tanのグラフと性質
─ 漸近線をもつ「第三の三角関数」

1$y = \tan\theta$ の基本グラフ

$\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$ と定義されるので、$\cos\theta = 0$ となる $\theta$ では値が定義されません。まずは具体的な値を確認しましょう。

代表的な値の確認

$\theta$ が $0$ から $\dfrac{\pi}{2}$ に近づくとき、$\sin\theta \to 1$、$\cos\theta \to 0^+$ なので $\tan\theta \to +\infty$ と限りなく大きくなります。

グラフの形状

$y = \tan\theta$ のグラフは、$-\dfrac{\pi}{2} < \theta < \dfrac{\pi}{2}$ の範囲で原点を通り、左下から右上へ急激に増加する曲線です。この形が周期 $\pi$ で繰り返されます。

基本的な性質のまとめ

• 周期：$\pi$（$\tan(\theta + \pi) = \tan\theta$）
• 漸近線：$\theta = \dfrac{\pi}{2} + n\pi$（$n$ は整数）
• 値域：$(-\infty, \infty)$（実数全体）
• 対称性：奇関数（$\tan(-\theta) = -\tan\theta$、原点対称）
• 単調増加：各区間 $\left(-\dfrac{\pi}{2} + n\pi,\, \dfrac{\pi}{2} + n\pi\right)$ で単調増加

2漸近線と定義域

漸近線が現れる理由

$\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$ なので、$\cos\theta = 0$ となる $\theta$ では $\tan\theta$ は定義されません。$\cos\theta = 0$ となるのは

$$\theta = \frac{\pi}{2} + n\pi \quad (n \text{ は整数})$$

すなわち $\theta = \pm\dfrac{\pi}{2},\, \pm\dfrac{3\pi}{2},\, \pm\dfrac{5\pi}{2},\, \ldots$ のときです。

漸近線の挙動

$\theta$ が $\dfrac{\pi}{2}$ に左から近づくとき（$\theta \to \dfrac{\pi}{2}^-$）：

$\sin\theta \to 1$、$\cos\theta \to 0^+$ なので $\tan\theta \to +\infty$

$\theta$ が $\dfrac{\pi}{2}$ に右から近づくとき（$\theta \to \dfrac{\pi}{2}^+$）：

$\sin\theta \to 1$、$\cos\theta \to 0^-$ なので $\tan\theta \to -\infty$

グラフが通る特徴的な点

各区間の中央（$\theta = n\pi$）で $\tan\theta = 0$ です。また、$\theta = \dfrac{\pi}{4} + n\pi$ で $\tan\theta = 1$ です。これらの点をプロットすると、グラフの概形が描けます。

3$y = a\tan(b\theta)$ のグラフ

周期の変化：$b$ の役割

$y = \tan(b\theta)$ の周期は

漸近線の位置も変わります。$\cos(b\theta) = 0$ となるのは $b\theta = \dfrac{\pi}{2} + n\pi$ のとき、すなわち

$$\theta = \frac{\pi}{2b} + \frac{n\pi}{b} \quad (n \text{ は整数})$$

$a$ の役割：「傾き」の拡大

$y = a\tan(b\theta)$ における $a$ は、グラフの縦方向への拡大率です。しかし $\sin$, $\cos$ の場合と違い、$\tan$ には「振幅」の概念がありません。なぜなら $\tan$ の値域は常に $(-\infty, \infty)$ であり、$a$ を変えても値域は変わらないからです。

$a$ の効果は、グラフの原点付近での傾きを $a$ 倍にすることです。$|a|$ が大きいほどグラフは急になり、$|a|$ が小さいほどグラフは緩やかになります。

グラフの描き方の手順

$y = a\tan(b\theta + c) + d$ のグラフを描くには：

1. 周期を求める：$\dfrac{\pi}{|b|}$
2. 漸近線を求める：$b\theta + c = \dfrac{\pi}{2} + n\pi$ を解く
3. $\tan = 0$ となる点を求める：$b\theta + c = n\pi$ を解く
4. $\tan = \pm 1$ となる点をプロット
5. 漸近線の間を滑らかにつなぐ

具体例

例題：$y = 2\tan(3\theta)$ の周期と漸近線を求めよ。

解：

周期：$\dfrac{\pi}{|3|} = \dfrac{\pi}{3}$

漸近線：$3\theta = \dfrac{\pi}{2} + n\pi$ より $\theta = \dfrac{\pi}{6} + \dfrac{n\pi}{3}$（$n$ は整数）

4tanの性質とsin, cosとの関係

tanの定義と基本関係式

$\tan\theta$ は $\sin\theta$ と $\cos\theta$ の比として定義されます。

tanの符号と象限

$\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$ なので、$\tan\theta$ の符号は $\sin\theta$ と $\cos\theta$ の符号の組み合わせで決まります。

$\tan\theta$ が正になるのは第1象限と第3象限です。これは $\tan$ の周期が $\pi$ であることと整合しています。第1象限から $\pi$ 進むと第3象限に移り、同じ正の値をとるのです。

奇関数としての性質

$\tan(-\theta) = \dfrac{\sin(-\theta)}{\cos(-\theta)} = \dfrac{-\sin\theta}{\cos\theta} = -\tan\theta$

よって $\tan$ は奇関数であり、グラフは原点に関して対称です。

tanの値からsin, cosを求める例

例題：$\tan\theta = 2$、$\theta$ が第3象限の角のとき、$\sin\theta$、$\cos\theta$ の値を求めよ。

解：

$1 + \tan^2\theta = \dfrac{1}{\cos^2\theta}$ より $1 + 4 = \dfrac{1}{\cos^2\theta}$、$\cos^2\theta = \dfrac{1}{5}$

第3象限では $\cos\theta < 0$ なので $\cos\theta = -\dfrac{1}{\sqrt{5}}$

$\sin\theta = \tan\theta \cdot \cos\theta = 2 \times \left(-\dfrac{1}{\sqrt{5}}\right) = -\dfrac{2}{\sqrt{5}}$

5tanグラフの応用

$\tan\theta = k$ の解の個数

$y = \tan\theta$ のグラフと直線 $y = k$（$k$ は定数）の交点の個数を考えます。

$\tan$ のグラフは各区間で $(-\infty, \infty)$ のすべての値をとるので、どんな実数 $k$ に対しても各区間に必ず1つの交点があります。

$\sin\theta = k$ との比較：$|\,k\,| > 1$ のとき $\sin\theta = k$ は解なしですが、$\tan\theta = k$ は常に解をもちます。これが $\tan$ のグラフの値域が $(-\infty, \infty)$ であることの直接的な帰結です。

直線の傾きとtanの関係

座標平面上で、$x$ 軸の正の方向と角 $\theta$ をなす直線の傾きは $\tan\theta$ です。

2直線のなす角

傾き $m_1$、$m_2$ の2直線のなす角 $\alpha$（鋭角）は

$$\tan\alpha = \left|\frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2}\right| \quad (m_1 m_2 \neq -1)$$

で求められます。$m_1 m_2 = -1$ のとき2直線は直交します。

具体例

例題：$0 \leq \theta < 2\pi$ のとき、$\tan\theta = -1$ を満たす $\theta$ をすべて求めよ。

解：

$\tan\theta = -1$ より、基本角は $\theta = \dfrac{3\pi}{4}$（第2象限で $\tan = -1$）。

$\tan$ の周期は $\pi$ なので、もう1つの解は $\theta = \dfrac{3\pi}{4} + \pi = \dfrac{7\pi}{4}$。

よって $\theta = \dfrac{3\pi}{4},\, \dfrac{7\pi}{4}$