曲線 $y = f(x)$ を $x$ 軸のまわりに1回転させると、回転体と呼ばれる立体ができます。この回転体の体積を定積分で求める方法を学びます。薄い円盤の体積を積み重ねるという考え方が基本です。円錐や放物面体など、身近な立体の体積も求められるようになります。
曲線 $y = f(x)$（$f(x) \geq 0$）と $x$ 軸、および2直線 $x = a$, $x = b$ で囲まれた領域を $x$ 軸のまわりに1回転させてできる立体を回転体といいます。
回転体の体積を求める基本的なアイデアは、立体を $x$ 軸に垂直な薄い円盤に切り分けることです。
位置 $x$ における断面は、半径 $f(x)$、厚さ $\Delta x$ の薄い円盤です。この円盤の体積は近似的に次のようになります。
$$\Delta V \approx \pi \{f(x)\}^2 \Delta x$$
この薄い円盤を $x = a$ から $x = b$ まで積み重ねると、回転体全体の体積が得られます。$\Delta x \to 0$ の極限をとると、和は定積分になります。
回転体を $x$ 軸に垂直な平面で切ると、切り口は円になります。
位置 $x$ での円の半径は $|f(x)|$、断面積は $\pi\{f(x)\}^2$ です。
この断面積を $x = a$ から $x = b$ まで積分すると体積が求まります。
これは「薄い円盤を積み重ねる」というイメージです。
面積は「高さ $f(x)$ × 幅 $\Delta x$ の短冊の積み重ね」でした。
体積は「断面積 $\pi\{f(x)\}^2$ × 厚さ $\Delta x$ の円盤の積み重ね」です。
「短冊 → 円盤」に変わっただけで、積分の考え方は同じです。
Section 1 の考え方を定式化すると、次の公式が得られます。
曲線 $y = f(x)$ と $x$ 軸、$x = a$, $x = b$ で囲まれた領域を $x$ 軸まわりに1回転させた回転体の体積は：
$$V = \pi \int_a^b \{f(x)\}^2\, dx$$
※ $\{f(x)\}^2$ は常に $\geq 0$ なので、面積のときのような絶対値の処理は不要です。
区間 $[a, b]$ を $n$ 等分し、分点を $a = x_0 < x_1 < \cdots < x_n = b$、$\Delta x = \frac{b-a}{n}$ とする。
位置 $x_k$ における断面は半径 $|f(x_k)|$ の円で、断面積は $\pi\{f(x_k)\}^2$。
厚さ $\Delta x$ の薄い円盤の体積は $\pi\{f(x_k)\}^2 \Delta x$。
回転体の体積は：
$$V = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^{n-1} \pi\{f(x_k)\}^2 \Delta x = \pi \int_a^b \{f(x)\}^2\, dx$$
これは $\{f(x)\}^2$ の定積分に $\pi$ をかけたものです。
✗ $V = \int_a^b \pi f(x)\, dx$（$f(x)$ を2乗していない！）
✓ $V = \pi \int_a^b \{f(x)\}^2\, dx$（$f(x)$ を2乗してから積分）
断面は「半径 $f(x)$ の円」なので、断面積は $\pi r^2 = \pi\{f(x)\}^2$ です。$f(x)$ を2乗することを忘れないようにしましょう。
公式を使って、基本的な立体の体積を求めてみましょう。
直線 $y = \frac{r}{h}x$ を $x$ 軸まわりに回転させると、底面の半径 $r$、高さ $h$ の円錐ができます。
$$V = \pi \int_0^h \left(\frac{r}{h}x\right)^2 dx = \pi \cdot \frac{r^2}{h^2} \int_0^h x^2\, dx = \pi \cdot \frac{r^2}{h^2} \cdot \frac{h^3}{3} = \frac{1}{3}\pi r^2 h$$
これは円錐の体積の公式 $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$ に一致します。
$y = \sqrt{x}$ を $x$ 軸まわりに回転させた立体（放物面体）の体積は：
$$V = \pi \int_0^4 (\sqrt{x})^2\, dx = \pi \int_0^4 x\, dx = \pi \left[\frac{x^2}{2}\right]_0^4 = \pi \cdot 8 = 8\pi$$
$y = \sqrt{r^2 - x^2}$ を $x$ 軸まわりに回転させると半径 $r$ の球ができます。
$$V = \pi \int_{-r}^{r} (r^2 - x^2)\, dx = \pi \left[r^2 x - \frac{x^3}{3}\right]_{-r}^{r}$$
$$= \pi \left\{\left(r^3 - \frac{r^3}{3}\right) - \left(-r^3 + \frac{r^3}{3}\right)\right\} = \pi \cdot \frac{4r^3}{3} = \frac{4}{3}\pi r^3$$
球の体積の公式 $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ が導けました。
円錐（$\frac{1}{3}\pi r^2 h$）や球（$\frac{4}{3}\pi r^3$）の体積公式は、回転体の体積公式から厳密に証明できます。
