$\sin\theta$ や $\cos\theta$ を含む式の最大・最小を求めたい。でも三角関数のままでは扱いにくい。
そこで $t = \sin\theta$ などと置換して、慣れ親しんだ2次関数の問題に変身させるのがこの章のテーマです。
ただし置換には「落とし穴」があります。$t$ の値域を見落とすと、答えが全く違ってしまうのです。
三角関数を含む式の最大・最小を求める問題は、数学IIの頻出テーマです。例えば、次のような問題を考えてみましょう。
$$y = 2\sin^2\theta - 3\sin\theta + 1 \quad (0 \leq \theta \leq \pi)$$
この式をじっと見ると、$\sin\theta$ の2次式になっています。もし $\sin\theta = t$ と置けば、$y = 2t^2 - 3t + 1$ という「ただの2次関数」になります。2次関数の最大・最小なら、数学Iで散々練習しましたよね。
これが置換の基本発想です。三角関数のままでは扱いにくい式を、新しい変数 $t$ に置き換えることで、慣れた2次関数の問題に「変身」させるのです。
置換とは、問題を別の言語に翻訳することです。三角関数の世界では扱いにくかった問題が、$t$ の世界では見慣れた2次関数の問題になります。
ただし翻訳には「辞書」が必要です。三角関数の世界と $t$ の世界を正しくつなぐために、$t$ の値域を必ず確認する必要があります。これが置換の最重要ポイントです。
三角関数を置換して2次関数に帰着させる手順は、常に次の3ステップです。
この3ステップのうち、最も大切なのはステップ3の「値域の確認」です。ステップ3を忘れると、存在しない $t$ の値で最大・最小を答えてしまう、という致命的なミスにつながります。
$t = \sin\theta$ と置換したとき、$t$ は実数全体を動くわけではありません。$-1 \leq \sin\theta \leq 1$ なので $-1 \leq t \leq 1$ です。
✗ 誤り：$y = 2t^2 - 3t + 1$ の頂点を求めて「最小値は $-\dfrac{1}{8}$（$t = \dfrac{3}{4}$ のとき）」と答える ← これ自体は正しいが、$t = \dfrac{3}{4}$ が値域内か確認していないので不十分
✓ 正しい：$0 \leq \theta \leq \pi$ のとき $0 \leq \sin\theta \leq 1$ なので $0 \leq t \leq 1$。この範囲で $t = \dfrac{3}{4}$ は確かに含まれるので最小値 $-\dfrac{1}{8}$
最もシンプルなのは、式が $\sin\theta$ だけ（または $\cos\theta$ だけ）で書かれている場合です。そのまま $t = \sin\theta$ と置けば2次関数になります。
具体的に見てみましょう。$0 \leq \theta < 2\pi$ のとき、$y = -3\cos^2\theta - 3\cos\theta + 1$ の最大値と最小値を求めます。
$t = \cos\theta$ とおくと、$0 \leq \theta < 2\pi$ のとき $-1 \leq \cos\theta \leq 1$ なので $-1 \leq t \leq 1$ です。
$$y = -3t^2 - 3t + 1 = -3\left(t + \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{7}{4}$$
$-1 \leq t \leq 1$ の範囲で、この下に凸を反転した放物線は $t = -\dfrac{1}{2}$ で最大値 $\dfrac{7}{4}$、$t = 1$ で最小値 $-5$ をとります。
Step 1：倍角の公式 $\cos 2\theta = 1 - 2\sin^2\theta$ や $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ を使い、$\sin\theta$ か $\cos\theta$ の一方に統一する。
Step 2：$t = \sin\theta$（または $t = \cos\theta$）とおく。
Step 3：$\theta$ の範囲から $t$ の値域を決定する。
Step 4：$t$ の2次関数として平方完成し、値域の範囲で最大・最小を求める。
最大・最小を与える $t$ の値から $\theta$ を逆算するのも忘れずに。
$\sin\theta$ と $\cos 2\theta$ が混じっている式は、一見2種類の角が含まれていますが、倍角の公式を使えば1種類に統一できます。
$$\cos 2\theta = 1 - 2\sin^2\theta$$
この公式を使えば、$\cos 2\theta$ は $\sin\theta$ の2次式に変換できます。
例えば $y = 2\cos 2\theta + \cos\theta$ は、$\cos 2\theta = 2\cos^2\theta - 1$ を代入すると
$$y = 2(2\cos^2\theta - 1) + \cos\theta = 4\cos^2\theta + \cos\theta - 2$$
$t = \cos\theta$ とおけば $y = 4t^2 + t - 2$ という2次関数になります。
$\cos 2\theta$ の倍角の公式には3つの形があります。どれを使うかは「何に統一するか」で決まります。
$\sin\theta$ に統一したい → $\cos 2\theta = 1 - 2\sin^2\theta$
$\cos\theta$ に統一したい → $\cos 2\theta = 2\cos^2\theta - 1$
✗ 誤り：$\cos\theta$ に統一したいのに $\cos 2\theta = 1 - 2\sin^2\theta$ を使う → $\sin^2\theta$ が残ってしまう
