曲線上にない点から曲線に接線を引く ── 「接点」が分からない状況で接線を求めるには、接点を文字でおいて条件を立てる必要があります。
入試頻出のこのテーマを、解法の本質から理解しましょう。
前回は「曲線上の点」が接点として与えられていました。しかし、「ある点を通る接線を求めよ」という問題では、その点が曲線上にあるとは限りません。
曲線外の点 $(p, q)$ から曲線 $y = f(x)$ に接線を引くとき、接点は未知です。そこで接点の $x$ 座標を $t$ とおくことで、問題を「$t$ の方程式を解く問題」に帰着させます。
$$\text{接点} = (t, f(t)) \quad \to \quad \text{接線の方程式を立てる} \quad \to \quad \text{通過点の条件から } t \text{ を決定}$$
これが「曲線外からの接線」の定石です。
Step 1：接点の $x$ 座標を $t$ とおく → 接点は $(t, f(t))$
Step 2：接線の傾きは $f'(t)$
Step 3：接線の方程式を立てる：$y - f(t) = f'(t)(x - t)$
Step 4：接線が点 $(p, q)$ を通る条件を代入：$q - f(t) = f'(t)(p - t)$
Step 5：$t$ の方程式を解いて、接線の方程式を確定する
最も多いミスは、通過点 $(p, q)$ を接点だと思い込むことです。
✗ 誤り：通過点 $(p, q)$ を直接 $a$ に代入して $f'(p)$ を傾きにする
✓ 正しい：接点 $(t, f(t))$ を文字でおいて、接線が $(p, q)$ を通る条件から $t$ を求める
特に $(p, q)$ が曲線上の点であっても、「$x = p$ での接線」とは限りません。
問：点 $(0, -1)$ から曲線 $y = x^2$ に引いた接線の方程式を求めよ。
接点を $(t, t^2)$ とおくと、接線は $y - t^2 = 2t(x - t)$ すなわち $y = 2tx - t^2$
$(0, -1)$ を通る条件：$-1 = -t^2$ より $t^2 = 1$、$t = \pm 1$
$t = 1$：$y = 2x - 1$、$t = -1$：$y = -2x - 1$
答え：$y = 2x - 1$ と $y = -2x - 1$ の2本
問：点 $(0, 2)$ から曲線 $y = x^3$ に引いた接線の方程式を求めよ。
接点を $(t, t^3)$ とおくと、接線は $y - t^3 = 3t^2(x - t)$ すなわち $y = 3t^2 x - 2t^3$
$(0, 2)$ を通る条件：$2 = -2t^3$ より $t^3 = -1$、$t = -1$
$t = -1$：$y = 3x + 2$
答え：$y = 3x + 2$ の1本
通過点の条件から得られる $t$ の方程式の実数解の個数が、そのまま接線の本数になります。
例1では $t^2 = 1$ の解が $2$ 個なので接線は $2$ 本。例2では $t^3 = -1$ の実数解が $1$ 個なので接線は $1$ 本です。
点 $(p, q)$ から $y = x^2$ に引く接線の本数を調べましょう。
接点 $(t, t^2)$ での接線 $y = 2tx - t^2$ が $(p, q)$ を通る条件：
$$q = 2tp - t^2 \quad \Longleftrightarrow \quad t^2 - 2pt + q = 0$$
判別式 $D = 4p^2 - 4q = 4(p^2 - q)$ より
| 条件 | 接線の本数 | 点の位置 |
|---|---|---|
| $q < p^2$（$D > 0$） | 2本 | 放物線の外側 |
| $q = p^2$（$D = 0$） | 1本 | 放物線上 |
| $q > p^2$（$D < 0$） | 0本 | 放物線の内側 |
$y = x^3$ の場合、$t$ の方程式は3次方程式になるため、点の位置によって接線は 1本または3本 になります（2本になる境界の場合もある）。
接線の本数が変化する境界線を包絡線（envelope）と呼びます。放物線 $y = x^2$ の場合、包絡線は放物線自身です（放物線上の点からは接線がちょうど1本引ける）。
一般に、曲線の接線族のパラメータ $t$ による方程式 $F(x, y, t) = 0$ と $\dfrac{\partial F}{\partial t} = 0$ を連立して $t$ を消去すると包絡線が得られます。
接線は接点で曲線に「接する」だけでなく、別の点で曲線と「交わる」こともあります。
例：$y = x^3 - 3x$ の $x = 1$ での接線 $y = 0$ と曲線の交点
