「$\sin\theta = \dfrac{1}{2}$ を満たす $\theta$ をすべて求めよ」── 三角関数の方程式を解くとは、単位円上で条件を満たす角を見つけることです。
単位円との対応を常に意識し、解の漏れなく正確に求める方法を身につけましょう。
三角関数を含む方程式の最も基本的な形 $\sin\theta = k$ から始めましょう。この方程式を解くとは、単位円上で $y$ 座標が $k$ となる点に対応する角 $\theta$ を求めることです。
三角関数の方程式を解くとは、単位円上で幾何学的な条件を満たす点を見つけ、その点に対応する角 $\theta$ を求めることです。公式の暗記ではなく、単位円の図を描いて考えることが最も確実な方法です。
$\sin\theta = k$ なら「$y = k$ の水平線と単位円の交点」、$\cos\theta = k$ なら「$x = k$ の垂直線と単位円の交点」を探します。
単位円は原点を中心とする半径1の円 $x^2 + y^2 = 1$ です。$\sin\theta$ は単位円上の点の $y$ 座標なので、$\sin\theta = k$ は直線 $y = k$ と単位円の交点を求めることに対応します。
$\sin\alpha = k$（$0 \leq \alpha \leq \dfrac{\pi}{2}$）となる角 $\alpha$ がわかっているとき、$0 \leq \theta < 2\pi$ での解は次のようになります。
$\sin\alpha = k$（$0 \leq \alpha \leq \dfrac{\pi}{2}$）のとき、
$$\sin\theta = k \implies \theta = \alpha, \quad \pi - \alpha$$
ただし $k = 1$ のとき $\theta = \dfrac{\pi}{2}$ のみ、$k = -1$ のとき $\theta = \dfrac{3\pi}{2}$ のみ。$k = 0$ のとき $\theta = 0, \pi$。
例題1：$0 \leq \theta < 2\pi$ のとき、$\sin\theta = \dfrac{1}{2}$ を解け。
解：$\sin\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{1}{2}$ なので $\alpha = \dfrac{\pi}{6}$。
$$\theta = \frac{\pi}{6}, \quad \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$$
例題2：$0 \leq \theta < 2\pi$ のとき、$\sin\theta = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ を解け。
解：$\sin\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ なので、$\sin\theta = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ の解は第3象限と第4象限にあります。
$$\theta = \pi + \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}, \quad 2\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{3}$$
$\theta$ の範囲に制限がない場合、三角関数の周期性から無限に多くの解が存在します。
$\sin\alpha = k$（$-\dfrac{\pi}{2} \leq \alpha \leq \dfrac{\pi}{2}$）のとき、
$$\theta = \alpha + 2n\pi \quad \text{または} \quad \theta = (\pi - \alpha) + 2n\pi \quad (n \text{ は整数})$$
$2n\pi$ は $\sin$ の周期 $2\pi$ ごとに解が繰り返されることを表しています。
$\sin\theta = k$ の一般解は $\theta = (-1)^n \alpha + n\pi$（$n$ は整数）と1つの式にまとめることもできます。$n$ が偶数のとき $\theta = \alpha + 2m\pi$、$n$ が奇数のとき $\theta = (\pi - \alpha) + 2m\pi$ に対応します。
ただし慣れないうちは、2つの式に分けて書く方が間違いにくいでしょう。
$\cos\theta$ は単位円上の点の $x$ 座標です。したがって $\cos\theta = k$ は、直線 $x = k$ と単位円の交点を求めることに対応します。
$\cos\theta = k$ の場合、$x = k$ の直線は単位円と $x$ 軸に関して対称な2点で交わります。したがって、1つの解 $\alpha$ が見つかれば、もう1つの解は $-\alpha$（すなわち $2\pi - \alpha$）です。
$\cos\alpha = k$（$0 \leq \alpha \leq \pi$）のとき、
$$\cos\theta = k \implies \theta = \alpha, \quad 2\pi - \alpha$$
ただし $k = 1$ のとき $\theta = 0$ のみ、$k = -1$ のとき $\theta = \pi$ のみ。
例題：$0 \leq \theta < 2\pi$ のとき、$\cos\theta = -\dfrac{1}{2}$ を解け。
解：$\cos\dfrac{2\pi}{3} = -\dfrac{1}{2}$ なので $\alpha = \dfrac{2\pi}{3}$。
