「$y = \cos\theta$ のグラフはどんな形？ sinのグラフとどう違う？」── cosのグラフは sinのグラフと同じ波形ですが、スタート地点が異なります。
振幅・周期・位相・平行移動の変換をマスターし、sinとcosの関係を統一的に理解しましょう。
まずは $y = \cos\theta$ の基本的な性質を確認し、グラフの形を正確に把握しましょう。
単位円上の定義から、主要な角度での $\cos\theta$ の値は次の通りです。
| $\theta$ | $0$ | $\dfrac{\pi}{6}$ | $\dfrac{\pi}{4}$ | $\dfrac{\pi}{3}$ | $\dfrac{\pi}{2}$ | $\pi$ | $\dfrac{3\pi}{2}$ | $2\pi$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $\cos\theta$ | $1$ | $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ | $\dfrac{1}{2}$ | $0$ | $-1$ | $0$ | $1$ |
$y = \cos\theta$ のグラフは、次の性質をもつ滑らかな波形（余弦曲線）です。
$$y = \cos\theta \quad (\theta \in \mathbb{R})$$
周期 $2\pi$、振幅 $1$、値域 $[-1, 1]$
$\theta = 0$ で最大値 $1$ をとり、$\theta = \pi$ で最小値 $-1$ をとる。
偶関数：$\cos(-\theta) = \cos\theta$（$y$ 軸に関して対称）
$y = \sin\theta$ のグラフと $y = \cos\theta$ のグラフは同じ波形ですが、開始位置が異なります。
実は、cosのグラフはsinのグラフを $\theta$ 軸方向に $\dfrac{\pi}{2}$ だけ左に平行移動したものです。すなわち、
$$\cos\theta = \sin\!\left(\theta + \frac{\pi}{2}\right)$$
$y = \cos\theta$ と $y = \sin\theta$ は本質的に同じ波形であり、位相が $\dfrac{\pi}{2}$ だけ異なるだけです。
cosのグラフが $\theta = 0$ で最大値 $1$ をとるのは、sinのグラフが $\theta = \dfrac{\pi}{2}$ で最大値 $1$ をとることの反映です。この関係は三角関数の変換の基盤となります。
$\cos\theta$ は偶関数（$\cos(-\theta) = \cos\theta$）であり、$y$ 軸に関して対称です。一方、$\sin\theta$ は奇関数（$\sin(-\theta) = -\sin\theta$）であり、原点に関して対称です。
誤り：cosもsinもグラフの対称性は同じ
正しい：cosは $y$ 軸対称（偶関数）、sinは原点対称（奇関数）
$y = a\cos\theta$（$a \neq 0$）のグラフは、基本グラフ $y = \cos\theta$ を $y$ 軸方向に $|a|$ 倍に拡大・縮小したものです。
$$y = a\cos\theta$$
振幅：$|a|$、周期：$2\pi$、値域：$[-|a|,\, |a|]$
$a > 0$ のとき基本形と同じ向き。$a < 0$ のとき $\theta$ 軸に関して反転（上下反転）。
$y = a\sin\theta$ の振幅変換と全く同じ仕組みです。$|a|$ が振幅を決め、$a$ の符号が上下反転を決めます。cosでもsinでも、$y$ 方向の変換に違いはありません。
振幅の変換は $y$ 軸方向のスケーリングであり、波形の種類（sinかcosか）には依存しません。$y = a\cos\theta$ と $y = a\sin\theta$ はどちらも振幅 $|a|$ です。
$a < 0$ の場合は上下反転が起きますが、cosの場合は $-\cos\theta = \cos(\theta - \pi)$ とも書けるため、「上下反転」は「位相を $\pi$ ずらす」ことと同値です。
$y = \cos(b\theta)$（$b \neq 0$）のグラフは、$\theta$ 軸方向のスケーリングにより周期が変わります。
$$y = \cos(b\theta) \quad (b \neq 0)$$
周期：$\dfrac{2\pi}{|b|}$、振幅：$1$
$|b| > 1$ のとき周期は短くなり（波が詰まる）、$0 < |b| < 1$ のとき周期は長くなる（波が伸びる）。
$\cos(b\theta)$ が1周期分変化するには、$b\theta$ が $2\pi$ だけ変化する必要があります。
$$b\theta \text{ が } 2\pi \text{ 変化} \Leftrightarrow \theta \text{ が } \frac{2\pi}{|b|} \text{ 変化}$$
したがって、$y = \cos(b\theta)$ の周期は $\dfrac{2\pi}{|b|}$ です。
$b$ の符号については、$\cos(-b\theta) = \cos(b\theta)$（偶関数）なので、グラフの形状は $|b|$ だけで決まります。
$\cos(-b\theta) = \cos(b\theta)$ なので、$b$ が負でも正でもグラフは同じになります。したがって周期は $\dfrac{2\pi}{|b|}$ です。
