加法定理、三角関数の合成、2倍角の公式、半角の公式、そして置換型の解法──これまでに学んだ道具をすべて総動員して問題に取り組みましょう。
総合問題では「どの公式を使うか」の判断力が試されます。この記事では、問題の形を見て最適な変形戦略を選ぶための指針を体系的に整理します。
三角関数の総合問題に直面したとき、最も重要なのは「いきなり計算を始めない」ことです。まず式の形を観察し、どの道具（公式）を使えば見通しが良くなるかを判断しましょう。
三角関数の式変形は、大きく分けて次の3つの方針に集約されます。
| 方針 | 目標 | 使う道具 | 典型的な場面 |
|---|---|---|---|
| 角の統一 | すべての角を同じ値にそろえる | 加法定理、2倍角の公式、半角の公式 | $\sin 2\theta$ と $\sin\theta$ が混在 |
| 関数の統一 | $\sin$ だけ、$\cos$ だけにそろえる | $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$、合成 | $\sin\theta$ と $\cos\theta$ が混在 |
| 次数の統一 | すべて1次式、または2次式にそろえる | 2倍角の公式（次数下げ）、半角の公式 | $\sin^2\theta$ と $\sin\theta\cos\theta$ が混在 |
式を見たら、まず次の順で判断します。
Step 1. 角が統一されているか？ → No なら、加法定理・倍角公式で角をそろえる
Step 2. 関数が統一されているか？ → No なら、相互関係で統一するか、合成を検討する
Step 3. 1次式か？ → Yes なら合成。No（2次式）なら倍角で次数を下げてから合成
Step 4. $\sin\theta + \cos\theta$ と $\sin\theta\cos\theta$ が同時に現れるか？ → Yes なら $t = \sin\theta + \cos\theta$ と置換
$\theta$ と $2\theta$ が混在する場合、どちらに合わせるかは式の形で決まります。
判断の基準は「統一した後に、合成やその先の処理がしやすいか」です。
$\sin 2\theta + \sin\theta = 0$ を解くとき、$\sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta$ として $\theta$ に統一するのが正しい方向です。
✗ 誤：$\sin\theta$ を $2\theta$ に変換しようとする（$\sin\theta$ を $2\theta$ の式で書くのは難しい）
○ 正：$2\sin\theta\cos\theta + \sin\theta = 0$ → $\sin\theta(2\cos\theta + 1) = 0$ と因数分解
| 式の特徴 | 適用する手法 |
|---|---|
| $a\sin\theta + b\cos\theta$（1次） | 三角関数の合成 |
| $\sin^2\theta$、$\cos^2\theta$、$\sin\theta\cos\theta$（2次同次式） | 倍角公式で次数を下げた後、合成 |
| $\sin\theta + \cos\theta$ と $\sin\theta\cos\theta$ が共存 | $t = \sin\theta + \cos\theta$ 置換 |
| $\sin A + \sin B$ や $\cos A - \cos B$ | 和積の公式 |
| $\sin A \cos B$ など異なる角の積 | 積和の公式 |
「三角関数の式を $\sin$ と $\cos$ の和に分解する」というこの章の技法は、大学数学のフーリエ解析の原型です。フーリエ解析では、あらゆる周期関数を $\sin$ と $\cos$ の無限級数として表現します。音声信号の周波数分析や画像圧縮（JPEG）の基礎理論がここにつながっています。
三角関数の2次式が現れたとき、そのままでは合成できません。2倍角の公式を使って次数を下げ、$2\theta$ の1次式に変換してから合成する──これが入試で最も頻出のパターンです。
三角関数の合成 $a\sin\theta + b\cos\theta = \sqrt{a^2 + b^2}\sin(\theta + \alpha)$ が使えるのは、$\sin$ と $\cos$ の1次式に対してです。$\sin^2\theta$ や $\cos^2\theta$ が含まれる式にはそのまま適用できません。
そこで、2倍角の公式を「逆向き」に使って次数を下げます。
$$\sin^2\theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}, \qquad \cos^2\theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$$
$$\sin\theta\cos\theta = \frac{\sin 2\theta}{2}$$
いずれも2倍角の公式 $\cos 2\theta = 1 - 2\sin^2\theta = 2\cos^2\theta - 1$ と $\sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta$ を変形したものです。
$y = \sqrt{3}\sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta$ の最大値・最小値を求める場面を考えましょう。
Step 1（次数下げ）：各項を2倍角の形に変換します。
$$y = \frac{\sqrt{3}}{2}\sin 2\theta + \frac{1 + \cos 2\theta}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}\sin 2\theta + \frac{1}{2}\cos 2\theta + \frac{1}{2}$$
