指数関数や対数関数を含む式の最大値・最小値を求めるには、どうすればよいでしょうか。
答えは「見慣れた形に帰着させる」ことです。$2^x = t$ とおき換えて2次関数にしたり、相加相乗平均の不等式を活用したり ── 本質を理解すれば、どんな問題にも対応できます。
$y = 4^x - 2 \cdot 2^x + 5$ のような関数の最大値・最小値を求めたいとします。$4^x$ や $2^x$ が混在していて、このままでは手の出しようがありません。
しかし、よく見ると $4^x = (2^2)^x = (2^x)^2$ です。つまり $2^x = t$ とおけば、$4^x = t^2$ となり、もとの関数は $t$ の2次関数に変わります。2次関数の最大・最小は既に学んだ道具で解けますから、「未知の問題を既知の問題に帰着させる」ことができるのです。
指数関数の最大・最小問題の核心は、$a^x = t$ とおき換えることで$t$ の2次関数の問題に帰着させることです。
$4^x$、$8^x$ などは $2^x$ のべき乗で表せるので、底をそろえてから $2^x = t$ とおくのが定石です。この「見慣れた形に変換する」という発想は、数学全体に通じる重要な考え方です。
具体的な手順を追ってみましょう。$0 \leq x \leq 3$ のとき、$y = 4^x - 2 \cdot 2^x + 5$ の最大値と最小値を求めます。
Step 1：底をそろえる
$4^x = (2^x)^2$ なので、
$$y = (2^x)^2 - 2 \cdot 2^x + 5$$
Step 2：$2^x = t$ とおく
$y = t^2 - 2t + 5$ ── これは $t$ の2次関数です。
Step 3：$t$ の変域を求める（最重要！）
$0 \leq x \leq 3$ のとき、$2^x$ は単調増加なので、
$$2^0 \leq 2^x \leq 2^3 \quad \Longleftrightarrow \quad 1 \leq t \leq 8$$
Step 4：2次関数の最大・最小を求める
$$y = t^2 - 2t + 5 = (t - 1)^2 + 4$$
$1 \leq t \leq 8$ の範囲で、$t = 1$ のとき最小値 $4$、$t = 8$ のとき最大値 $53$ です。
Step 5：$x$ の値に戻す
$t = 1$ すなわち $2^x = 1$ より $x = 0$、$t = 8$ すなわち $2^x = 8$ より $x = 3$ です。
1. 底をそろえる（$4^x = (2^x)^2$、$8^x = (2^x)^3$ など）
2. $a^x = t$（$t > 0$）とおき、$t$ の関数に変換する
3. $x$ の変域から $t$ の変域を求める
4. $t$ の関数として最大・最小を求める
5. $t$ の値から $x$ の値に戻す
Step 3 の「$t$ の変域を求める」を忘れるミスが非常に多いので要注意です。
$2^x = t$ とおき換えたとき、最も多い失敗は$t$ の変域を設定し忘れることです。
✗ 誤り：$y = t^2 - 2t + 5$ の最小値は $t = 1$ で $4$ → 正しいが偶然
✓ 正しい：$0 \leq x \leq 3$ より $1 \leq t \leq 8$ を明示し、この範囲での最小値を求める
もし $x$ の範囲が $1 \leq x \leq 3$ なら $t$ の範囲は $2 \leq t \leq 8$ に変わり、最小値も変わります。変域の設定は解答の正誤を左右します。
もう1つよく出るのが、$a^x + a^{-x}$ を含む問題です。$2^x = t$（$t > 0$）とおくと $2^{-x} = \frac{1}{t}$ ですから、$2^x + 2^{-x} = t + \frac{1}{t}$ となります。
例えば、$y = 4^x - 3 \cdot 2^x + 3 \cdot 2^{-x} - 4^{-x}$ は、$2^x - 2^{-x} = u$ とおくと整理できる場合があります。このように、対称的な構造を見抜くことが鍵になります。
$a^x = t$ とおいたとき、指数関数は常に正の値をとるので $t > 0$ です。
✗ 誤り：$2^x = t$ とおくと $y = t^2 - 6t + 5 = (t-3)^2 - 4$ だから $t = 3$ で最小値 $-4$ → $t > 0$ の確認なしに答えている
✓ 正しい：$2^x = t > 0$ とおく。$x$ の範囲に制限がなければ $t > 0$ 全体で考える。$t = 3 > 0$ なので最小値 $-4$ は確かに実現する
$t > 0$ の範囲に2次関数の頂点が含まれるかどうか、必ず確認しましょう。
$(a^m)^n = a^{mn}$ という指数法則が、おき換えを可能にしています。$4^x = (2^2)^x = 2^{2x} = (2^x)^2$ は、$4 = 2^2$ と「底の統一」ができるから成り立ちます。