✓ 正しい：統一先に合わせて公式を選ぶ。迷ったら $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ で変換可能
$t = \sin\theta$ の値域は $\theta$ の範囲によって変わります。$\sin\theta$ の値域をよく使うケースでまとめると次のようになります。
| $\theta$ の範囲 | $t = \sin\theta$ の値域 | $t = \cos\theta$ の値域 |
|---|---|---|
| $0 \leq \theta \leq 2\pi$ | $-1 \leq t \leq 1$ | $-1 \leq t \leq 1$ |
| $0 \leq \theta \leq \pi$ | $0 \leq t \leq 1$ | $-1 \leq t \leq 1$ |
| $0 \leq \theta \leq \dfrac{\pi}{2}$ | $0 \leq t \leq 1$ | $0 \leq t \leq 1$ |
| $-\dfrac{\pi}{2} \leq \theta \leq \dfrac{\pi}{2}$ | $-1 \leq t \leq 1$ | $0 \leq t \leq 1$ |
大切なのは、機械的に $-1 \leq t \leq 1$ としないことです。$\theta$ の範囲が制限されていれば、$t$ の範囲も制限されます。
$t = \sin\theta$ の値域を正確に求めるには、単位円上の動点を考えるのが確実です。$\theta$ が指定範囲を動くとき、動点がカバーする弧を単位円上に描き、$y$ 座標（$= \sin\theta$）の範囲を読み取ります。
例えば $\dfrac{\pi}{6} \leq \theta \leq \dfrac{5\pi}{6}$ のとき、単位円上の動点は第1・第2象限を動きます。$\sin\theta$ は $\theta = \dfrac{\pi}{6}$ で $\dfrac{1}{2}$、$\theta = \dfrac{\pi}{2}$ で $1$、$\theta = \dfrac{5\pi}{6}$ で $\dfrac{1}{2}$ です。よって $\dfrac{1}{2} \leq t \leq 1$ となります。
$y = \sin 2\theta + 2(\sin\theta + \cos\theta)$ のように、$\sin\theta$ と $\cos\theta$ の両方が含まれ、しかも $\sin\theta \cos\theta$ や $\sin^2\theta + \cos^2\theta$ の形が現れる式があります。こうした式は、$t = \sin\theta$ だけでは置換できません。
ここで登場するのが、$t = \sin\theta + \cos\theta$ という置換です。一見すると「和を1文字にして何になるの？」と思うかもしれません。しかしこの置換には驚くべき性質があります。
$t = \sin\theta + \cos\theta$ の両辺を2乗すると、
$$t^2 = \sin^2\theta + 2\sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta = 1 + 2\sin\theta\cos\theta$$
よって $\sin\theta\cos\theta = \dfrac{t^2 - 1}{2}$ が得られます。
つまり、$\sin\theta + \cos\theta$（和）を $t$ とおくだけで、$\sin\theta\cos\theta$（積）も $t$ で表せるのです。これは「基本対称式で対称式を表す」という代数の原理に基づいています。
$t = \sin\theta + \cos\theta$ の両辺を2乗します。
$$t^2 = (\sin\theta + \cos\theta)^2 = \sin^2\theta + 2\sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta$$
$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ より、
$$t^2 = 1 + 2\sin\theta\cos\theta$$
$\sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta$ なので、
$$\sin 2\theta = t^2 - 1$$
これにより、$\sin\theta + \cos\theta$ と $\sin\theta\cos\theta$（あるいは $\sin 2\theta$）が同時に含まれる式を、$t$ だけで表すことができます。
$t = \sin\theta + \cos\theta$ とおくと、
$$\sin\theta\cos\theta = \frac{t^2 - 1}{2}, \quad \sin 2\theta = t^2 - 1$$
$\sin\theta$, $\cos\theta$ の対称式（$\sin\theta$ と $\cos\theta$ を入れ替えても変わらない式）は、すべて $t$ の式に変換できます。
$0 \leq \theta \leq \pi$ のとき、$y = \sin 2\theta + 2(\sin\theta + \cos\theta)$ の最大値・最小値を求めてみましょう。
$t = \sin\theta + \cos\theta$ とおくと $\sin 2\theta = t^2 - 1$ なので、
$$y = (t^2 - 1) + 2t = t^2 + 2t - 1 = (t + 1)^2 - 2$$