Step 2（合成）：$\sin 2\theta$ と $\cos 2\theta$ の1次式を合成します。
$$\frac{\sqrt{3}}{2}\sin 2\theta + \frac{1}{2}\cos 2\theta = \sin\!\left(2\theta + \frac{\pi}{6}\right)$$
Step 3（結論）：
$$y = \sin\!\left(2\theta + \frac{\pi}{6}\right) + \frac{1}{2}$$
$\sin$ の値域は $[-1, 1]$ なので、$y$ の最大値は $\dfrac{3}{2}$、最小値は $-\dfrac{1}{2}$ です。
三角関数の2次式（$\sin^2\theta$、$\cos^2\theta$、$\sin\theta\cos\theta$）を処理する王道パターンは次の通りです。
(1) 倍角公式で次数を下げる（$\theta$ の2次 → $2\theta$ の1次）
(2) $\sin 2\theta$ と $\cos 2\theta$ の1次式を合成する
(3) $\sin(2\theta + \alpha)$ の形にして最大・最小や方程式・不等式を処理する
この流れは定石です。迷ったらまずこのパターンを試しましょう。
$\cos^2\theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$ の変換で、定数 $\frac{1}{2}$ を落とすミスが非常に多いです。
✗ 誤：$\cos^2\theta = \frac{\cos 2\theta}{2}$
○ 正：$\cos^2\theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$（定数 $\frac{1}{2}$ を忘れない）
同様に $\sin^2\theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}$ でも定数項に注意しましょう。
合成後に最大値・最小値を求めるとき、$\theta$ の範囲制限がある場合は $2\theta + \alpha$ の範囲を正しく求める必要があります。
たとえば $0 \leq \theta \leq \pi$ のとき $y = \sin\!\left(2\theta + \frac{\pi}{6}\right) + \frac{1}{2}$ の最大値・最小値を求めるなら、
$$0 \leq \theta \leq \pi \implies 0 \leq 2\theta \leq 2\pi \implies \frac{\pi}{6} \leq 2\theta + \frac{\pi}{6} \leq 2\pi + \frac{\pi}{6}$$
この範囲で $\sin$ の最大値は $1$、最小値は $-1$ となるので、$y$ の最大値は $\frac{3}{2}$、最小値は $-\frac{1}{2}$ です。
$0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$ のとき、$2\theta + \frac{\pi}{6}$ の範囲を求める際に注意が必要です。
✗ 誤：$\frac{\pi}{6} \leq 2\theta + \frac{\pi}{6} \leq \pi + \frac{\pi}{6}$ で $\sin$ の最小値を $0$ と判断する
○ 正：$\frac{\pi}{6} \leq 2\theta + \frac{\pi}{6} \leq \pi + \frac{\pi}{6} = \frac{7\pi}{6}$ で、$\sin\frac{7\pi}{6} = -\frac{1}{2}$ なので最小値は $-\frac{1}{2}$
範囲内で $\sin$ が $-1$ に達するかどうかは、$2\theta + \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{2}$ が範囲に含まれるかで判断します。
次数下げの本質は「$n$ 倍角の多項式表示」です。大学数学では チェビシェフ多項式 $T_n(\cos\theta) = \cos n\theta$ がこの一般化です。$\cos 2\theta = 2\cos^2\theta - 1$ は $T_2(x) = 2x^2 - 1$ に対応しています。チェビシェフ多項式は数値解析で近似計算に使われる重要な道具です。
$\sin\theta + \cos\theta$ と $\sin\theta\cos\theta$ が同時に現れる式は、合成や倍角公式だけでは処理しにくいことがあります。そんなとき、$t = \sin\theta + \cos\theta$ と置く方法が強力です。
$t = \sin\theta + \cos\theta$ の両辺を2乗してみましょう。
$$t^2 = \sin^2\theta + 2\sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta = 1 + 2\sin\theta\cos\theta$$
したがって、
$$\sin\theta\cos\theta = \frac{t^2 - 1}{2}$$
つまり、$\sin\theta + \cos\theta = t$ と置くだけで、$\sin\theta\cos\theta$ も $t$ で表せるのです。
$t = \sin\theta + \cos\theta$ とおくと、
$$\sin\theta\cos\theta = \frac{t^2 - 1}{2}$$
$t$ の値域：$t = \sqrt{2}\sin\!\left(\theta + \frac{\pi}{4}\right)$ より $-\sqrt{2} \leq t \leq \sqrt{2}$（$\theta$ の範囲制限がないとき）
$\sin\theta + \cos\theta$ と $\sin\theta\cos\theta$ は、$\sin\theta$ と $\cos\theta$ の基本対称式です。代数の世界で「$x + y$ と $xy$ がわかれば $x$ と $y$ に関する対称式はすべて表せる」のと同じ原理が三角関数でも成り立ちます。
