「$2^x = k$ の解は何個？」「$\log_2(x^2 + 1) = a$ を満たす $x$ はいくつある？」── こうした問いに答えるには、方程式を解く前にグラフで全体像をつかむことが決め手になります。
置き換え・定数分離・グラフの共有点という3つの武器を身につけましょう。
方程式 $f(x) = g(x)$ の実数解とは、$y = f(x)$ のグラフと $y = g(x)$ のグラフの共有点の $x$ 座標にほかなりません。この見方を身につけると、方程式を「解かずに」解の個数を判定できるようになります。
方程式 $f(x) = g(x)$ の実数解の個数は、曲線 $y = f(x)$ と曲線 $y = g(x)$ の共有点の個数と一致します。
特に $f(x) = k$（定数）の場合は、曲線 $y = f(x)$ と水平な直線 $y = k$ の共有点を数えるだけです。$k$ を上下に動かせば、解の個数がどう変化するかが一目でわかります。
指数・対数を含む方程式の実数解の個数を調べるには、次の3つの手法を状況に応じて使い分けます。
| 手法 | 使う場面 | ポイント |
|---|---|---|
| 置き換え | $2^x$ や $\log_2 x$ を $t$ とおいて2次方程式に帰着できるとき | $t$ の取りうる範囲に注意 |
| 定数分離 | パラメータ $a$ を含む方程式で、$a$ を片側に分離できるとき | $y = (\text{$x$ の式})$ と $y = a$ の共有点を調べる |
| 2曲線の交点 | 指数と対数が混在するなど、定数分離が難しいとき | $y = f(x)$ と $y = g(x)$ の交点を調べる |
以降のセクションで、それぞれの手法を具体的に見ていきましょう。
$4^x - 5 \cdot 2^x + 4 = 0$ のような方程式は、$4^x = (2^x)^2$ であることを利用して $2^x = t$ とおくと、$t$ についての2次方程式に帰着できます。
ここで最も重要なのは、$t$ の取りうる範囲です。$2^x > 0$ ですから、$t > 0$ でなければなりません。
$a^{2x} + pa^x + q = 0$（$a > 0, a \neq 1$）の形の方程式は、$a^x = t$（$t > 0$）とおくと
$$t^2 + pt + q = 0 \quad (t > 0)$$
に帰着される。元の方程式の実数解の個数は、この2次方程式の正の実数解の個数に等しい。
$a > 1$ のとき $a^x$ は単調増加なので、$t$ の値1つに対して $x$ の値もちょうど1つ対応します。$0 < a < 1$ のときも同様です。
指数関数 $y = a^x$（$a > 0, a \neq 1$）は値域が $y > 0$ です。$x$ が全実数を動いても、$a^x$ は決して $0$ 以下にはなりません。
だから $t = a^x$ とおくと、自動的に $t > 0$ という制約がつきます。2次方程式の解が $t \leq 0$ であれば、それに対応する $x$ は存在しません。
この「置き換えた文字の範囲に注意する」という考え方は、三角関数の置き換え（$\sin x = t$ なら $-1 \leq t \leq 1$）と本質的に同じです。
$4^x - 5 \cdot 2^x + 4 = 0$ を解いてみましょう。$2^x = t$（$t > 0$）とおくと $4^x = t^2$ なので
$$t^2 - 5t + 4 = 0$$
$$(t - 1)(t - 4) = 0$$
$$t = 1 \text{ または } t = 4$$
いずれも $t > 0$ を満たします。$2^x = 1$ より $x = 0$、$2^x = 4$ より $x = 2$。よって解は $x = 0, 2$ の2個です。
$t^2 - 5t + 6 = 0$ を解いて $t = 2, 3$ が得られたとします。このとき、これらが $t > 0$ であることを確認するのは当然ですが、問題によっては $t \leq 0$ の解が混じることがあります。
✗ 誤り：$t^2 + 3t - 4 = 0$ の解 $t = 1, -4$ をそのまま2つとも使う