$t$ の値域を求めます（これが重要です）。$t = \sin\theta + \cos\theta = \sqrt{2}\sin\left(\theta + \dfrac{\pi}{4}\right)$ と合成できます。
$0 \leq \theta \leq \pi$ のとき $\dfrac{\pi}{4} \leq \theta + \dfrac{\pi}{4} \leq \dfrac{5\pi}{4}$ なので、$-\dfrac{\sqrt{2}}{2} \leq \sqrt{2}\sin\left(\theta + \dfrac{\pi}{4}\right) \leq \sqrt{2}$ です。
よって $-\dfrac{\sqrt{2}}{2} \leq t \leq \sqrt{2}$ の範囲でなければいけません。この範囲で $y = (t+1)^2 - 2$ の最大・最小を求めます。
$t = \sqrt{2}$ のとき最大値 $1 + 2\sqrt{2}$、$t = -1$ は値域外なので頂点では最小にならず、$t = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ のとき最小値 $-\sqrt{2} + \dfrac{1}{2} - 1 = -\dfrac{1}{2} - \sqrt{2}$ となります。
$t = \sin\theta$ なら $-1 \leq t \leq 1$ ですが、$t = \sin\theta + \cos\theta$ の場合は違います。
✗ 誤り：$-1 \leq \sin\theta \leq 1$ かつ $-1 \leq \cos\theta \leq 1$ だから $-2 \leq t \leq 2$ と考える
✓ 正しい：$t = \sqrt{2}\sin\left(\theta + \dfrac{\pi}{4}\right)$ と合成し、$-\sqrt{2} \leq t \leq \sqrt{2}$ を得る（$\theta$ の範囲による制限がなければ）
$\sin\theta$ と $\cos\theta$ は独立ではなく $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ で制約されているため、和の範囲は $[-2, 2]$ より狭くなります。
$t = \sin\theta - \cos\theta$ とおいた場合も同様です。2乗すると、
$$t^2 = \sin^2\theta - 2\sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta = 1 - 2\sin\theta\cos\theta$$
よって $\sin\theta\cos\theta = \dfrac{1 - t^2}{2}$、$\sin 2\theta = 1 - t^2$ となります。
符号が変わるだけで、やることは $t = \sin\theta + \cos\theta$ 型と全く同じです。
大学の代数学（特に対称多項式の理論）では、「$n$ 変数の任意の対称式は基本対称式で表せる」というニュートンの基本定理が知られています。
2変数 $x, y$ の場合、基本対称式は $x + y$（和）と $xy$（積）の2つ。ここで $x = \sin\theta$、$y = \cos\theta$ と見れば、$\sin\theta + \cos\theta = t$ から $\sin\theta\cos\theta = \dfrac{t^2 - 1}{2}$ が出るのは、この定理の直接の応用です。
高校数学で学ぶ「解と係数の関係」も、同じ原理に基づいています。
ここまでの説明で繰り返し強調してきたように、置換で最も重要なのは$t$ の値域を正確に求めることです。値域を間違えると、2次関数の最大・最小が全く違う値になってしまいます。
2次関数 $y = at^2 + bt + c$ の最大・最小は、定義域（$t$ の値域）で決まります。軸の位置と定義域の関係を見て、端点と頂点のどちらで最大・最小をとるかを判断するのです。
これは数学Iで学んだ「2次関数の最大・最小（定義域に制限がある場合）」と全く同じ問題です。三角関数の問題だからといって新しいことをしているわけではなく、定義域の制限付き2次関数の問題に翻訳しているだけなのです。
$t = \sin\theta$ の場合、$\sin\theta$ のグラフ（または単位円）を用いて、$\theta$ の範囲に対応する $t$ の範囲を読み取ります。
覚えておきたい基本は次の通りです。
$\theta$ の範囲が $\sin$ や $\cos$ の最大点・最小点を含むかどうかで、$t$ の値域の上限・下限が変わります。
$t = \sin\theta + \cos\theta$ の場合は、三角関数の合成を使います。
$$t = \sin\theta + \cos\theta = \sqrt{2}\sin\left(\theta + \frac{\pi}{4}\right)$$
これにより $t$ の問題が $\sqrt{2}\sin(\text{何か})$ の値域を求める問題に帰着します。$\sin$ の値域は $[-1, 1]$ なので、$\theta$ に制限がなければ $t$ の値域は $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$ です。
$\theta$ の範囲が指定されている場合は、$\theta + \dfrac{\pi}{4}$ の範囲を求め、その範囲での $\sin$ の最大・最小を読み取ります。
$t = \sqrt{2}\sin\left(\theta + \dfrac{\pi}{4}\right)$ で $0 \leq \theta \leq \pi$ のとき、