$t = \sin\theta + \cos\theta$ と置けば、$\sin\theta\cos\theta = \frac{t^2 - 1}{2}$ となり、元の式が $t$ の多項式（通常は2次式）に帰着します。
$y = \sin\theta + \cos\theta + 2\sin\theta\cos\theta$ （$0 \leq \theta < 2\pi$）の最大値を求める場面を考えます。
Step 1（置換）：$t = \sin\theta + \cos\theta$ とおくと $\sin\theta\cos\theta = \frac{t^2 - 1}{2}$ より
$$y = t + 2 \cdot \frac{t^2 - 1}{2} = t^2 + t - 1$$
Step 2（$t$ の範囲）：$t = \sqrt{2}\sin\!\left(\theta + \frac{\pi}{4}\right)$ で $0 \leq \theta < 2\pi$ なので $-\sqrt{2} \leq t \leq \sqrt{2}$
Step 3（2次関数の最大値）：$y = t^2 + t - 1 = \left(t + \frac{1}{2}\right)^2 - \frac{5}{4}$ は $t = \sqrt{2}$ で最大値
$$y = (\sqrt{2})^2 + \sqrt{2} - 1 = 1 + \sqrt{2}$$
$\theta$ に範囲制限がある場合、$t$ の範囲も変わります。$t = \sqrt{2}\sin\!\left(\theta + \frac{\pi}{4}\right)$ と合成してから、$\theta$ の範囲を $\theta + \frac{\pi}{4}$ の範囲に変換し、$\sin$ の値域を調べましょう。
$t$ 置換した後、$t$ の2次関数として処理しますが、$t$ の範囲を忘れると誤った答えが出ます。
✗ 誤：$y = t^2 + t - 1$ の頂点 $t = -\frac{1}{2}$ で最小値 $-\frac{5}{4}$ と即答する
○ 正：まず $-\sqrt{2} \leq t \leq \sqrt{2}$ であることを確認し、この範囲に頂点 $t = -\frac{1}{2}$ が含まれるので最小値は $-\frac{5}{4}$。最大値は両端で比較して $t = \sqrt{2}$ のとき $1 + \sqrt{2}$
頂点が $t$ の範囲外にある場合は、範囲の端点で最小（または最大）となります。
$\sin\theta - \cos\theta$ と $\sin\theta\cos\theta$ が現れる場合も同じ発想です。$t = \sin\theta - \cos\theta$ とおくと、
$$t^2 = \sin^2\theta - 2\sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta = 1 - 2\sin\theta\cos\theta$$
$$\sin\theta\cos\theta = \frac{1 - t^2}{2}$$
$s = x + y$、$p = xy$ とおくと $x^2 + y^2 = s^2 - 2p$、$x^3 + y^3 = s^3 - 3sp$ のように、$x$ と $y$ の対称式は $s$ と $p$ で表せます。これをニュートンの恒等式といいます。$t$ 置換はこの原理の三角関数版です。大学の代数学で学ぶ「対称式の基本定理」がその数学的背景にあります。
加法定理は「$\sin(\alpha + \beta)$ を展開する」だけでなく、「展開された形を見て元に戻す」という逆方向の使い方も重要です。特に、積和の公式と和積の公式は、総合問題で威力を発揮します。
異なる角の三角関数の積を和に変換します。加法定理を足し引きすることで導かれます。
$$\sin\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}\left\{\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)\right\}$$
$$\cos\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}\left\{\cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta)\right\}$$
$$\sin\alpha\sin\beta = -\frac{1}{2}\left\{\cos(\alpha + \beta) - \cos(\alpha - \beta)\right\}$$
これらは加法定理の足し引きで直ちに導けます。丸暗記より導出を覚えましょう。
加法定理より
$$\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta \quad \cdots (*)$$
$$\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta \quad \cdots (**)$$
$(*)$ + $(**)$ より
$$\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta) = 2\sin\alpha\cos\beta$$
$$\therefore \sin\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}\left\{\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)\right\}$$
逆に、三角関数の和を積に変換する公式もあります。$A = \alpha + \beta$、$B = \alpha - \beta$ と見なすことで、$\alpha = \frac{A+B}{2}$、$\beta = \frac{A-B}{2}$ と表せます。
