「半径 $r$、中心角 $\theta$ の扇形の弧長と面積は？」── 弧度法を用いれば、答えは驚くほどシンプルです。
度数法の煩雑な公式から解放され、$l = r\theta$、$S = \dfrac{1}{2}r^2\theta$ という美しい形を手に入れましょう。
三角関数の公式を学ぶ前に、扇形の基本的な構成要素を整理しておきましょう。
円の2本の半径と、その間の弧で囲まれた図形を扇形（sector）といいます。ピザの1切れやケーキの1ピースをイメージすると分かりやすいでしょう。
弧度法を使えば扇形の公式は「$l = r\theta$, $S = \dfrac{1}{2}r^2\theta$」と極めてシンプルになります。
これこそが弧度法が考案された最大の理由です。度数法の公式には $\pi$ や $180$ が入り込みますが、弧度法では「角度 = 弧長 / 半径」という定義そのものが公式を簡潔にします。
半径 $r$ の円において、長さ $r$ の弧に対する中心角を $1$ ラジアン（$1$ rad）と定義します。円周の長さは $2\pi r$ なので、1周は $2\pi$ ラジアンです。
$$360° = 2\pi \text{ rad}, \quad 180° = \pi \text{ rad}, \quad 1° = \frac{\pi}{180} \text{ rad}$$
| 度数法 | $30°$ | $45°$ | $60°$ | $90°$ | $120°$ | $180°$ | $360°$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 弧度法 | $\dfrac{\pi}{6}$ | $\dfrac{\pi}{4}$ | $\dfrac{\pi}{3}$ | $\dfrac{\pi}{2}$ | $\dfrac{2\pi}{3}$ | $\pi$ | $2\pi$ |
半径 $r$ の円の円周の長さは $2\pi r$ です。中心角 $\theta$（ラジアン）の扇形の弧は、1周（$2\pi$ ラジアン）のうち $\dfrac{\theta}{2\pi}$ の割合に当たります。
したがって、弧長 $l$ は次のようになります。
$$l = 2\pi r \times \frac{\theta}{2\pi} = r\theta$$
半径 $r$、中心角 $\theta$（ラジアン）の扇形の弧の長さ $l$ は
$$l = r\theta$$
$\theta$ はラジアンで代入すること。この公式は弧度法の定義「$\theta = \dfrac{l}{r}$」を変形しただけです。
中心角を度数法で $\alpha°$ と表す場合、$\theta = \dfrac{\pi \alpha}{180}$ を代入すると、
$$l = r \cdot \frac{\pi \alpha}{180} = \frac{\pi r \alpha}{180}$$
| 弧度法（$\theta$ rad） | 度数法（$\alpha°$） | |
|---|---|---|
| 弧長 | $l = r\theta$ | $l = \dfrac{\pi r \alpha}{180}$ |
弧度法のほうが格段にシンプルであることが一目瞭然です。これが三角関数で弧度法を使う最大の利点です。
$l = r\theta$ の公式で最も多いミスは、$\theta$ に度数法の値をそのまま代入することです。
✗ 誤り：半径 $3$、中心角 $60°$ の弧長 → $l = 3 \times 60 = 180$
✓ 正しい：$60° = \dfrac{\pi}{3}$ rad なので $l = 3 \times \dfrac{\pi}{3} = \pi$
$\theta$ には必ずラジアンを使うこと。度数法で与えられたら、まずラジアンに変換しましょう。
例題：半径 $6$ cm、中心角 $\dfrac{2\pi}{3}$ の扇形の弧の長さを求めよ。
解：$l = r\theta = 6 \times \dfrac{2\pi}{3} = 4\pi$ cm
半径 $r$ の円の面積は $\pi r^2$ です。中心角 $\theta$（ラジアン）の扇形は、円全体（$2\pi$ ラジアン）の $\dfrac{\theta}{2\pi}$ の割合なので、
$$S = \pi r^2 \times \frac{\theta}{2\pi} = \frac{1}{2}r^2\theta$$
半径 $r$ の円の面積は $\pi r^2$ であり、1周の角度は $2\pi$ ラジアンである。
中心角 $\theta$ の扇形は、円全体の $\dfrac{\theta}{2\pi}$ に相当するので、