$$\theta = \frac{2\pi}{3}, \quad 2\pi - \frac{2\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}$$
$\cos\alpha = k$（$0 \leq \alpha \leq \pi$）のとき、
$$\theta = \pm\alpha + 2n\pi \quad (n \text{ は整数})$$
$\cos$ は偶関数（$\cos(-\alpha) = \cos\alpha$）なので、$\pm$ が自然に現れます。
$\sin\theta = k$ の一般解は $\theta = \alpha + 2n\pi$ と $\theta = (\pi - \alpha) + 2n\pi$ の2系列。これは直線 $y = k$ と単位円の2つの交点が、$y$ 軸に関して対称であることに由来します。
$\cos\theta = k$ の一般解は $\theta = \pm\alpha + 2n\pi$ の1式。これは直線 $x = k$ と単位円の2つの交点が、$x$ 軸に関して対称であることに由来します。
いずれも単位円の図を描けば自然に理解できます。
| 方程式 | 基本角 | 一般解 |
|---|---|---|
| $\sin\theta = k$ | $\sin\alpha = k$（$-\dfrac{\pi}{2} \leq \alpha \leq \dfrac{\pi}{2}$） | $\theta = \alpha + 2n\pi$, $(\pi - \alpha) + 2n\pi$ |
| $\cos\theta = k$ | $\cos\alpha = k$（$0 \leq \alpha \leq \pi$） | $\theta = \pm\alpha + 2n\pi$ |
$\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$ は、原点と単位円上の点を結ぶ直線の傾きです。したがって $\tan\theta = k$ は、傾き $k$ の原点を通る直線 $y = kx$ と単位円の交点を求めることに対応します。
原点を通る直線は必ず単位円と2点で交わり、その2点は原点に関して対称（角度が $\pi$ だけ異なる）です。よって、$0 \leq \theta < 2\pi$ の範囲で常に2つの解があります。
$\tan\alpha = k$（$-\dfrac{\pi}{2} < \alpha < \dfrac{\pi}{2}$）のとき、
$$\tan\theta = k \implies \theta = \alpha, \quad \alpha + \pi$$
$\tan$ の周期は $\pi$ なので、$\pi$ 間隔で解が現れます。
$\tan\alpha = k$（$-\dfrac{\pi}{2} < \alpha < \dfrac{\pi}{2}$）のとき、
$$\theta = \alpha + n\pi \quad (n \text{ は整数})$$
$\tan$ の周期は $\pi$（$\sin$, $\cos$ の半分）なので、$2n\pi$ ではなく $n\pi$ です。
例題：$0 \leq \theta < 2\pi$ のとき、$\tan\theta = -1$ を解け。
解：$\tan\left(-\dfrac{\pi}{4}\right) = -1$ なので $\alpha = -\dfrac{\pi}{4}$。
$0 \leq \theta < 2\pi$ の範囲で $\theta = \alpha + n\pi$ を求めると、
$$n = 0 : \theta = -\frac{\pi}{4} \quad (\text{範囲外})$$
$$n = 1 : \theta = -\frac{\pi}{4} + \pi = \frac{3\pi}{4}$$
$$n = 2 : \theta = -\frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{7\pi}{4}$$
よって $\theta = \dfrac{3\pi}{4}, \dfrac{7\pi}{4}$。
$\tan\theta = k$ の一般解は $\theta = \alpha + n\pi$ ですが、$\sin\theta = k$ や $\cos\theta = k$ の一般解は $2n\pi$ の周期です。ここを混同すると解の漏れが生じます。
✗ 誤り：$\tan\theta = 1$ の一般解を $\theta = \dfrac{\pi}{4} + 2n\pi$ とする（半分の解を落としている）
✓ 正しい：$\tan\theta = 1$ の一般解は $\theta = \dfrac{\pi}{4} + n\pi$
逆に、$\sin\theta = k$ で $n\pi$ としてしまうと、存在しない解を含めてしまうこともあります。常に単位円を描いて確認しましょう。
大学数学では $\sin\theta = k$ の「基本角」を $\alpha = \arcsin k$（逆正弦関数）と書きます。$\arcsin$ の値域は $-\dfrac{\pi}{2} \leq \alpha \leq \dfrac{\pi}{2}$ と定められており、これが一般解の出発点 $\alpha$ に対応します。
同様に $\arccos k$ の値域は $0 \leq \alpha \leq \pi$、$\arctan k$ の値域は $-\dfrac{\pi}{2} < \alpha < \dfrac{\pi}{2}$ です。
$\sin\theta = k$ のような基本形だけでなく、変形が必要な方程式もよく出題されます。代表的な2つのタイプを見ていきましょう。
$\sin 2\theta = k$ の形の方程式では、$2\theta = t$ と置き換えて $\sin t = k$ を解きます。