✓ 正しい：$t = -4 < 0$ は $a^x = -4$ を満たす $x$ が存在しないので不適。$t = 1$ のみ。
パラメータ $k$ を含む指数方程式、たとえば $4^x - 4 \cdot 2^{x+1} + 5k + 6 = 0$ のような問題では、$2^x = t$（$t > 0$）とおいた後に得られる2次方程式について「$t > 0$ の範囲に解がいくつあるか」を調べる必要があります。
これは、まさに数学Iで学んだ2次方程式の解の配置問題です。判別式、軸の位置、端点での値という3条件を使って解きます。
底 $a$ が2のとき、$2^x = t$ で $t$ の範囲は $t > 0$ です。ところが「$2^x > 1$ だから $t > 1$」と誤解する人がいます。
✗ 誤り：$x > 0$ のとき $2^x > 1$ だから $t > 1$
✓ 正しい：$x$ は全実数を動くので $2^x$ は全ての正の値をとる。よって $t > 0$。
ただし、問題で「正の解」($x > 0$) を求められている場合は $t > 1$ となることに注意しましょう。
$f(x) = a^x$（$a > 0, a \neq 1$）は $\mathbb{R} \to (0, \infty)$ への全単射（bijection）です。全射とは「値域のどの値も実現される」こと、単射とは「異なる入力には異なる出力が対応する」ことを意味します。
全射だから $t > 0$ のどんな値に対しても $a^x = t$ を満たす $x$ が存在し、単射だから $t$ の値1つに対して $x$ はちょうど1つ。これが「$t > 0$ の解の個数 ＝ 元の方程式の解の個数」である根拠です。
方程式にパラメータ（定数）$a$ が含まれているとき、$a$ を片側に、$x$ の式をもう片側に分離する手法を定数分離といいます。
$$f(x) = a$$
の形にすれば、曲線 $y = f(x)$ と水平直線 $y = a$ の共有点を調べるだけで、$a$ の値に応じた解の個数がわかります。
方程式 $f(x) = a$ の解の個数を $a$ の値で場合分けする問題は、$y = f(x)$ のグラフを描いてから、直線 $y = a$ を上下に動かして共有点がいくつあるかを数えることと同じです。
グラフの極値、漸近線、端点の値が場合分けの境目になります。
方程式 $2^x + 2^{-x} = a$ の実数解の個数を $a$ の値で場合分けしてみましょう。
$f(x) = 2^x + 2^{-x}$ のグラフの概形を調べます。相加平均・相乗平均の関係から
$$2^x + 2^{-x} \geq 2\sqrt{2^x \cdot 2^{-x}} = 2$$
等号は $2^x = 2^{-x}$、すなわち $x = 0$ のとき成立します。また $x \to \pm\infty$ で $f(x) \to \infty$ です。
したがって、$y = f(x)$ は下に凸で最小値2をもつ曲線です。直線 $y = a$ との共有点は
$f(-x) = 2^{-x} + 2^x = f(x)$ なので $f(x)$ は偶関数です。よってグラフは $y$ 軸に関して対称です。
$x > 0$ では $2^x$ が急増し $2^{-x}$ が急減するため、$f(x)$ は単調増加します。対称性から $x < 0$ では単調減少です。
この「$y$ 軸対称で最小値をもつ下に凸の曲線」という形が、直線との共有点の個数の場合分けを簡単にしています。
上の問題は、$2^x = t$（$t > 0$）とおいて $t + \frac{1}{t} = a$ と変形し、$g(t) = t + \frac{1}{t}$（$t > 0$）のグラフと直線 $y = a$ の共有点を調べる方法でも解けます。
このとき注意すべきは、$t$ の値1つに対して $x$ の値は1つであること（指数関数の単射性）です。したがって、$g(t) = a$ の正の解の個数がそのまま元の方程式の解の個数になります。
$x \cdot 2^x = ax$ という方程式を $2^x = a$ と変形するために両辺を $x$ で割ると、$x = 0$ の場合を見落とします。
✗ 誤り：両辺を $x$ で割って $2^x = a$、解の個数は...