大学数学では、指数関数 $e^x$（ネイピア数 $e \approx 2.718$ を底とする指数関数）にすべての指数関数を統一します。$a^x = e^{x \ln a}$ と表せるので、$e^x$ だけを扱えば十分なのです。これが「自然対数」が「自然」と呼ばれる理由の1つです。
対数関数の最大・最小問題でも、基本的な戦略は指数のときと同じです。$\log_a x = t$ とおき換えて、$t$ の2次関数の問題に帰着させます。
例えば、$1 \leq x \leq 8$ のとき、$y = (\log_2 x)^2 + 8\log_4 x + \log_2 32$ の最大値と最小値を求めてみましょう。
まず、対数の底をそろえます。$\log_4 x = \frac{\log_2 x}{\log_2 4} = \frac{\log_2 x}{2}$ なので、
$$y = (\log_2 x)^2 + 8 \cdot \frac{\log_2 x}{2} + 5 = (\log_2 x)^2 + 4\log_2 x + 5$$
$\log_2 x = t$ とおくと、$y = t^2 + 4t + 5 = (t + 2)^2 + 1$ です。
$1 \leq x \leq 8$ で、底 $2 > 1$ なので $\log_2$ は単調増加です。よって、
$$\log_2 1 \leq t \leq \log_2 8 \quad \Longleftrightarrow \quad 0 \leq t \leq 3$$
$y = (t + 2)^2 + 1$ は頂点 $t = -2$ の上に凸の放物線（下に凸）で、$0 \leq t \leq 3$ の範囲では $t = 0$ で最小値 $5$、$t = 3$ で最大値 $26$ です。
$t = 0$ のとき $x = 2^0 = 1$、$t = 3$ のとき $x = 2^3 = 8$。
$\log_a x = t$ とおき換えるとき、$x$ の変域から $t$ の変域を求める際に、底 $a$ と $1$ の大小関係が決定的に重要です。
$a > 1$ のとき $\log_a$ は単調増加：$x$ の大小と $t$ の大小が一致します。
$0 < a < 1$ のとき $\log_a$ は単調減少：$x$ の大小と $t$ の大小が逆転します。
この違いを意識しないと、$t$ の変域を間違えて全く違う答えになります。
例えば $\frac{1}{2} \leq x \leq 4$ で $\log_{1/2} x = t$ とおくとき、底 $\frac{1}{2} < 1$ なので不等号が逆転します。
✗ 誤り：$\log_{1/2} \frac{1}{2} \leq t \leq \log_{1/2} 4$ つまり $1 \leq t \leq -2$（矛盾！）
✓ 正しい：底が $1$ より小さいので $\log_{1/2} 4 \leq t \leq \log_{1/2} \frac{1}{2}$ つまり $-2 \leq t \leq 1$
底が $1$ 未満のときは、$x$ が大きいほど $\log_a x$ は小さくなることを思い出しましょう。
$y = \log_2(x - 2) + 2\log_4(3 - x)$ のように、真数部分に $x$ の1次式が入る場合もあります。このときは次の2点に注意します。
こうして得られた式に、さらに $\log_2(x - 2) = t$ などとおき換えを行います。真数条件から $x$ の定義域が決まり、それが $t$ の変域に反映されます。
底の変換公式 $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$ は、底を自由に変えられるという対数の柔軟性を示しています。
大学数学や科学の世界では、底をネイピア数 $e$ にそろえた $\ln x = \log_e x$（自然対数）が標準です。微分すると $(\ln x)' = \frac{1}{x}$ という美しい関係が成り立つからです。高校で学ぶ底の変換は、大学でのこの統一の予行演習とも言えます。
まず、核心となる不等式を確認しましょう。
$a > 0$、$b > 0$ のとき、
$$\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab} \quad \Longleftrightarrow \quad a + b \geq 2\sqrt{ab}$$
等号成立条件は $a = b$ のとき。
左辺（相加平均）は常に右辺（相乗平均）以上である、という不等式です。
$a > 0$、$b > 0$ のとき、
$$a + b - 2\sqrt{ab} = (\sqrt{a})^2 - 2\sqrt{a}\sqrt{b} + (\sqrt{b})^2 = (\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 \geq 0$$
$(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 \geq 0$ は常に成り立ち、等号は $\sqrt{a} = \sqrt{b}$、すなわち $a = b$ のときです。