$$S = \pi r^2 \times \frac{\theta}{2\pi} = \frac{\pi r^2 \theta}{2\pi} = \frac{1}{2}r^2\theta$$
これが扇形の面積の公式である。■
半径 $r$、中心角 $\theta$（ラジアン）、弧長 $l$ の扇形について
$$l = r\theta$$
$$S = \frac{1}{2}r^2\theta = \frac{1}{2}rl$$
第2の表現 $S = \dfrac{1}{2}rl$ は、$\theta = \dfrac{l}{r}$ を代入して得られます。「底辺 $l$、高さ $r$ の三角形の面積 $\dfrac{1}{2} \times$ 底辺 $\times$ 高さ」と形が同じです。
$S = \dfrac{1}{2}r^2\theta$ で $\theta = \dfrac{l}{r}$ を代入すると、
$$S = \frac{1}{2}r^2 \cdot \frac{l}{r} = \frac{1}{2}rl$$
この形は、三角形の面積公式 $S = \dfrac{1}{2} \times \text{底辺} \times \text{高さ}$ と全く同じ構造をしています。扇形の弧を「底辺」、半径を「高さ」と見ると覚えやすいでしょう。
| 弧度法（$\theta$ rad） | 度数法（$\alpha°$） | |
|---|---|---|
| 面積 | $S = \dfrac{1}{2}r^2\theta$ | $S = \dfrac{\pi r^2 \alpha}{360}$ |
例題：半径 $4$ cm、中心角 $\dfrac{\pi}{3}$ の扇形の面積を求めよ。
解：$S = \dfrac{1}{2}r^2\theta = \dfrac{1}{2} \times 4^2 \times \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2} \times 16 \times \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{8\pi}{3}$ cm$^2$
公式 $l = r\theta$、$S = \dfrac{1}{2}r^2\theta$ を連立すれば、弧長や面積から未知の量を逆算できます。
例題1：弧長 $l = 3\pi$、面積 $S = 6\pi$ の扇形の半径 $r$ と中心角 $\theta$ を求めよ。
解：$S = \dfrac{1}{2}rl$ より
$$6\pi = \frac{1}{2} \cdot r \cdot 3\pi$$
$$6\pi = \frac{3\pi r}{2} \quad \Longrightarrow \quad r = 4$$
$l = r\theta$ より
$$3\pi = 4\theta \quad \Longrightarrow \quad \theta = \frac{3\pi}{4}$$
例題2：半径 $r$、中心角 $\theta$ の扇形の面積が $S = 12$ で、弧長が $l = 8$ のとき、$r$ と $\theta$ を求めよ。
解：$S = \dfrac{1}{2}rl$ より $12 = \dfrac{1}{2} \cdot r \cdot 8 = 4r$ なので $r = 3$。
$l = r\theta$ より $8 = 3\theta$ なので $\theta = \dfrac{8}{3}$。
円錐の側面を切り開くと扇形になります。この関係は入試でもよく出題されます。
底面の半径が $r_0$、母線の長さが $l_0$ の円錐を考えます。側面を展開すると、半径 $l_0$（母線）、弧長 $2\pi r_0$（底面の円周）の扇形になります。
展開した扇形の中心角 $\theta$ ：
$$2\pi r_0 = l_0 \theta \quad \Longrightarrow \quad \theta = \frac{2\pi r_0}{l_0}$$
円錐の側面積：
$$S = \frac{1}{2} \cdot l_0 \cdot 2\pi r_0 = \pi r_0 l_0$$
円錐の側面積 $= \pi r_0 l_0$（$r_0$：底面の半径、$l_0$：母線の長さ）は、扇形の面積公式 $S = \dfrac{1}{2}rl$ から直ちに導けます。
展開図の扇形では「半径 = 母線 $l_0$」「弧長 = 底面の円周 $2\pi r_0$」なので、$S = \dfrac{1}{2} \times l_0 \times 2\pi r_0 = \pi r_0 l_0$ となります。