✓ 正しい：$x = 0$ のとき左辺 $= 0$、右辺 $= 0$ で成立。$x \neq 0$ のとき $2^x = a$ を調べ、最後に $x = 0$ の場合を合わせる。
$f(x) = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$ は大学数学で双曲線余弦関数（hyperbolic cosine）と呼ばれ、$\cosh x$ と表記します。$2^x + 2^{-x}$ は $\cosh(x \ln 2)$ を定数倍したものです。
$\cosh x$ のグラフは懸垂線（カテナリー）と呼ばれ、鎖を両端から吊るしたときにできる曲線と同じ形です。橋やアーチの設計にも使われる美しい曲線です。
$(\log_2 x)^2 - 3\log_2 x + 2 = 0$ のような方程式は、$\log_2 x = t$ とおくと $t$ についての2次方程式に帰着されます。
ここで指数関数の場合との違いに注意してください。$\log_2 x = t$ とおいたとき、$x > 0$（真数条件）のもとで $t$ は全ての実数をとります。つまり $t$ の範囲に制約はありません。
$(\log_a x)^2 + p\log_a x + q = 0$（$a > 0, a \neq 1, x > 0$）の形の方程式は、$\log_a x = t$ とおくと
$$t^2 + pt + q = 0$$
に帰着される。$t$ は全実数をとるので、この2次方程式の実数解の個数がそのまま元の方程式の実数解の個数になる。
ただし、$\log_a(f(x))$ の形の場合は $f(x) > 0$ が真数条件として加わります。
対数の中身が $x$ そのものではなく $f(x) = x^2 + 1$ のような式の場合は、話が変わります。
$\log_2(x^2 + 1) = t$ とおくと、$x^2 + 1 = 2^t$ なので $x^2 = 2^t - 1$ です。$x^2 \geq 0$ だから $2^t - 1 \geq 0$、すなわち $t \geq 0$ です。
さらに重要なのは、$t$ の値1つに対して $x$ の個数がいくつかです。
このように、$t$ から $x$ への対応が1対1でない場合は、$t$ の解の個数をそのまま使えません。$t$ の各解に対して $x$ がいくつ対応するかを個別に調べる必要があります。
$\log_2(x^2 + 1) = t$ のように、$x$ から $t$ への対応が1対1でない場合は要注意です。
✗ 誤り：$t$ について2次方程式を解いて解が2つだから、$x$ の解も2つ
✓ 正しい：$t$ の各解に対して $x$ がいくつ対応するかを調べ、合計する
$t > 0$ の解が2つ、$t = 0$ の解が1つなら、$x$ の解は $2 \times 2 + 1 \times 1 = 5$ 個のように計算します。
$a^x = t$ の置き換えでは、$a^x$ が単射なので $t$ と $x$ が1対1に対応しました。しかし $\log_a(x^2 + c) = t$ の置き換えでは、$x^2 + c$ が偶関数であるため、$t$ の1つの値に対して $x$ が2つ（または1つ）対応します。
一般に、置き換えを行うときは「$t$ の解1つに対して、元の変数 $x$ が何個対応するか」を必ず確認してください。これが指数型と対数型の置き換えの最大の違いです。
大学数学では、関数 $f$ に対して $f^{-1}(t) = \{x \mid f(x) = t\}$ を $t$ の逆像（inverse image）またはファイバー（fiber）と呼びます。ファイバーの要素数が、ちょうど「$t$ の値1つに対応する $x$ の個数」です。
$f(x) = a^x$ のファイバーは常に1点集合（単射）、$f(x) = x^2 + 1$ のファイバーは $t > 1$ のとき2点集合、$t = 1$ のとき1点集合です。
$2^x = x + 1$ や $\log_2 x = x - 2$ のように、指数・対数関数と多項式関数が混在した方程式は、一般に代数的に解くことができません。しかし、解の個数を求めるだけなら、グラフを描けば十分です。