$$\sin A + \sin B = 2\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}$$
$$\sin A - \sin B = 2\cos\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}$$
$$\cos A + \cos B = 2\cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}$$
$$\cos A - \cos B = -2\sin\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}$$
「和→積：和の中央角の $\sin$（or $\cos$）× 差の半分角の $\cos$（or $\sin$）」と構造を理解しましょう。
$\sin 3\theta + \sin\theta = 0$ のような方程式を解くとき、和積の公式を使えば因数分解の形にできます。
$$\sin 3\theta + \sin\theta = 2\sin\frac{3\theta + \theta}{2}\cos\frac{3\theta - \theta}{2} = 2\sin 2\theta\cos\theta = 0$$
よって $\sin 2\theta = 0$ または $\cos\theta = 0$ として解けます。
$\cos A - \cos B$ の和積の公式には マイナス符号 がつきます。
✗ 誤：$\cos A - \cos B = 2\sin\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}$
○ 正：$\cos A - \cos B = \boldsymbol{-}2\sin\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}$
符号を間違えると方程式の解が変わってしまいます。不安なときは加法定理から導出し直しましょう。
和積の公式 $\cos A + \cos B = 2\cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}$ は物理における「うなり」の原理そのものです。周波数がわずかに異なる2つの音波を重ね合わせると、$\cos\frac{A-B}{2}$ がゆっくり振動する「包絡線」となり、音の大小の繰り返し（うなり）が聞こえます。積和・和積の公式は、波の干渉や通信工学の基本原理に直結しています。
ここでは、これまでに学んだテクニックを複合的に使う最大・最小問題を取り上げます。単一の公式では解けない問題も、複数の手法を段階的に組み合わせれば解決できます。
最も基本的なパターンは、式を $R\sin(\theta + \alpha) + C$ の形に変形し、$-R + C \leq y \leq R + C$ として値域を求めることです。$\theta$ に範囲がある場合は、$\theta + \alpha$ の範囲から $\sin$ の取りうる値を調べます。
$t = \sin\theta$ や $t = \cos\theta$ と置いて $t$ の2次関数に帰着させるパターンも頻出です。
たとえば $y = 2\cos^2\theta - 3\cos\theta + 1$ は $t = \cos\theta$（$-1 \leq t \leq 1$）とおくと
$$y = 2t^2 - 3t + 1 = 2\left(t - \frac{3}{4}\right)^2 - \frac{1}{8}$$
$-1 \leq t \leq 1$ における最小値は $t = \frac{3}{4}$ のとき $y = -\frac{1}{8}$、最大値は $t = -1$ のとき $y = 2 + 3 + 1 = 6$ です。
三角関数の最大・最小問題は、次の3つの類型に分類できます。
類型 1（合成型）：$a\sin\theta + b\cos\theta$ → 合成して値域を求める
類型 2（置換型）：$f(\sin\theta)$ や $f(\cos\theta)$ → $t = \sin\theta$ 等とおいて $t$ の関数として処理
類型 3（次数下げ＋合成型）：$\sin^2\theta$、$\sin\theta\cos\theta$ 等の2次式 → 倍角で次数下げ → 合成
問題を見たら、まずどの類型かを判断してから手を動かしましょう。
$\sin\theta$ と $\cos\theta$ が条件式で結ばれている場合、条件式から一方を消去するか、パラメータ表示を利用します。
たとえば「$\sin\theta + \cos\theta = \frac{1}{2}$ のとき、$\sin^3\theta + \cos^3\theta$ の値を求めよ」のような問題では、$s = \sin\theta + \cos\theta = \frac{1}{2}$ と $p = \sin\theta\cos\theta = \frac{s^2 - 1}{2} = -\frac{3}{8}$ を使って
$$\sin^3\theta + \cos^3\theta = (\sin\theta + \cos\theta)^3 - 3\sin\theta\cos\theta(\sin\theta + \cos\theta) = s^3 - 3ps$$
$$= \left(\frac{1}{2}\right)^3 - 3 \cdot \left(-\frac{3}{8}\right) \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8} + \frac{9}{16} = \frac{11}{16}$$