相加相乗平均が指数関数で威力を発揮する典型例が、$a^x + a^{-x}$ の最小値です。
$a^x > 0$、$a^{-x} > 0$ なので、相加相乗平均を適用できます。
$$a^x + a^{-x} \geq 2\sqrt{a^x \cdot a^{-x}} = 2\sqrt{a^0} = 2\sqrt{1} = 2$$
等号成立は $a^x = a^{-x}$ つまり $x = 0$ のときです。
したがって、$a^x + a^{-x}$ は $x = 0$ のとき最小値 $2$ をとります。
相加相乗平均が使えるのは、2つの正の数の積が定数のときです。$a^x \cdot a^{-x} = a^0 = 1$（定数）だから使えるのです。
「和の最小値を求めたいとき、積が定数なら相加相乗平均」── これが判断基準です。逆に「積の最大値を求めたいとき、和が定数なら相加相乗平均」も成り立ちます。
$x > 0$、$y > 0$、$x + y = 8$ のとき、$\log_2 x + \log_2 y$ の最大値を求めてみましょう。
$$\log_2 x + \log_2 y = \log_2 (xy)$$
底 $2 > 1$ なので、$xy$ が最大のとき $\log_2(xy)$ も最大です。
ここで、$x + y = 8$（和が定数）で $xy$ の最大値を求めたいので、相加相乗平均を使います。
$$\frac{x + y}{2} \geq \sqrt{xy} \quad \Longrightarrow \quad 4 \geq \sqrt{xy} \quad \Longrightarrow \quad xy \leq 16$$
等号は $x = y = 4$ のときです。よって $\log_2 x + \log_2 y$ の最大値は $\log_2 16 = 4$ です。
相加相乗平均を使うときは、等号が成立する条件が実際に満たされるかを必ず確認しましょう。
例えば $x > 0$、$y > 0$、$2x + y = 6$ のとき $xy$ の最大値を求める際、$x = y$ とすると $3x = 6$ で $x = y = 2$ ですが、これは直接 AM-GM を適用した場合の等号条件ではありません。
正しくは $2x$ と $y$ に AM-GM を適用し、$2x = y$ つまり $y = 2x$ が等号条件です。$2x + 2x = 6$ より $x = \frac{3}{2}$、$y = 3$。このとき $xy = \frac{9}{2}$ が最大値です。
$y = 2^x + 2^{2-x}$ の最小値を求めてみましょう。$2^x > 0$ かつ $2^{2-x} > 0$ なので、相加相乗平均が使えます。
$$2^x + 2^{2-x} \geq 2\sqrt{2^x \cdot 2^{2-x}} = 2\sqrt{2^{x + 2 - x}} = 2\sqrt{2^2} = 2 \cdot 2 = 4$$
等号は $2^x = 2^{2-x}$ つまり $x = 2 - x$ より $x = 1$ のときです。よって最小値は $4$（$x = 1$ のとき）です。
2変数の相加相乗平均 $\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}$ は、$n$ 変数に一般化できます。
$$\frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1 a_2 \cdots a_n} \quad (a_i > 0)$$
さらに、重み付きの不等式（重み付き AM-GM）も存在し、大学の数学や情報科学で広く使われています。高校で学ぶ2変数版は、この豊かな理論のほんの入口です。
入試では「$x > 0$、$y > 0$、$xy = 8$ のとき $(\log_2 x)(\log_2 y)$ の最大値と最小値を求めよ」のような2変数問題が頻出します。こうした問題の基本方針は条件式を使って対数の世界に翻訳し、1変数化することです。
$xy = 8$ の両辺の $\log_2$ をとると、
$$\log_2 x + \log_2 y = \log_2 8 = 3$$
$\log_2 x = s$、$\log_2 y = t$ とおくと、$s + t = 3$ です。求めるものは $st$ の最大値・最小値です。
$t = 3 - s$ を代入すると、
$$st = s(3 - s) = -s^2 + 3s = -\left(s - \frac{3}{2}\right)^2 + \frac{9}{4}$$
ここで $x \geq 1$、$y \geq 1$ などの条件があれば $s$、$t$ の変域が定まり、この2次関数の最大・最小が求まります。
$xy = 8$ という積の条件は、対数をとると $\log_2 x + \log_2 y = 3$ という和の条件に変わります。求めるものが $(\log_2 x)(\log_2 y)$ なら、条件も求める式も対数で統一されるので、$s = \log_2 x$、$t = \log_2 y$ とおけば「和が定数のとき積の最大・最小」という見慣れた問題に帰着します。