$y = 2^x$ と $y = x + 1$ のグラフの交点を考えます。
$x = 0$ では $2^0 = 1 = 0 + 1$ なので交点の1つは $(0, 1)$ です。$x = 1$ では $2^1 = 2 = 1 + 1$ なので $(1, 2)$ も交点です。
$x > 1$ では指数関数の増加が直線よりも速くなるため、もう交わりません。$x < 0$ でも、$2^x > 0$ かつ $x + 1 < 1$ から、グラフの位置関係を考えると交わりません。よって解は $x = 0, 1$ の2個です。
$y = \log_2 x$ と $y = x - 2$ のグラフの交点を考えます。
対数関数は最終的にどんな直線よりも増加が遅くなるため、$x$ が十分大きいところでは直線が上に来ます。一方、$x$ が小さいところでは対数関数のほうが大きい区間があり得ます。
$x = 4$ のとき $\log_2 4 = 2 = 4 - 2$ なので $(4, 2)$ は交点です。グラフの概形から、もう1つの交点があるかを慎重に調べる必要があります。
グラフのイメージだけで「2つに決まっている」と断定するのは危険です。正確には、$h(x) = f(x) - g(x)$ として $h$ の増減を調べるか、中間値の定理を用いて厳密に議論する必要があります。
✗ 誤り：グラフの概形から「なんとなく2個」
✓ 正しい：$h(x) = \log_2 x - x + 2$ の増減を調べて、極値の符号から交点の個数を確定する
$f(x) = g(x)$ の解の個数を調べるには、$h(x) = f(x) - g(x)$ として次の手順をふみます。
この手順は数学IIIの微分法と組み合わせるとさらに強力になりますが、数学IIの範囲でもグラフの概形と具体的な値の計算で十分対応できます。
$2^x = x + 1$ のように、指数関数や対数関数と多項式が混在する方程式を超越方程式（transcendental equation）と呼びます。一般に代数的な解の公式は存在しません。
大学や実務では、ニュートン法や二分法といった数値解法（numerical method）でコンピュータを使って近似解を求めます。高校数学で学ぶ「グラフで解の個数を判定する」手法は、こうした数値解法の前段階として極めて重要です。
Q1. 方程式 $4^x - 5 \cdot 2^x + 6 = 0$ の実数解の個数を求めよ。
Q2. 方程式 $9^x - 4 \cdot 3^x + 3 = 0$ を解け。
Q3. 方程式 $(\log_3 x)^2 - 4\log_3 x + 3 = 0$ を解け。
Q4. $2^x + 2^{-x} = a$ が実数解をもつための $a$ の条件を求めよ。
Q5. 方程式 $4^x - 2^{x+1} + a = 0$ が正の解をもつための $a$ の値の範囲を求めよ。
方程式 $4^x - 6 \cdot 2^x + 8 = 0$ を解け。
$2^x = t$（$t > 0$）とおくと、$4^x = t^2$ より
$$t^2 - 6t + 8 = 0$$
$$(t - 2)(t - 4) = 0$$
$$t = 2, 4$$
いずれも $t > 0$ を満たす。
$2^x = 2$ より $x = 1$、$2^x = 4$ より $x = 2$。
答：$x = 1, 2$
$4^x = (2^x)^2 = (2^2)^x$ であることを利用して $2^x = t$ と置き換えます。$t > 0$ であることの確認は必須です。今回は $t = 2, 4$ がどちらも正なので、そのまま $x$ に戻せます。
$a$ は定数とする。方程式 $4^x - 2^{x+2} + a = 0$ の実数解の個数を $a$ の値によって場合分けして求めよ。
$2^x = t$（$t > 0$）とおくと $4^x = t^2$、$2^{x+2} = 4 \cdot 2^x = 4t$ より
$$t^2 - 4t + a = 0$$
定数分離して $a = -t^2 + 4t = -(t - 2)^2 + 4$。
$f(t) = -(t-2)^2 + 4$（$t > 0$）のグラフを考える。