例題：$0 \leq \theta < 2\pi$ のとき、$\sin 2\theta = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ を解け。
解：$t = 2\theta$ とおくと、$0 \leq \theta < 2\pi$ より $0 \leq t < 4\pi$。
$\sin t = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ を解くと、$\sin\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ より
$$t = \frac{\pi}{3}, \quad \frac{2\pi}{3}, \quad \frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{7\pi}{3}, \quad \frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{8\pi}{3}$$
$\theta = \dfrac{t}{2}$ に戻すと、
$$\theta = \frac{\pi}{6}, \quad \frac{\pi}{3}, \quad \frac{7\pi}{6}, \quad \frac{4\pi}{3}$$
$2\theta = t$ と置き換えたとき、$\theta$ の範囲に応じて $t$ の範囲が変わります。
✗ 誤り：$0 \leq \theta < 2\pi$ で $\sin 2\theta = k$ を解くとき、$0 \leq t < 2\pi$ とする
✓ 正しい：$0 \leq \theta < 2\pi$ なら $0 \leq t < 4\pi$ とする
$t$ の範囲を $0 \leq t < 2\pi$ にしてしまうと、解の半分を見落とします。
$a\sin\theta + b\cos\theta = c$ の形は、三角関数の合成を用いて1つの三角関数にまとめてから解きます。
$$a\sin\theta + b\cos\theta = \sqrt{a^2 + b^2}\sin(\theta + \varphi)$$
ただし $\cos\varphi = \dfrac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}$、$\sin\varphi = \dfrac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}$
合成後は $\sin(\theta + \varphi) = \dfrac{c}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ の形になり、基本形に帰着します。
例題：$0 \leq \theta < 2\pi$ のとき、$\sin\theta + \cos\theta = 1$ を解け。
解：合成すると $\sin\theta + \cos\theta = \sqrt{2}\sin\left(\theta + \dfrac{\pi}{4}\right)$。
$$\sqrt{2}\sin\left(\theta + \frac{\pi}{4}\right) = 1 \implies \sin\left(\theta + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}}$$
$t = \theta + \dfrac{\pi}{4}$ とおくと、$\dfrac{\pi}{4} \leq t < \dfrac{9\pi}{4}$。
$\sin t = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$ より $t = \dfrac{\pi}{4}, \dfrac{3\pi}{4}$（この範囲で）。
$\theta = t - \dfrac{\pi}{4}$ より
$$\theta = 0, \quad \frac{\pi}{2}$$
$a\sin\theta + b\cos\theta = c$ が解をもつ条件は、合成後の式から
$$\left|\frac{c}{\sqrt{a^2 + b^2}}\right| \leq 1 \iff c^2 \leq a^2 + b^2$$
この不等式が成り立たないとき、方程式は解をもちません。
$t = \tan\dfrac{\theta}{2}$ とおくと $\sin\theta = \dfrac{2t}{1+t^2}$、$\cos\theta = \dfrac{1-t^2}{1+t^2}$ と表せます（ワイエルシュトラス置換）。これを用いると、三角関数の方程式を $t$ の有理方程式に変換でき、統一的に解くことができます。
ただし $\theta = \pi$（$t \to \infty$）のときの解を見落とさないよう注意が必要です。
三角関数の相互関係を使って方程式を変形する問題です。
例題：$0 \leq \theta < 2\pi$ のとき、$2\sin^2\theta - \cos\theta - 1 = 0$ を解け。
解：$\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta$ を代入すると、
$$2(1 - \cos^2\theta) - \cos\theta - 1 = 0$$
$$-2\cos^2\theta - \cos\theta + 1 = 0$$
$$2\cos^2\theta + \cos\theta - 1 = 0$$
$\cos\theta = u$ とおくと $2u^2 + u - 1 = 0$、$(2u - 1)(u + 1) = 0$ より $u = \dfrac{1}{2}$ または $u = -1$。