このように条件式と目的式の「形をそろえる」ことが、2変数問題攻略の鍵です。
$x > 0$、$y > 0$、$x + y = 8$ のとき $\log_2 x + \log_2 y$ の最大値を求める場合は、先ほどセクション3で見たように、$\log_2 x + \log_2 y = \log_2(xy)$ と変形し、$xy$ の最大値を相加相乗平均で求める方法が有効です。
定数 $a$ を含む $y = 4^x - a \cdot 2^x - 1$（$1 \leq x \leq 2$）のような問題では、$2^x = t$ とおくと $y = t^2 - at - 1$（$2 \leq t \leq 4$）となり、$a$ の値による場合分けが必要になります。軸 $t = \frac{a}{2}$ と区間 $[2, 4]$ の位置関係で場合分けするのです。
$y = t^2 - at - 1$（$2 \leq t \leq 4$）の最小値を求めるとき、軸 $t = \frac{a}{2}$ の位置で3通りに場合分けが必要です。
(i) $\frac{a}{2} < 2$ つまり $a < 4$ のとき：$t = 2$ で最小
(ii) $2 \leq \frac{a}{2} \leq 4$ つまり $4 \leq a \leq 8$ のとき：$t = \frac{a}{2}$ で最小
(iii) $\frac{a}{2} > 4$ つまり $a > 8$ のとき：$t = 4$ で最小
場合分けの境界値（$a = 4$ や $a = 8$）で答えが一致することを確認するのも大切です。
「$g(x, y) = 0$ のもとで $f(x, y)$ の最大・最小を求める」問題を条件付き最適化といいます。高校では代入や相加相乗平均で解きますが、大学数学ではラグランジュの未定乗数法という強力な手法が使えます。
$\nabla f = \lambda \nabla g$（勾配ベクトルが平行になる点を探す）という条件を立てることで、機械的に極値を求められます。物理学や経済学でも必須のツールです。
指数・対数の最大最小問題は、いくつかのパターンに分類できます。問題を見たとき、どの方針を選ぶか迷わないように整理しておきましょう。
| パターン | 見分け方 | 解法 |
|---|---|---|
| 指数の2次式型 | $4^x$ と $2^x$ が混在 | $2^x = t$ とおき、$t$ の2次関数に帰着 |
| 対数の2次式型 | $(\log x)^2$ と $\log x$ が混在 | $\log x = t$ とおき、$t$ の2次関数に帰着 |
| $a^x + a^{-x}$ 型 | $a^x$ と $a^{-x}$ の和・差 | 相加相乗平均、または $a^x + a^{-x} = u$ とおき換え |
| 2変数・積の条件 | $xy = k$ の条件がある | 対数をとって和の条件に変換 |
| 2変数・和の条件 | $x + y = k$ で $\log$ の和を最大化 | $\log(xy)$ に変形し、相加相乗平均で $xy$ の最大値 |
| 定数パラメータ型 | 定数 $a$ を含む式 | おき換え後、軸と区間の位置関係で場合分け |
どのパターンでも、最初にやるべきことは底の統一です。$4^x$、$8^x$ は $2^x$ のべき乗に、$\log_4 x$、$\log_8 x$ は底の変換公式で $\log_2 x$ に統一します。底がバラバラのままおき換えても、きれいな式になりません。
おき換えを行ったら、以下を毎回確認しましょう。
指数のおき換え（$a^x = t$、$p \leq x \leq q$）
$a > 1$ のとき：$a^p \leq t \leq a^q$
$0 < a < 1$ のとき：$a^q \leq t \leq a^p$
対数のおき換え（$\log_a x = t$、$p \leq x \leq q$、$p > 0$）
$a > 1$ のとき：$\log_a p \leq t \leq \log_a q$
$0 < a < 1$ のとき：$\log_a q \leq t \leq \log_a p$
いずれも $a$ と $1$ の大小関係で不等号の向きが決まります。
おき換えて $t$ の値で最大・最小を求めた後、$x$ の値に戻すのを忘れる答案がよくあります。
✗ 誤り：$t = 4$ のとき最小値 $-3$（$t$ の値だけ書いて終わり）
✓ 正しい：$t = 4$ すなわち $2^x = 4$ より $x = 2$ のとき最小値 $-3$
「おき換えで解いた答えは仮の姿。元の文字に翻訳するまでが解答」と心得ましょう。
Q1. $2^x = t$ とおくとき、$4^x + 3 \cdot 2^x$ を $t$ の式で表せ。また $t$ の取りうる値の範囲を述べよ。
Q2. $0 \leq x \leq 2$ のとき、$y = 4^x - 6 \cdot 2^x + 5$ の最小値を求めよ。