これは $\sin(-b\theta) = -\sin(b\theta)$ となるsinの場合と異なる点です。sinの場合、$b$ の符号を変えるとグラフが上下反転しますが、cosの場合は変わりません。
誤り：$y = \cos(-2\theta)$ は $y = \cos(2\theta)$ と異なるグラフ
正しい：$\cos(-2\theta) = \cos(2\theta)$ なので全く同じグラフ
物理学では $y = \cos(\omega t)$ のように時刻 $t$ の関数として cos を使います。$\omega$ は角周波数（angular frequency）と呼ばれ、単位は rad/s です。
周期 $T = \dfrac{2\pi}{\omega}$、振動数 $f = \dfrac{1}{T} = \dfrac{\omega}{2\pi}$ です。cos で表される振動は、$t = 0$ で最大変位から始まるので、「最大から戻ってくる」タイプの振動を表すのに適しています。
$y = \cos(\theta - c)$ のグラフは、$y = \cos\theta$ のグラフを $\theta$ 軸方向に $c$ だけ平行移動したものです。
$$y = \cos(\theta - c)$$
$c > 0$ のとき：$\theta$ 軸の正の方向（右）に $c$ だけ平行移動
$c < 0$ のとき：$\theta$ 軸の負の方向（左）に $|c|$ だけ平行移動
「$\theta - c$ の形」なら右に $c$ 移動。括弧内の符号に注意。
$y = \cos\theta + d$ のグラフは、$y = \cos\theta$ のグラフを $y$ 軸方向に $d$ だけ平行移動したものです。
$$y = a\cos\!\left(b(\theta - c)\right) + d$$
振幅：$|a|$、周期：$\dfrac{2\pi}{|b|}$、位相：$c$（右に $c$ 移動）、上下移動：$d$
値域：$[d - |a|,\, d + |a|]$
例題：$y = 2\cos\!\left(3\theta - \dfrac{\pi}{4}\right) + 1$ の振幅、周期、位相、値域を求めよ。
解：まず、$\theta - c$ の形に変形します。
$$y = 2\cos\!\left(3\!\left(\theta - \frac{\pi}{12}\right)\right) + 1$$
$y = \cos(b\theta - c)$ の形のとき、位相移動量を $c$ と読んではいけません。正しくは $b$ でくくって $\cos\!\left(b\!\left(\theta - \dfrac{c}{b}\right)\right)$ とし、$\dfrac{c}{b}$ が位相移動量です。
誤り：$y = \cos(2\theta - \pi)$ の位相移動は右に $\pi$
正しい：$y = \cos\!\left(2\!\left(\theta - \dfrac{\pi}{2}\right)\right)$ なので、位相移動は右に $\dfrac{\pi}{2}$
$y = \cos(\theta - c)$ で「$\theta$ から $c$ を引いている」のに「右に移動する」のは、$y = \cos\theta$ の $\theta = 0$ で起きていたことが、$\theta = c$ で起きるようになるからです。
グラフの平行移動では、式の中の符号と移動方向が逆になることを常に意識しましょう。これは cos に限らず、あらゆる関数 $y = f(\theta - c)$ に共通する性質です。
sinとcosは次の関係式で結ばれています。
$$\cos\theta = \sin\!\left(\theta + \frac{\pi}{2}\right)$$
$$\sin\theta = \cos\!\left(\theta - \frac{\pi}{2}\right)$$
cosのグラフはsinのグラフを左に $\dfrac{\pi}{2}$ 移動したもの。sinのグラフはcosのグラフを右に $\dfrac{\pi}{2}$ 移動したもの。
sinの加法定理を用いて確認します。
$$\sin\!\left(\theta + \frac{\pi}{2}\right) = \sin\theta\cos\frac{\pi}{2} + \cos\theta\sin\frac{\pi}{2}$$
$\cos\dfrac{\pi}{2} = 0$、$\sin\dfrac{\pi}{2} = 1$ を代入すると、
$$= \sin\theta \cdot 0 + \cos\theta \cdot 1 = \cos\theta$$
よって $\cos\theta = \sin\!\left(\theta + \dfrac{\pi}{2}\right)$ が成り立ちます。 ■
sinとcosは位相が $\dfrac{\pi}{2}$ だけずれた同じ波形なので、どちらか一方を基本として他方を表現できます。
| 変換 | 数式 | グラフの操作 |
|---|---|---|
| cos → sin | $\cos\theta = \sin\!\left(\theta + \dfrac{\pi}{2}\right)$ | sinのグラフを左に $\dfrac{\pi}{2}$ 移動 |
| sin → cos | $\sin\theta = \cos\!\left(\theta - \dfrac{\pi}{2}\right)$ | cosのグラフを右に $\dfrac{\pi}{2}$ 移動 |