$a\sin^2\theta + b\sin\theta\cos\theta + c\cos^2\theta$ のような式は、$\sin^2\theta$、$\cos^2\theta$、$\sin\theta\cos\theta$ の2次同次式です。これを倍角公式で変換すると、$\sin 2\theta$ と $\cos 2\theta$ の1次式（＋定数）になるので合成できます。
$$a\sin^2\theta + b\sin\theta\cos\theta + c\cos^2\theta$$
$$= a \cdot \frac{1 - \cos 2\theta}{2} + b \cdot \frac{\sin 2\theta}{2} + c \cdot \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$$
$$= \frac{b}{2}\sin 2\theta + \frac{c - a}{2}\cos 2\theta + \frac{a + c}{2}$$
あとは $\frac{b}{2}\sin 2\theta + \frac{c-a}{2}\cos 2\theta$ を合成すれば完了です。
$\sin(\cdot)$ の値域は $[-1, 1]$ ですが、$\theta$ に範囲制限がある場合、その全体を使えるとは限りません。
✗ 誤：$y = \sin\!\left(2\theta + \frac{\pi}{3}\right)$ の最大値は1（$\theta$ の範囲を確認せず即答）
○ 正：$0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{4}$ なら $\frac{\pi}{3} \leq 2\theta + \frac{\pi}{3} \leq \frac{5\pi}{6}$。この範囲で $\sin$ の最大値は $\sin\frac{\pi}{2} = 1$（$2\theta + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2}$ は範囲内）
常に「$\theta$ の範囲 → 合成後の角の範囲 → その範囲での $\sin$/$\cos$ の最大・最小」の順で処理しましょう。
「$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ のもとで $f(\sin\theta, \cos\theta)$ を最大・最小にせよ」という問題は、大学数学ではラグランジュの未定乗数法で統一的に扱えます。条件 $g(x, y) = x^2 + y^2 - 1 = 0$ のもとで $f(x, y)$ を最適化する問題として、$\nabla f = \lambda \nabla g$ を解く手法です。高校の $t$ 置換や合成は、この一般理論の特殊ケースに位置づけられます。
これまでに学んだ三角関数の各分野が、どのようにつながっているかを整理しましょう。
Q1. $y = \sin^2\theta + \sin\theta\cos\theta$ を $\sin 2\theta$ と $\cos 2\theta$ を用いて表せ。
Q2. $t = \sin\theta + \cos\theta$ とおいたとき、$\sin\theta\cos\theta$ を $t$ で表せ。
Q3. 積和の公式を用いて、$\sin 5\theta \cos 3\theta$ を和の形に変換せよ。
Q4. $\sin 3\theta + \sin\theta$ を和積の公式で積の形に変換せよ。
Q5. $y = \sqrt{3}\sin\theta + \cos\theta$ を $R\sin(\theta + \alpha)$ の形に合成せよ。
$0 \leq \theta \leq \pi$ のとき、関数
$$y = \sin^2\theta - \sqrt{3}\sin\theta\cos\theta$$
の最大値と最小値、およびそのときの $\theta$ の値を求めよ。
$\sin^2\theta$ と $\sin\theta\cos\theta$ は2次式なので、倍角公式で次数を下げて $2\theta$ の1次式にした後、合成する。
$\sin^2\theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}$、$\sin\theta\cos\theta = \frac{\sin 2\theta}{2}$ より
$$y = \frac{1 - \cos 2\theta}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin 2\theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}\sin 2\theta - \frac{1}{2}\cos 2\theta + \frac{1}{2}$$
合成すると $-\frac{\sqrt{3}}{2}\sin 2\theta - \frac{1}{2}\cos 2\theta = -\sin\!\left(2\theta + \frac{\pi}{6}\right)$
よって $y = -\sin\!\left(2\theta + \frac{\pi}{6}\right) + \frac{1}{2}$
$0 \leq \theta \leq \pi$ より $\frac{\pi}{6} \leq 2\theta + \frac{\pi}{6} \leq 2\pi + \frac{\pi}{6}$
この範囲で $\sin\!\left(2\theta + \frac{\pi}{6}\right)$ は最大値 $1$（$2\theta + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2}$、すなわち $\theta = \frac{\pi}{6}$）、最小値 $-1$（$2\theta + \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{2}$、すなわち $\theta = \frac{2\pi}{3}$）をとる。
$y = -\sin(\cdots) + \frac{1}{2}$ なので、