Q3. $1 \leq x \leq 4$ のとき $\log_2 x = t$ とおくと、$t$ の変域を求めよ。底を $\frac{1}{2}$ に変えた場合はどうなるか。
Q4. $a > 0$、$b > 0$、$ab = 9$ のとき、$a + b$ の最小値を相加相乗平均を用いて求めよ。
Q5. $3^x + 3^{1-x}$ の最小値を求めよ。
$-1 \leq x \leq 2$ のとき、関数 $y = 4^x - 4 \cdot 2^x + 3$ の最大値と最小値、およびそのときの $x$ の値を求めよ。
$4^x = (2^x)^2$ なので $2^x = t$ とおけば $t$ の2次関数になります。$x$ の変域から $t$ の変域を定め、平方完成して最大・最小を求めます。
$2^x = t$ とおくと、$-1 \leq x \leq 2$ より $2^{-1} \leq t \leq 2^2$ すなわち $\frac{1}{2} \leq t \leq 4$。
$$y = t^2 - 4t + 3 = (t - 2)^2 - 1$$
$\frac{1}{2} \leq t \leq 4$ において、
$t = 2$（$2^x = 2$ より $x = 1$）のとき 最小値 $-1$
$t = 4$（$2^x = 4$ より $x = 2$）のとき 最大値 $3$
（$t = \frac{1}{2}$ のとき $y = \frac{1}{4} - 2 + 3 = \frac{5}{4}$ なので $t = 4$ のときが最大）
$1 \leq x \leq 9$ のとき、関数 $y = (\log_3 x)^2 - 4\log_3 x + 1$ の最大値と最小値を求めよ。また、そのときの $x$ の値を求めよ。
$\log_3 x = t$ とおくと $y$ は $t$ の2次関数になります。底 $3 > 1$ なので、$1 \leq x \leq 9$ から $t$ の変域を求めます。
$\log_3 x = t$ とおくと、底 $3 > 1$（単調増加）より $1 \leq x \leq 9$ のとき $\log_3 1 \leq t \leq \log_3 9$、すなわち $0 \leq t \leq 2$。
$$y = t^2 - 4t + 1 = (t - 2)^2 - 3$$
$0 \leq t \leq 2$ において、
$t = 2$（$\log_3 x = 2$ より $x = 9$）のとき 最小値 $-3$
$t = 0$（$\log_3 x = 0$ より $x = 1$）のとき 最大値 $1$
$x > 0$、$y > 0$、$x + y = 6$ のとき、次の値を求めよ。
(1) $xy$ の最大値とそのときの $x$、$y$ の値
(2) $\log_2 x + \log_2 y$ の最大値とそのときの $x$、$y$ の値
(1) は「和が定数のとき、積の最大値」なので相加相乗平均を使います。(2) は $\log_2 x + \log_2 y = \log_2(xy)$ と変形し、(1) の結果を利用します。
(1) 相加相乗平均より $\frac{x + y}{2} \geq \sqrt{xy}$ なので $3 \geq \sqrt{xy}$、よって $xy \leq 9$。
等号は $x = y$ すなわち $x = y = 3$ のとき。よって $xy$ の最大値は $9$。
(2) $\log_2 x + \log_2 y = \log_2(xy)$
底 $2 > 1$ なので、$xy$ が最大のとき $\log_2(xy)$ も最大。
(1) より $xy$ の最大値は $9$（$x = y = 3$ のとき）。
よって $\log_2 x + \log_2 y$ の最大値は $\log_2 9 = 2\log_2 3$（$x = y = 3$ のとき）。
$x \geq 2$、$y \geq 2$、$xy = 16$ のとき、$(\log_2 x)(\log_2 y)$ の最大値と最小値を求めよ。また、そのときの $x$、$y$ の値を求めよ。
条件 $xy = 16$ を対数の世界に翻訳し、$\log_2 x = s$、$\log_2 y = t$ とおいて1変数化します。$s + t$ が定数となるので、$st$ は $s$ の2次関数として扱えます。
$\log_2 x = s$、$\log_2 y = t$ とおく。
$xy = 16$ の両辺の $\log_2$ をとると $s + t = 4$。
$x \geq 2$ より $s \geq 1$、$y \geq 2$ より $t \geq 1$。$s + t = 4$ と合わせて $1 \leq s \leq 3$。
$$(\log_2 x)(\log_2 y) = st = s(4 - s) = -s^2 + 4s = -(s - 2)^2 + 4$$
$1 \leq s \leq 3$ において、
$s = 2$（$x = 4$、$y = 4$）のとき 最大値 $4$
$s = 1$（$x = 2$、$y = 8$）または $s = 3$（$x = 8$、$y = 2$）のとき 最小値 $3$