| cosの上下反転 | $-\cos\theta = \cos(\theta - \pi)$ | cosのグラフを右に $\pi$ 移動 |
| sinの上下反転 | $-\sin\theta = \sin(\theta - \pi)$ | sinのグラフを右に $\pi$ 移動 |
sinとcosの和は1つのsin（またはcos）にまとめることができます。これを三角関数の合成といいます。
$$a\sin\theta + b\cos\theta = \sqrt{a^2 + b^2}\sin(\theta + \alpha)$$
ただし $\cos\alpha = \dfrac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}$、$\sin\alpha = \dfrac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ です。
$\sin$ と $\cos$ は、同じ正弦波を異なるタイミングで見ているにすぎません。この認識に立つと、
- cosのグラフの変換は、sinの変換と全く同じ仕組みで理解できる
- $a\sin\theta + b\cos\theta$ が1つの正弦波に合成できるのも当然
- 三角関数の問題でsinとcosを自在に行き来できる
と感じられるはずです。この統一的視点が、入試での計算の効率を大きく向上させます。
大学の数学で学ぶオイラーの公式 $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$ を用いると、sinとcosは複素指数関数の実部と虚部として統一的に理解されます。
$\cos\theta = \mathrm{Re}(e^{i\theta})$、$\sin\theta = \mathrm{Im}(e^{i\theta})$ であり、位相のずれ $\dfrac{\pi}{2}$ は $e^{i\pi/2} = i$ を掛けることに対応します。
Q1. $y = \cos\theta$ のグラフにおいて、$0 \leq \theta \leq 2\pi$ の範囲で $y = 0$ となる $\theta$ の値をすべて求めよ。
Q2. $y = 3\cos\theta$ の振幅と値域を答えよ。
Q3. $y = \cos(4\theta)$ の周期を求めよ。
Q4. $y = \cos\!\left(\theta - \dfrac{\pi}{3}\right)$ のグラフは、$y = \cos\theta$ のグラフをどのように移動したものか。
Q5. $\cos\theta$ を $\sin$ を用いて表せ。
次の関数の振幅、周期、値域をそれぞれ求めよ。
(1) $y = 2\cos(3\theta)$
(2) $y = -\dfrac{1}{2}\cos\!\left(\dfrac{\theta}{2}\right) + 1$
(1) $y = 2\cos(3\theta)$
振幅：$|2| = 2$、周期：$\dfrac{2\pi}{3}$、値域：$[-2, 2]$
(2) $y = -\dfrac{1}{2}\cos\!\left(\dfrac{\theta}{2}\right) + 1$
振幅：$\left|-\dfrac{1}{2}\right| = \dfrac{1}{2}$、周期：$\dfrac{2\pi}{1/2} = 4\pi$
値域：$\left[1 - \dfrac{1}{2},\, 1 + \dfrac{1}{2}\right] = \left[\dfrac{1}{2},\, \dfrac{3}{2}\right]$
関数 $y = 3\cos\!\left(2\theta - \dfrac{\pi}{3}\right) - 1$ について、以下の問いに答えよ。
(1) 振幅、周期、位相移動量、値域を求めよ。
(2) $0 \leq \theta \leq \pi$ の範囲で $y$ が最大値をとるときの $\theta$ の値を求めよ。
(1) $y = 3\cos\!\left(2\!\left(\theta - \dfrac{\pi}{6}\right)\right) - 1$ と変形する。
振幅：$3$、周期：$\dfrac{2\pi}{2} = \pi$、位相移動：右に $\dfrac{\pi}{6}$、値域：$[-1 - 3,\, -1 + 3] = [-4, 2]$
(2) $y$ が最大値 $2$ をとるには $\cos\!\left(2\theta - \dfrac{\pi}{3}\right) = 1$ が必要。
$$2\theta - \frac{\pi}{3} = 0 \Leftrightarrow \theta = \frac{\pi}{6}$$
$0 \leq \theta \leq \pi$ の範囲で $2\theta - \dfrac{\pi}{3}$ は $-\dfrac{\pi}{3}$ から $\dfrac{5\pi}{3}$ まで動くので、$2\theta - \dfrac{\pi}{3} = 0$、すなわち $\theta = \dfrac{\pi}{6}$ で最大値をとる。
$\cos$ の中身を $b(\theta - c)$ の形にまとめてから読み取るのがポイントです。$2\theta - \dfrac{\pi}{3} = 2(\theta - \dfrac{\pi}{6})$ なので、位相移動量は $\dfrac{\pi}{3}$ ではなく $\dfrac{\pi}{6}$ です。