$\cos\theta = \dfrac{1}{2}$ より $\theta = \dfrac{\pi}{3}, \dfrac{5\pi}{3}$。
$\cos\theta = -1$ より $\theta = \pi$。
よって $\theta = \dfrac{\pi}{3}, \pi, \dfrac{5\pi}{3}$。
$\theta$ の範囲が $0 \leq \theta < 2\pi$ 以外に指定される場合もあります。一般解を求めてから、指定された範囲に含まれる解を選び出しましょう。
例題：$-\pi \leq \theta < \pi$ のとき、$\cos\theta = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ を解け。
解：$\cos\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ より、一般解は $\theta = \pm\dfrac{\pi}{6} + 2n\pi$。
$-\pi \leq \theta < \pi$ の範囲で $n = 0$ として $\theta = \dfrac{\pi}{6}, -\dfrac{\pi}{6}$。
パラメータを含む方程式では、解の個数がパラメータの値によって変わることがあります。
例題：$0 \leq \theta < 2\pi$ のとき、方程式 $\cos\theta = a$ の解の個数を実数 $a$ の値によって場合分けせよ。
解：直線 $x = a$ と単位円の交点の個数を考えます。
| $a$ の範囲 | 解の個数 | 理由 |
|---|---|---|
| $a < -1$ または $a > 1$ | 0個 | 直線 $x = a$ が単位円と交わらない |
| $a = -1$ | 1個（$\theta = \pi$） | 直線 $x = -1$ が単位円に接する |
| $-1 < a < 1$ | 2個 | 直線 $x = a$ が単位円と2点で交わる |
| $a = 1$ | 1個（$\theta = 0$） | 直線 $x = 1$ が単位円に接する |
三角関数の方程式の解の個数は、単位円と直線（または曲線）の交点の個数に一致します。単位円の図を描き、条件に対応する図形との位置関係を調べれば、パラメータによる場合分けが視覚的に理解できます。
特に、$\sin\theta = a$ なら水平線 $y = a$、$\cos\theta = a$ なら垂直線 $x = a$ との交点を数えます。
2つの三角関数の条件を同時に満たす $\theta$ を求める問題もあります。
例題：$0 \leq \theta < 2\pi$ のとき、$\sin\theta = \dfrac{1}{2}$ かつ $\cos\theta < 0$ を満たす $\theta$ を求めよ。
解：$\sin\theta = \dfrac{1}{2}$ より $\theta = \dfrac{\pi}{6}, \dfrac{5\pi}{6}$。
このうち $\cos\theta < 0$ を満たすのは第2象限の $\theta = \dfrac{5\pi}{6}$。
Q1. $0 \leq \theta < 2\pi$ のとき、$\sin\theta = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ を解け。
Q2. $0 \leq \theta < 2\pi$ のとき、$\cos\theta = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$ を解け。
Q3. $0 \leq \theta < 2\pi$ のとき、$\tan\theta = \sqrt{3}$ を解け。
Q4. $\sin\theta = k$ の一般解と $\tan\theta = k$ の一般解では、周期の部分がどう異なるか答えよ。
Q5. $0 \leq \theta < 2\pi$ のとき、$\sin\theta + \cos\theta = \sqrt{2}$ を解け。
$0 \leq \theta < 2\pi$ のとき、次の方程式を解け。
(1) $2\sin\theta - 1 = 0$
(2) $2\cos\theta + \sqrt{3} = 0$
(3) $\tan\theta + \dfrac{1}{\sqrt{3}} = 0$
(1) $\sin\theta = \dfrac{1}{2}$ より、$\theta = \dfrac{\pi}{6}, \dfrac{5\pi}{6}$
(2) $\cos\theta = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ より、$\cos\dfrac{5\pi}{6} = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ なので $\theta = \dfrac{5\pi}{6}, \dfrac{7\pi}{6}$
(3) $\tan\theta = -\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ より、$\tan\left(-\dfrac{\pi}{6}\right) = -\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ なので $\theta = -\dfrac{\pi}{6} + \pi = \dfrac{5\pi}{6}, \quad -\dfrac{\pi}{6} + 2\pi = \dfrac{11\pi}{6}$
$0 \leq \theta < 2\pi$ のとき、次の方程式を解け。
$$2\cos^2\theta - 3\sin\theta = 0$$