$x^3 - 3x = 0$ より $x(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3}) = 0$。$x = 0, \pm\sqrt{3}$ が交点
$x = 1$ は接点（$f(1) = -2 \neq 0$ なのでこの例は不適切。修正します）。
例（修正）：$y = x^3$ の原点での接線は $y = 0$（$x$ 軸）。$x^3 = 0$ の解は $x = 0$ のみ（3重解）なので、接線は原点でのみ曲線と会います。
接線と曲線の連立方程式 $f(x) = f'(t)(x-t)+f(t)$ において、$x = t$ は少なくとも重解になります。これが「接する」ことの代数的な意味です。
$$f(x) - \{f'(t)(x-t)+f(t)\} = (x-t)^2 \cdot g(x)$$
$g(x) = 0$ の解が「接線と曲線のもう一つの交点」を与えます。
$x = 1$ での接線：$y = 3x - 2$
$x^3 - (3x - 2) = x^3 - 3x + 2 = (x-1)^2(x+2) = 0$
$x = 1$（重解 = 接点）と $x = -2$（単解 = もう一つの交点）
Q1. 点 $(1, -3)$ から曲線 $y = x^2$ に接線を引くとき、接点の $x$ 座標を $t$ として条件式を立てよ。
Q2. Q1 の方程式を解いて接線の方程式を求めよ。
Q3. 点 $(0, 0)$ から $y = x^2 + 1$ に接線を引けるか。
Q4. 放物線 $y = x^2$ の内側（$q > p^2$）にある点から接線は引けるか。
Q5. $y = x^3$ の $x = 1$ での接線 $y = 3x - 2$ と曲線のもう一つの交点を求めよ。
点 $(2, 0)$ から曲線 $y = x^2 - 2x$ に引いた接線の方程式を求めよ。
接点 $(t, t^2-2t)$、$f'(t)=2t-2$ より接線：$y-(t^2-2t)=(2t-2)(x-t)$
$y = (2t-2)x - t^2$
$(2, 0)$を代入：$0 = 2(2t-2) - t^2 = -t^2+4t-4 = -(t-2)^2$
$t = 2$（重解）。$f(2) = 0$、$(2,0)$ は曲線上の点。接線は $y = 2(x-2)$ すなわち $y = 2x - 4$
点 $(0, a)$ から曲線 $y = x^2$ に $2$ 本の接線が引けるような定数 $a$ の範囲を求めよ。
接線 $y = 2tx - t^2$ が $(0, a)$ を通る：$a = -t^2$ → $t^2 = -a$
$2$ つの実数解をもつ条件：$-a > 0$ すなわち $a < 0$
$(0, a)$ が放物線の内側（$a > 0$）なら接線0本、放物線上（$a = 0$）なら1本、外側（$a < 0$）なら2本です。
曲線 $y = x^3 - 3x$ について、点 $(2, -2)$ から引いた接線の方程式をすべて求めよ。
接点 $(t, t^3-3t)$、$f'(t)=3t^2-3$ より接線：$y = (3t^2-3)x - 2t^3$
$(2,-2)$を代入：$-2 = 2(3t^2-3) - 2t^3 = -2t^3 + 6t^2 - 6$
$2t^3 - 6t^2 + 4 = 0$ → $t^3 - 3t^2 + 2 = 0$
$(t-1)(t^2-2t-2) = 0$ → $t = 1, 1 \pm \sqrt{3}$
$t=1$: $y=-2$ (水平線)
$t=1+\sqrt{3}$: 傾き $3(4+2\sqrt{3})-3 = 9+6\sqrt{3}$, $y=(9+6\sqrt{3})x-2(1+\sqrt{3})^3-2$
$t=1-\sqrt{3}$: 同様に計算して3本の接線が得られる
曲線 $C: y = x^3$ と点 $\mathrm{P}(a, b)$ について、$\mathrm{P}$ から $C$ に引ける接線がちょうど $2$ 本であるための $a$, $b$ の条件を求めよ。
接点 $(t, t^3)$ での接線 $y = 3t^2 x - 2t^3$ が $(a, b)$ を通る条件：
$b = 3at^2 - 2t^3$ → $g(t) = 2t^3 - 3at^2 + b = 0$ の実数解が $2$ 個
$g'(t) = 6t^2 - 6at = 6t(t - a)$
$a \neq 0$ のとき、$g(t)$ は $t = 0$ で極値 $b$、$t = a$ で極値 $-a^3 + b$
接線がちょうど $2$ 本 ⟺ $g(t) = 0$ が重解と単解を持つ
⟺ $g(0) = 0$ または $g(a) = 0$
すなわち $b = 0$（$a \neq 0$）または $b = a^3$（$\mathrm{P}$ が曲線上）