理由とともに答えよ。
放物線 $y = x^2$ と、この放物線上の点 $(1, 1)$ における接線、および $y$ 軸で囲まれた部分の面積を求めよ。
$y' = 2x$ より、$x = 1$ における接線は $y = 2(x - 1) + 1 = 2x - 1$。
接線と $y$ 軸の交点：$x = 0$ のとき $y = -1$。
接線と放物線の交点：$x^2 = 2x - 1$ より $(x-1)^2 = 0$、$x = 1$（接点）。
放物線と $y$ 軸：$x = 0$ のとき $y = 0$。
$[0, 1]$ で $x^2 \geq 2x - 1$（$\because (x-1)^2 \geq 0$）より
$$S = \int_0^1 \{x^2 - (2x - 1)\}\, dx = \int_0^1 (x - 1)^2\, dx = \left[\frac{(x-1)^3}{3}\right]_0^1 = 0 - \left(-\frac{1}{3}\right) = \frac{1}{3}$$
放物線 $y = x^2 - 2ax + a$（$a > 0$）と $x$ 軸で囲まれた部分の面積が $\frac{32}{3}$ であるとき、$a$ の値を求めよ。
$f(x) = x^2 - 2ax + a$ の判別式 $D = 4a^2 - 4a = 4a(a - 1)$。
$a > 1$ のとき $D > 0$ で $x$ 軸と2点で交わる。
$x$ 軸との交点：$x = a \pm \sqrt{a^2 - a} = a \pm \sqrt{a(a-1)}$
$\frac{1}{6}$ 公式：$S = \frac{1}{6}(2\sqrt{a(a-1)})^3 = \frac{1}{6} \cdot 8(a(a-1))^{3/2} = \frac{4}{3}(a(a-1))^{3/2}$
$\frac{4}{3}(a(a-1))^{3/2} = \frac{32}{3}$ より $(a(a-1))^{3/2} = 8$、$a(a-1) = 4$。
$a^2 - a - 4 = 0$ で $a = \frac{1 + \sqrt{17}}{2}$（$a > 0$ より）。
放物線が $x$ 軸と交わる条件 $D > 0$ すなわち $a > 1$ を最初に確認することが重要です。$(a(a-1))^{3/2} = 8$ の両辺を $\frac{2}{3}$ 乗して $a(a-1) = 8^{2/3} = 4$ を得ます。
$f(x) = -x^3 + 3x$ について、以下の問に答えよ。
(1) $f(x)$ の極値を求めよ。
(2) 曲線 $y = f(x)$ と $x$ 軸で囲まれた部分の面積の和を求めよ。
(1) $f'(x) = -3x^2 + 3 = -3(x+1)(x-1) = 0$ で $x = -1, 1$。
$f(-1) = 1 - 3 = -2$（極小値）、$f(1) = -1 + 3 = 2$（極大値）。
(2) $f(x) = -x(x^2-3) = -x(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3}) = 0$ で $x = 0, \pm\sqrt{3}$。
$f(x)$ は奇関数なので、$[-\sqrt{3}, 0]$ と $[0, \sqrt{3}]$ の面積は等しい。
$$S = 2\int_0^{\sqrt{3}} (-x^3 + 3x)\, dx = 2\left[-\frac{x^4}{4} + \frac{3x^2}{2}\right]_0^{\sqrt{3}}$$
$$= 2\left(-\frac{9}{4} + \frac{9}{2}\right) = 2 \cdot \frac{9}{4} = \frac{9}{2}$$
曲線 $C: y = x^3 - x$ 上の点 $\mathrm{P}(t, t^3 - t)$ における接線 $\ell$ が、曲線 $C$ と $\mathrm{P}$ 以外の点 $\mathrm{Q}$ で交わるとする。
(1) 点 $\mathrm{Q}$ の $x$ 座標を $t$ を用いて表せ。
(2) 曲線 $C$ と接線 $\ell$ で囲まれた部分の面積 $S$ を $t$ を用いて表せ。
(1) $y' = 3x^2 - 1$ より、点 $\mathrm{P}$ での接線は
$\ell: y = (3t^2 - 1)(x - t) + t^3 - t = (3t^2 - 1)x - 2t^3$
$x^3 - x = (3t^2 - 1)x - 2t^3$ より $x^3 - 3t^2 x + 2t^3 = 0$。
$x = t$ は重解なので $(x - t)^2(x + 2t) = 0$（展開して確認できる）。
よって $\mathrm{Q}$ の $x$ 座標は $x = -2t$。
(2) 接線と曲線の差：$x^3 - x - (3t^2 - 1)x + 2t^3 = x^3 - 3t^2 x + 2t^3 = (x-t)^2(x+2t)$
$t > 0$ のとき $t < -2t$ は成り立たないので $-2t < t$。積分区間は $[-2t, t]$。
$[-2t, t]$ で $(x-t)^2(x+2t) \leq 0$（$x + 2t \geq 0$, $(x-t)^2 \geq 0$ だが $x+2t$ の符号に注意）。
$t > 0$ の場合：$[-2t, t]$ で $x + 2t \geq 0$, $(x-t)^2 \geq 0$ なので $(x-t)^2(x+2t) \geq 0$。
曲線 $-$ 接線 $= (x-t)^2(x+2t) \geq 0$ より、曲線が接線の上側。
$$S = \int_{-2t}^{t} (x-t)^2(x+2t)\, dx$$
$u = x - (-2t) = x + 2t$ と置換（$x = u - 2t$, $x - t = u - 3t$）：
$$S = \int_0^{3t} (u - 3t)^2 u\, du = \int_0^{3t} (u^3 - 6tu^2 + 9t^2 u)\, du$$
$$= \left[\frac{u^4}{4} - 2tu^3 + \frac{9t^2 u^2}{2}\right]_0^{3t} = \frac{81t^4}{4} - 54t^4 + \frac{81t^4}{2} = \frac{81t^4 - 216t^4 + 162t^4}{4} = \frac{27t^4}{4}$$
$t < 0$ の場合も同様に $S = \frac{27t^4}{4}$。よって $S = \frac{27t^4}{4}$。
3次曲線と接線の交点を求める際、接点 $x = t$ が重解であることを利用して因数分解します。$(x-t)^2$ を因数にもつことが接線の特徴です。面積計算では置換積分で区間を $[0, 3t]$ に変換すると計算がきれいになります。