$\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta$ を代入して
$$2(1 - \sin^2\theta) - 3\sin\theta = 0$$
$$2\sin^2\theta + 3\sin\theta - 2 = 0$$
$\sin\theta = s$ とおくと $(2s - 1)(s + 2) = 0$ より $s = \dfrac{1}{2}$ または $s = -2$。
$-1 \leq \sin\theta \leq 1$ なので $s = -2$ は不適。
$\sin\theta = \dfrac{1}{2}$ より $\theta = \dfrac{\pi}{6}, \dfrac{5\pi}{6}$。
$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ を用いて $\sin\theta$ のみの式に統一し、$\sin\theta$ の2次方程式として解きます。$\sin\theta$ の値域 $[-1, 1]$ による吟味を忘れないことが重要です。
$0 \leq \theta < 2\pi$ のとき、次の方程式を解け。
$$\sin\theta - \sqrt{3}\cos\theta = \sqrt{3}$$
三角関数の合成を行う。$a = 1$, $b = -\sqrt{3}$ より
$$\sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{4} = 2$$
$\cos\varphi = \dfrac{1}{2}$, $\sin\varphi = \dfrac{-\sqrt{3}}{2}$ より $\varphi = -\dfrac{\pi}{3}$。
$$2\sin\left(\theta - \frac{\pi}{3}\right) = \sqrt{3}$$
$$\sin\left(\theta - \frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$$
$t = \theta - \dfrac{\pi}{3}$ とおくと、$-\dfrac{\pi}{3} \leq t < \dfrac{5\pi}{3}$。
$\sin t = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ より $t = \dfrac{\pi}{3}, \dfrac{2\pi}{3}$。
$\theta = t + \dfrac{\pi}{3}$ より
$$\theta = \frac{2\pi}{3}, \quad \pi$$
$a\sin\theta + b\cos\theta$ の合成では、$\sqrt{a^2+b^2}\sin(\theta + \varphi)$ の形にまとめます。$\varphi$ の符号と $t$ の範囲に注意して解きましょう。
$0 \leq \theta < 2\pi$ のとき、方程式 $\sin 2\theta + \sin\theta = 0$ を解け。また、方程式 $\sin 2\theta = a\sin\theta$（$a$ は実数の定数）の解の個数を $a$ の値で場合分けして求めよ。
前半：$\sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta$ を用いて
$$2\sin\theta\cos\theta + \sin\theta = 0$$
$$\sin\theta(2\cos\theta + 1) = 0$$
$\sin\theta = 0$ より $\theta = 0, \pi$。
$\cos\theta = -\dfrac{1}{2}$ より $\theta = \dfrac{2\pi}{3}, \dfrac{4\pi}{3}$。
よって $\theta = 0, \dfrac{2\pi}{3}, \pi, \dfrac{4\pi}{3}$。
後半：$\sin 2\theta = a\sin\theta$ を変形すると
$$2\sin\theta\cos\theta - a\sin\theta = 0$$
$$\sin\theta(2\cos\theta - a) = 0$$
(i) $\sin\theta = 0$ より $\theta = 0, \pi$（常に2個の解）。
(ii) $\cos\theta = \dfrac{a}{2}$ について場合分け。
$\dfrac{a}{2} = 1$（$a = 2$）のとき：$\cos\theta = 1$ より $\theta = 0$。(i)と重複するので新たな解は0個。
$\dfrac{a}{2} = -1$（$a = -2$）のとき：$\cos\theta = -1$ より $\theta = \pi$。(i)と重複するので新たな解は0個。
$-1 < \dfrac{a}{2} < 1$（$-2 < a < 2$）のとき：$\cos\theta = \dfrac{a}{2}$ の解が2個。
ただし $\dfrac{a}{2} = 1$ や $\dfrac{a}{2} = -1$ でないので (i)と重複しない。新たな解は2個。
$\left|\dfrac{a}{2}\right| > 1$（$a < -2$ または $a > 2$）のとき：$\cos\theta = \dfrac{a}{2}$ は解なし。新たな解は0個。
まとめると
$a < -2$ のとき：2個（$\theta = 0, \pi$）
$a = -2$ のとき：2個（$\theta = 0, \pi$）
$-2 < a < 2$ のとき：4個（$\sin\theta = 0$ の2個と $\cos\theta = \dfrac{a}{2}$ の2個）
$a = 2$ のとき：2個（$\theta = 0, \pi$）
$a > 2$ のとき：2個（$\theta = 0, \pi$）