円錐の全表面積は「側面積 $+$ 底面積 $= \pi r_0 l_0 + \pi r_0^2 = \pi r_0(l_0 + r_0)$」です。
例題3：底面の半径が $3$ cm、母線の長さが $5$ cm の円錐がある。側面の展開図となる扇形の中心角と側面積を求めよ。
解：
展開図の扇形は、半径 $5$、弧長 $2\pi \times 3 = 6\pi$ です。
中心角：$\theta = \dfrac{6\pi}{5}$
側面積：$S = \dfrac{1}{2} \times 5 \times 6\pi = 15\pi$ cm$^2$
（または $S = \pi r_0 l_0 = \pi \times 3 \times 5 = 15\pi$ cm$^2$）
円の弦と弧で囲まれた図形を弓形（segment）といいます。弓形の面積は「扇形の面積 $-$ 三角形の面積」で求められます。
半径 $r$、中心角 $\theta$ の扇形から、2本の半径と弦で作られる二等辺三角形を引きます。この三角形の面積は $\dfrac{1}{2}r^2 \sin\theta$ なので、
半径 $r$、中心角 $\theta$ の弓形の面積は
$$S_{\text{弓形}} = \frac{1}{2}r^2\theta - \frac{1}{2}r^2\sin\theta = \frac{1}{2}r^2(\theta - \sin\theta)$$
$\theta$ はラジアン。三角形の面積 $\dfrac{1}{2}r^2\sin\theta$ は「2辺とその間の角の公式」から得られます。
例題1：半径 $6$、中心角 $\dfrac{\pi}{3}$ の弓形の面積を求めよ。
解：
$$S = \frac{1}{2} \times 6^2 \times \left(\frac{\pi}{3} - \sin\frac{\pi}{3}\right) = 18\left(\frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 6\pi - 9\sqrt{3}$$
扇形を含む図形の面積は、「足し引き」の考え方が基本です。
例題2：半径 $2$ の2つの円が、互いの中心を通るように交わっている。重なった部分（レンズ形）の面積を求めよ。
解：
2つの円の中心間の距離は $2$（半径に等しい）です。各円について、交点と中心を結ぶと正三角形（1辺 $2$）ができるので、中心角は $\dfrac{2\pi}{3}$（$= 120°$）です。
1つの弓形の面積は
$$\frac{1}{2} \times 2^2 \times \left(\frac{2\pi}{3} - \sin\frac{2\pi}{3}\right) = 2\left(\frac{2\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{4\pi}{3} - \sqrt{3}$$
レンズ形は弓形が2つ合わさったものなので、
$$S = 2\left(\frac{4\pi}{3} - \sqrt{3}\right) = \frac{8\pi}{3} - 2\sqrt{3}$$
Q1. 半径 $5$、中心角 $\dfrac{2\pi}{5}$ の扇形の弧の長さを求めよ。
Q2. 半径 $3$、中心角 $\dfrac{\pi}{6}$ の扇形の面積を求めよ。
Q3. 弧長 $4\pi$、半径 $6$ の扇形の中心角（ラジアン）を求めよ。
Q4. 半径 $r = 4$、弧長 $l = 6$ の扇形の面積を求めよ。
Q5. 底面の半径 $2$、母線の長さ $5$ の円錐の側面積を求めよ。
半径 $r$、中心角 $\theta$ の扇形について、次の各問に答えよ。
(1) $r = 6$、$\theta = \dfrac{3\pi}{4}$ のとき、弧長 $l$ と面積 $S$ を求めよ。
(2) $r = 10$、$l = 4\pi$ のとき、中心角 $\theta$ と面積 $S$ を求めよ。
(3) $\theta = \dfrac{\pi}{3}$、$S = 6\pi$ のとき、半径 $r$ と弧長 $l$ を求めよ。
(1) $l = r\theta = 6 \times \dfrac{3\pi}{4} = \dfrac{9\pi}{2}$
$S = \dfrac{1}{2}r^2\theta = \dfrac{1}{2} \times 36 \times \dfrac{3\pi}{4} = \dfrac{27\pi}{2}$
(2) $l = r\theta$ より $4\pi = 10\theta$、$\theta = \dfrac{2\pi}{5}$