中学・高校で「暗記した」公式が、積分によって「証明できる」ようになるのです。
2つの曲線 $y = f(x)$ と $y = g(x)$（$f(x) \geq g(x) \geq 0$）で囲まれた領域を $x$ 軸まわりに回転させる場合を考えます。
位置 $x$ での断面は、外径 $f(x)$、内径 $g(x)$ のドーナツ型（環状）の断面になります。
$f(x) \geq g(x) \geq 0$ のとき、2曲線で囲まれた領域を $x$ 軸まわりに回転させた体積は：
$$V = \pi \int_a^b \left\{\{f(x)\}^2 - \{g(x)\}^2\right\} dx$$
※ 断面積 $= \pi\{f(x)\}^2 - \pi\{g(x)\}^2$（外側の円の面積 − 内側の円の面積）
例：$y = x$ と $y = x^2$（$0 \leq x \leq 1$）で囲まれた領域を $x$ 軸まわりに回転させた体積
$[0, 1]$ で $x \geq x^2 \geq 0$ なので $f(x) = x$, $g(x) = x^2$ とおく。
$$V = \pi \int_0^1 (x^2 - x^4)\, dx = \pi \left[\frac{x^3}{3} - \frac{x^5}{5}\right]_0^1 = \pi \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}\right) = \frac{2\pi}{15}$$
✗ $V = \pi \int_a^b \{f(x) - g(x)\}^2\, dx$（差の2乗を積分 ← 間違い！）
✓ $V = \pi \int_a^b \{\{f(x)\}^2 - \{g(x)\}^2\}\, dx$（2乗の差を積分 ← 正しい！）
$\{f(x) - g(x)\}^2 \neq \{f(x)\}^2 - \{g(x)\}^2$ です。面積公式（$\int |f - g|\, dx$）との混同に注意しましょう。
断面はドーナツ型（環状）です。外側の円の面積 $\pi\{f(x)\}^2$ から内側の円の面積 $\pi\{g(x)\}^2$ を引いたものが断面積です。
面積のときは「上の曲線 $-$ 下の曲線」の差を積分しましたが、体積のときは「外側の円の面積 $-$ 内側の円の面積」の差を積分します。
曲線を $y$ 軸のまわりに回転させる場合は、$x$ と $y$ の役割を入れ替えて考えます。
曲線 $x = g(y)$（$g(y) \geq 0$）と $y$ 軸、$y = c$, $y = d$ で囲まれた領域を $y$ 軸まわりに1回転させた体積は：
$$V = \pi \int_c^d \{g(y)\}^2\, dy$$
※ $x$ 軸まわりの公式で $x \leftrightarrow y$ を入れ替えただけです。
$y = f(x)$ の式を $x = g(y)$（逆関数）の形に変換してから公式を適用します。
例：$y = x^2$（$0 \leq x \leq 2$, $x \geq 0$）と $y$ 軸、$y = 4$ で囲まれた領域を $y$ 軸まわりに回転させた体積
$y = x^2$ より $x = \sqrt{y}$（$x \geq 0$）。$x$ の範囲 $[0, 2]$ は $y$ の範囲 $[0, 4]$ に対応。
$$V = \pi \int_0^4 (\sqrt{y})^2\, dy = \pi \int_0^4 y\, dy = \pi \left[\frac{y^2}{2}\right]_0^4 = 8\pi$$
例：$y = x^2$ と $y = 2x$ で囲まれた領域を $y$ 軸まわりに回転させた体積
交点：$x^2 = 2x$ より $x = 0, 2$。よって $y = 0, 4$。
$y$ で表すと：$y = x^2$ より $x = \sqrt{y}$、$y = 2x$ より $x = \frac{y}{2}$。
$[0, 4]$ で $\sqrt{y} \geq \frac{y}{2} \geq 0$ なので：
$$V = \pi \int_0^4 \left\{(\sqrt{y})^2 - \left(\frac{y}{2}\right)^2\right\} dy = \pi \int_0^4 \left(y - \frac{y^2}{4}\right) dy$$
$$= \pi \left[\frac{y^2}{2} - \frac{y^3}{12}\right]_0^4 = \pi \left(8 - \frac{16}{3}\right) = \frac{8\pi}{3}$$
Step 1：$y = f(x)$ を $x = g(y)$ の形に変換する。
Step 2：$x$ の範囲を $y$ の範囲に変換する。
Step 3：$V = \pi \int_c^d \{g(y)\}^2\, dy$ に代入して計算する。
「$x$ 軸まわりの公式で $x$ と $y$ を入れ替える」と覚えましょう。
Q1. $y = 2x$（$0 \leq x \leq 3$）を $x$ 軸まわりに回転させた体積を求めよ。
Q2. $y = x^2$（$0 \leq x \leq 1$）を $x$ 軸まわりに回転させた体積を求めよ。
Q3. $y = \sqrt{4 - x^2}$（$-2 \leq x \leq 2$）を $x$ 軸まわりに回転させた体積を求めよ。