$y = \sin\theta$ のグラフを $\theta$ 軸方向に $p$、$y$ 軸方向に $q$ だけ平行移動したところ、$y = \cos\theta + 2$ のグラフと一致した。$p$、$q$ の値を求めよ。ただし $-\pi < p \leq \pi$ とする。
$y = \sin\theta$ を $\theta$ 軸方向に $p$、$y$ 軸方向に $q$ 移動すると
$$y = \sin(\theta - p) + q$$
これが $y = \cos\theta + 2$ に一致するので
$$\sin(\theta - p) + q = \cos\theta + 2$$
$\cos\theta = \sin\!\left(\theta + \dfrac{\pi}{2}\right)$ を使うと
$$\sin(\theta - p) + q = \sin\!\left(\theta + \frac{\pi}{2}\right) + 2$$
これがすべての $\theta$ で成り立つから
$$-p = \frac{\pi}{2}, \quad q = 2$$
$$p = -\frac{\pi}{2}, \quad q = 2$$
sinとcosの変換公式 $\cos\theta = \sin(\theta + \frac{\pi}{2})$ を用いて、両辺をsinの形に統一します。$\theta$ の係数と定数項を比較することで $p$、$q$ が求まります。
関数 $f(\theta) = 2\cos^2\theta + 2\sin\theta\cos\theta$ について、以下の問いに答えよ。
(1) $f(\theta)$ を $r\cos(a\theta + b) + c$ の形に変形せよ（$r > 0$、$0 \leq b < 2\pi$）。
(2) $0 \leq \theta \leq \pi$ における $f(\theta)$ の最大値と最小値を求め、そのときの $\theta$ の値をそれぞれ求めよ。
(1) 2倍角の公式を使って変形する。
$\cos^2\theta = \dfrac{1 + \cos 2\theta}{2}$ より $2\cos^2\theta = 1 + \cos 2\theta$
$2\sin\theta\cos\theta = \sin 2\theta$ より
$$f(\theta) = 1 + \cos 2\theta + \sin 2\theta$$
$\cos 2\theta + \sin 2\theta$ を合成する。$\sin 2\theta + \cos 2\theta = \sqrt{2}\sin\!\left(2\theta + \dfrac{\pi}{4}\right)$
これをcosの形に直す。$\sqrt{2}\sin\!\left(2\theta + \dfrac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2}\cos\!\left(2\theta - \dfrac{\pi}{4}\right)$
（$\sin\alpha = \cos\!\left(\alpha - \dfrac{\pi}{2}\right)$ を用いて $\sqrt{2}\cos\!\left(2\theta + \dfrac{\pi}{4} - \dfrac{\pi}{2}\right) = \sqrt{2}\cos\!\left(2\theta - \dfrac{\pi}{4}\right)$）
$$f(\theta) = \sqrt{2}\cos\!\left(2\theta - \frac{\pi}{4}\right) + 1$$
よって $r = \sqrt{2}$、$a = 2$、$b = \dfrac{7\pi}{4}$（$-\dfrac{\pi}{4}$ を $0 \leq b < 2\pi$ の範囲で表す）、$c = 1$。
(2) $0 \leq \theta \leq \pi$ のとき、$2\theta - \dfrac{\pi}{4}$ の範囲は $-\dfrac{\pi}{4} \leq 2\theta - \dfrac{\pi}{4} \leq \dfrac{7\pi}{4}$。
$\cos$ が最大値 $1$ をとるのは $2\theta - \dfrac{\pi}{4} = 0$、すなわち $\theta = \dfrac{\pi}{8}$ のとき。
$$f\!\left(\frac{\pi}{8}\right) = \sqrt{2} \cdot 1 + 1 = \sqrt{2} + 1$$
$\cos$ が最小値 $-1$ をとるのは $2\theta - \dfrac{\pi}{4} = \pi$、すなわち $\theta = \dfrac{5\pi}{8}$ のとき。
$$f\!\left(\frac{5\pi}{8}\right) = \sqrt{2} \cdot (-1) + 1 = 1 - \sqrt{2}$$
よって最大値は $\sqrt{2} + 1$（$\theta = \dfrac{\pi}{8}$）、最小値は $1 - \sqrt{2}$（$\theta = \dfrac{5\pi}{8}$）。
2倍角の公式で次数を下げてから三角関数の合成を行うのが定石です。$\cos^2\theta$ を $\dfrac{1 + \cos 2\theta}{2}$ に書き換え、$2\sin\theta\cos\theta = \sin 2\theta$ とすることで、$2\theta$ の三角関数に統一します。合成の結果をcosの形で表す際には、sinとcosの変換公式を活用します。