$S = \dfrac{1}{2}rl = \dfrac{1}{2} \times 10 \times 4\pi = 20\pi$
(3) $S = \dfrac{1}{2}r^2\theta$ より $6\pi = \dfrac{1}{2} \times r^2 \times \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\pi r^2}{6}$
$r^2 = 36$ よって $r = 6$（$r > 0$）
$l = r\theta = 6 \times \dfrac{\pi}{3} = 2\pi$
扇形の弧長と面積がそれぞれ $l = 10$、$S = 15$ であるとき、この扇形の半径 $r$ と中心角 $\theta$ を求めよ。
$S = \dfrac{1}{2}rl$ より $15 = \dfrac{1}{2} \times r \times 10 = 5r$
よって $r = 3$。
$l = r\theta$ より $10 = 3\theta$、$\theta = \dfrac{10}{3}$。
$S = \dfrac{1}{2}rl$ を使えば、$r$ と $\theta$ を個別に求められます。弧長と面積の2つの条件から2つの未知数を決定する問題は頻出です。$\theta = \dfrac{10}{3} \approx 3.33$ rad $\approx 191°$ なので、中心角が $\pi$（$180°$）を超える扇形であることに注意しましょう。
底面の半径が $4$ cm、母線の長さが $10$ cm の円錐がある。
(1) この円錐の側面を展開してできる扇形の中心角を求めよ。
(2) この円錐の側面積を求めよ。
(3) この円錐の全表面積を求めよ。
(1) 展開図の扇形は、半径 $10$（母線）、弧長 $2\pi \times 4 = 8\pi$（底面の円周）。
$l = r\theta$ より $8\pi = 10\theta$、$\theta = \dfrac{4\pi}{5}$
(2) $S = \dfrac{1}{2}rl = \dfrac{1}{2} \times 10 \times 8\pi = 40\pi$ cm$^2$
（または $S = \pi r_0 l_0 = \pi \times 4 \times 10 = 40\pi$ cm$^2$）
(3) 底面積 $= \pi \times 4^2 = 16\pi$ cm$^2$
全表面積 $= 40\pi + 16\pi = 56\pi$ cm$^2$
円錐の側面の展開図は扇形になります。「扇形の半径 = 母線」「扇形の弧長 = 底面の円周」という対応を押さえましょう。側面積の公式 $\pi r_0 l_0$ は、扇形の面積公式 $\dfrac{1}{2}rl$ から直接導けます。
半径 $r$ の扇形の周の長さ（弧 $+$ 2本の半径）が一定値 $L$ であるとき、この扇形の面積 $S$ を最大にする中心角 $\theta$ と、そのときの最大面積を求めよ。
扇形の周の長さは $l + 2r = L$ なので、$l = L - 2r$。
$r > 0$ かつ $l > 0$ より $0 < r < \dfrac{L}{2}$ が必要。
面積は
$$S = \frac{1}{2}rl = \frac{1}{2}r(L - 2r) = \frac{1}{2}(Lr - 2r^2)$$
$S$ は $r$ の2次関数（上に凸）なので、$r = \dfrac{L}{4}$ のとき最大値をとる。
$$\frac{dS}{dr} = \frac{1}{2}(L - 4r) = 0 \quad \Longrightarrow \quad r = \frac{L}{4}$$
このとき $l = L - 2 \times \dfrac{L}{4} = \dfrac{L}{2}$。
中心角 $\theta = \dfrac{l}{r} = \dfrac{L/2}{L/4} = 2$（ラジアン）。
最大面積は
$$S = \frac{1}{2} \times \frac{L}{4} \times \frac{L}{2} = \frac{L^2}{16}$$
「周の長さが一定」という条件のもとで面積を最大化する典型的な最適化問題です。$S = \dfrac{1}{2}rl$ を使い、制約条件 $l = L - 2r$ を代入して $r$ の2次関数に帰着させます。面積が最大になるのは中心角 $\theta = 2$ rad $\approx 114.6°$ のときで、直感に反して $180°$ ではない点が面白い結果です。