最大値 $\frac{3}{2}$（$\theta = \frac{2\pi}{3}$ のとき）、最小値 $-\frac{1}{2}$（$\theta = \frac{\pi}{6}$ のとき）
$0 \leq \theta < 2\pi$ のとき、
$$y = \sin\theta + \cos\theta - 2\sin\theta\cos\theta$$
の最大値と最小値を求めよ。
$\sin\theta + \cos\theta$ と $\sin\theta\cos\theta$ が共存 → $t = \sin\theta + \cos\theta$ と置換する。
$t = \sin\theta + \cos\theta = \sqrt{2}\sin\!\left(\theta + \frac{\pi}{4}\right)$ とおく。
$0 \leq \theta < 2\pi$ より $-\sqrt{2} \leq t \leq \sqrt{2}$
$\sin\theta\cos\theta = \frac{t^2 - 1}{2}$ より
$$y = t - 2 \cdot \frac{t^2 - 1}{2} = t - (t^2 - 1) = -t^2 + t + 1$$
$y = -\left(t - \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{5}{4}$
頂点は $t = \frac{1}{2}$ で $-\sqrt{2} \leq \frac{1}{2} \leq \sqrt{2}$ を満たすので、
最大値：$\frac{5}{4}$（$t = \frac{1}{2}$ のとき）
最小値は $t = -\sqrt{2}$ と $t = \sqrt{2}$ で比較。
$t = \sqrt{2}$：$y = -2 + \sqrt{2} + 1 = \sqrt{2} - 1$
$t = -\sqrt{2}$：$y = -2 - \sqrt{2} + 1 = -1 - \sqrt{2}$
最小値：$-1 - \sqrt{2}$（$t = -\sqrt{2}$、すなわち $\theta = \frac{5\pi}{4}$ のとき）
$0 \leq \theta < 2\pi$ のとき、次の方程式を解け。
$$\sin 3\theta - \sin\theta = \cos 2\theta$$
左辺は和積の公式で積の形に、右辺は2倍角の公式で変形し、因数分解に持ち込む。
左辺：$\sin 3\theta - \sin\theta = 2\cos 2\theta \sin\theta$（和積の公式）
右辺に移項：$2\cos 2\theta\sin\theta - \cos 2\theta = 0$
$$\cos 2\theta(2\sin\theta - 1) = 0$$
[i] $\cos 2\theta = 0$ のとき：$2\theta = \frac{\pi}{2} + n\pi$、すなわち $\theta = \frac{\pi}{4} + \frac{n\pi}{2}$
$0 \leq \theta < 2\pi$ より $\theta = \frac{\pi}{4},\ \frac{3\pi}{4},\ \frac{5\pi}{4},\ \frac{7\pi}{4}$
[ii] $\sin\theta = \frac{1}{2}$ のとき：$\theta = \frac{\pi}{6},\ \frac{5\pi}{6}$
よって $\theta = \dfrac{\pi}{6},\ \dfrac{\pi}{4},\ \dfrac{3\pi}{4},\ \dfrac{5\pi}{6},\ \dfrac{5\pi}{4},\ \dfrac{7\pi}{4}$
$\sin\theta + \cos\theta = \dfrac{1}{2}$ のとき、次の値を求めよ。
(1) $\sin\theta\cos\theta$
(2) $\sin^3\theta + \cos^3\theta$
(3) $\sin^4\theta + \cos^4\theta$
$s = \sin\theta + \cos\theta = \frac{1}{2}$ とおき、$p = \sin\theta\cos\theta = \frac{s^2 - 1}{2}$ から求める。各問は対称式の基本定理を使い、$s$ と $p$ で表す。
(1) $s = \sin\theta + \cos\theta = \frac{1}{2}$ の両辺を2乗して
$$\frac{1}{4} = \sin^2\theta + 2\sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta = 1 + 2\sin\theta\cos\theta$$
$$\therefore \sin\theta\cos\theta = \frac{\frac{1}{4} - 1}{2} = -\frac{3}{8}$$
(2) $\sin^3\theta + \cos^3\theta = (\sin\theta + \cos\theta)(\sin^2\theta - \sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta)$
$= s(1 - p) = \frac{1}{2}\left(1 + \frac{3}{8}\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{11}{8} = \dfrac{11}{16}$
(3) $\sin^4\theta + \cos^4\theta = (\sin^2\theta + \cos^2\theta)^2 - 2\sin^2\theta\cos^2\theta = 1 - 2p^2$
$= 1 - 2\left(-\frac{3}{8}\right)^2 = 1 - 2 \cdot \frac{9}{64} = 1 - \frac{9}{32} = \dfrac{23}{32}$