Q4. $y = x$ と $y = x^2$ で囲まれた領域（$0 \leq x \leq 1$）を $x$ 軸まわりに回転させた体積を求めよ。
Q5. $y = x^2$（$0 \leq x \leq 1$）を $y$ 軸まわりに回転させた体積を求めよ。
次の曲線を $x$ 軸まわりに回転させてできる立体の体積を求めよ。
(1) $y = 3x$（$0 \leq x \leq 2$）
(2) $y = x^2 + 1$（$0 \leq x \leq 1$）
(1) $V = \pi \int_0^2 9x^2\, dx = 9\pi\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^2 = 9\pi \cdot \frac{8}{3} = 24\pi$
(2) $V = \pi \int_0^1 (x^2+1)^2\, dx = \pi \int_0^1 (x^4+2x^2+1)\, dx = \pi\left[\frac{x^5}{5}+\frac{2x^3}{3}+x\right]_0^1 = \pi\left(\frac{1}{5}+\frac{2}{3}+1\right) = \frac{28\pi}{15}$
$y = 2x - x^2$ と $y = x$ で囲まれた領域を $x$ 軸まわりに回転させた体積を求めよ。
交点：$2x - x^2 = x$ より $x - x^2 = 0$, $x(1-x) = 0$ で $x = 0, 1$。
$[0, 1]$ で $2x - x^2 \geq x \geq 0$（$\because 2x - x^2 - x = x(1-x) \geq 0$）。
$$V = \pi \int_0^1 \left\{(2x-x^2)^2 - x^2\right\} dx = \pi \int_0^1 (4x^2 - 4x^3 + x^4 - x^2)\, dx$$
$$= \pi \int_0^1 (3x^2 - 4x^3 + x^4)\, dx = \pi\left[x^3 - x^4 + \frac{x^5}{5}\right]_0^1 = \pi\left(1 - 1 + \frac{1}{5}\right) = \frac{\pi}{5}$$
曲線 $y = x^2$ と直線 $y = 4$ で囲まれた領域を $y$ 軸まわりに回転させてできる立体の体積を求めよ。
$y = x^2$ より $x^2 = y$（$x \geq 0$ 側を考える）。
$y$ 軸まわりの回転体。断面（$y$ に垂直）は半径 $\sqrt{y}$ の円（$0 \leq y \leq 4$）。ただし $y = 4$ の直線が上限なので、$y = 4$ から上は半径 $2$ の円柱となる…のではなく、$y = x^2$ と $y = 4$ で囲まれた部分のみを回転させます。
方法：半径 $2$ の円柱（高さ $4$）の体積から、$y = x^2$（つまり $x = \sqrt{y}$）を回転させた体積を引く。
円柱の体積：$\pi \cdot 2^2 \cdot 4 = 16\pi$
$x = \sqrt{y}$ の回転体：$V_1 = \pi \int_0^4 y\, dy = \pi\left[\frac{y^2}{2}\right]_0^4 = 8\pi$
求める体積：$V = 16\pi - 8\pi = 8\pi$
「囲まれた領域の回転体」では、直接公式に当てはめにくい場合、大きな立体から小さな立体を引く方法（くりぬき法）が有効です。この問題では、半径 $2$・高さ $4$ の円柱から放物面体をくりぬいています。
曲線 $y = ax^2$（$a > 0$）と直線 $y = 1$ で囲まれた領域を $x$ 軸まわりに回転させた体積が $\frac{3\pi}{5}$ であるとき、$a$ の値を求めよ。
$ax^2 = 1$ より $x = \pm\frac{1}{\sqrt{a}}$。区間 $\left[-\frac{1}{\sqrt{a}},\, \frac{1}{\sqrt{a}}\right]$ で $1 \geq ax^2 \geq 0$。
$$V = \pi \int_{-1/\sqrt{a}}^{1/\sqrt{a}} (1 - a^2 x^4)\, dx$$
被積分関数は偶関数なので：
$$V = 2\pi \int_0^{1/\sqrt{a}} (1 - a^2 x^4)\, dx = 2\pi \left[x - \frac{a^2 x^5}{5}\right]_0^{1/\sqrt{a}}$$
$$= 2\pi \left(\frac{1}{\sqrt{a}} - \frac{a^2}{5} \cdot \frac{1}{a^{5/2}}\right) = 2\pi \left(\frac{1}{\sqrt{a}} - \frac{1}{5\sqrt{a}}\right) = 2\pi \cdot \frac{4}{5\sqrt{a}} = \frac{8\pi}{5\sqrt{a}}$$
$\frac{8\pi}{5\sqrt{a}} = \frac{3\pi}{5}$ より $\sqrt{a} = \frac{8}{3}$、$a = \frac{64}{9}$
2曲線 $y = ax^2$ と $y = 1$ の回転体なので、$V = \pi \int (1^2 - (ax^2)^2)\, dx = \pi \int (1 - a^2 x^4)\, dx$ となります。偶関数であることを利用して計算量を半分にしています。パラメータを含む回転体の問題は、体積を $a$ の式で表してから方程式を解くのが定石です。