$f(t)$ は $t = 2$ で最大値4をとり、$f(0) = 0$（ただし $t = 0$ は含まない）。$t > 0$ における $f(t)$ の値域を調べる。
$t \to 0^+$ で $f(t) \to 0$、$t = 2$ で $f(t) = 4$、$t \to \infty$ で $f(t) \to -\infty$。
直線 $y = a$ と $y = f(t)$（$t > 0$）の共有点の個数を調べると
$t$ と $x$ は1対1に対応するので、上の個数がそのまま元の方程式の実数解の個数である。
$2^{x+2} = 2^2 \cdot 2^x = 4 \cdot 2^x$ の変形がポイントです。置き換え後は $t > 0$ における2次関数のグラフと水平直線の共有点を調べる定数分離の問題になります。$t > 0$（$t = 0$ は含まない）であることを忘れないようにしましょう。
方程式 $(\log_2 x)^2 - 2\log_2 x + a = 0$ が異なる2つの正の実数解をもつとき、定数 $a$ の値の範囲を求めよ。
$\log_2 x = t$ とおくと $t^2 - 2t + a = 0$。
$x > 0$（真数条件）のもとで $t$ は全ての実数をとる。したがって、2次方程式 $t^2 - 2t + a = 0$ が異なる2つの実数解をもてばよい。
ただし注意：$t_1 \neq t_2$ に対して $x_1 = 2^{t_1} \neq 2^{t_2} = x_2$（指数関数の単射性）なので、$t$ の解が2つなら $x$ の解も2つで、いずれも $x > 0$ を自動的に満たす。
判別式 $D > 0$ より
$$D = 4 - 4a > 0$$
$$a < 1$$
答：$a < 1$
$\log_2 x = t$ の置き換えでは、$t$ の範囲が全実数であることと、$t$ と $x$ が1対1に対応することがポイントです。2次方程式が異なる2実数解をもつ条件は判別式 $D > 0$ だけで十分です。「正の実数解」という条件は $x > 0$ のことですが、$x = 2^t > 0$ は常に成立するので追加条件は不要です。
$k$ は定数とする。方程式 $4^x - 2 \cdot 4 \cdot 2^x + 5k + 6 = 0$ すなわち $4^x - 8 \cdot 2^x + 5k + 6 = 0$ が異なる2つの正の解をもつような $k$ の値の範囲を求めよ。
$2^x = t$ とおくと $4^x = t^2$ より
$$t^2 - 8t + 5k + 6 = 0 \quad \cdots (*)$$
$x > 0$ のとき $2^x > 2^0 = 1$ なので $t > 1$。また、$x$ の値が異なれば $t = 2^x$ の値も異なる（単射性）。
よって、求める条件は、2次方程式 $(*)$ が $t > 1$ の範囲に異なる2つの実数解をもつことである。
$(*)$ の左辺を $f(t) = t^2 - 8t + 5k + 6$ とし、判別式を $D$ とすると、次の3条件が同時に成り立てばよい。
[1] $D > 0$：$D = 64 - 4(5k+6) = 40 - 20k > 0$ より $k < 2$
[2] 軸 $t = 4$ が $t > 1$ の範囲にある：$4 > 1$ なので常に成立。
[3] $f(1) > 0$：$f(1) = 1 - 8 + 5k + 6 = 5k - 1 > 0$ より $k > \dfrac{1}{5}$
[1], [2], [3] の共通範囲を求めて
$$\frac{1}{5} < k < 2$$
「正の解」とは $x > 0$ のことなので、$t = 2^x > 1$ という条件になります。これを「$t > 0$ の範囲」と間違えないように注意しましょう。
2次方程式が特定の範囲に2つの実数解をもつ条件は、数学Iの「2次方程式の解の配置」の手法（判別式、軸の位置、端点での符号）を適用します。グラフの軸 $t = \dfrac{8}{2} = 4$ が $t > 1$ にあることも確認が必要です（今回は自明ですが、問題によっては条件に加わります）。