$$\frac{\pi}{4} \leq \theta + \frac{\pi}{4} \leq \frac{5\pi}{4}$$
$\sin$ の値を調べると、$\sin\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$、$\sin\dfrac{\pi}{2} = 1$（最大）、$\sin\pi = 0$、$\sin\dfrac{5\pi}{4} = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$（最小）
よって $-\dfrac{\sqrt{2}}{2} \leq \sin\left(\theta + \dfrac{\pi}{4}\right) \leq 1$ なので、
$$-\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{2} \leq t \leq 1 \cdot \sqrt{2}$$
$$-1 \leq t \leq \sqrt{2}$$
2次関数 $y = a(t - p)^2 + q$ の頂点 $t = p$ が値域の外にあるとき、最大・最小は値域の端点で取ることになります。
例：$y = (t + 1)^2 - 2$（頂点 $t = -1$）で値域が $0 \leq t \leq 1$ のとき
✗ 誤り：頂点 $t = -1$ で最小値 $-2$ → $t = -1$ は値域外なのでこの値はとれない！
✓ 正しい：値域内の端点 $t = 0$ で最小値 $-1$、$t = 1$ で最大値 $2$
$\sin\theta + \cos\theta$ の値域を求めるとき、私たちは「$x^2 + y^2 = 1$ という制約条件の下で $x + y$ の最大・最小を求める」ことをしています。
大学の微積分では、この種の「制約付き最適化問題」を体系的に解く方法としてラグランジュの未定乗数法を学びます。高校の三角関数の合成は、実はこの一般理論の特殊ケースなのです。
三角関数を含む式の最大・最小問題は、式の形によって解法が分かれます。問題を見たとき、まず「どのパターンか？」を判断することが重要です。
| パターン | 式の特徴 | 解法 |
|---|---|---|
| A：1種類の三角関数 | $\sin\theta$ のみ、$\cos\theta$ のみ | $t = \sin\theta$ or $t = \cos\theta$ で2次関数に帰着 |
| B：倍角で統一 | $\sin^2\theta$ と $\cos 2\theta$ の混在など | 倍角の公式で角を統一 → パターンA |
| C：対称式 | $\sin\theta\cos\theta$ と $\sin\theta + \cos\theta$ の混在 | $t = \sin\theta + \cos\theta$ → $\sin\theta\cos\theta = \dfrac{t^2-1}{2}$ |
| D：合成 | $a\sin\theta + b\cos\theta$ | 三角関数の合成 $= \sqrt{a^2+b^2}\sin(\theta + \alpha)$ → 値域から最大・最小 |
| E：次数下げ + 合成 | $\sin^2\theta$, $\cos^2\theta$, $\sin\theta\cos\theta$ の混在 | 半角・倍角で次数を下げて $2\theta$ に統一 → 合成 |
問題を見たらまず次のチェックを行いましょう。
3番目に該当するならパターンCです。$\sin\theta\cos\theta$ は $\dfrac{1}{2}\sin 2\theta$ なので、$\sin 2\theta$ が含まれていても同じことです。
置換の選び方は暗記ではなく、式の構造を見て判断します。ポイントは「式の中の三角関数がすべて1つの変数 $t$ で表せるか」です。
$\sin\theta$ だけの式なら $t = \sin\theta$ で十分。$\sin\theta + \cos\theta$ と $\sin\theta\cos\theta$ が混在するなら $t = \sin\theta + \cos\theta$ が必要。
選ぶ置換を間違えると、$t$ だけで式が表せず行き詰まります。「置換した結果、もとの三角関数がすべて消えるか？」を必ず確認しましょう。
$y = a\sin^2\theta + b\sin\theta\cos\theta + c\cos^2\theta$ のように、$\sin\theta$, $\cos\theta$ の2次斉次式が現れることがあります。この場合は半角・倍角の公式で次数を下げるのが有効です。
$$\sin^2\theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}, \quad \cos^2\theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}, \quad \sin\theta\cos\theta = \frac{\sin 2\theta}{2}$$
これらを代入すると、$\sin 2\theta$ と $\cos 2\theta$ の1次式になり、三角関数の合成で処理できます。
$\sin\theta\cos\theta$ が含まれていても、$\sin\theta + \cos\theta$ が含まれていなければパターンEです。
✗ 誤り：$y = 3\sin^2\theta + 4\sin\theta\cos\theta - 3\cos^2\theta$ に対して $t = \sin\theta + \cos\theta$ とおく → $\sin^2\theta - \cos^2\theta$ の部分は $t$ で表せない！
✓ 正しい：半角・倍角の公式で $y = -3\cos 2\theta + 2\sin 2\theta$ と変形し、合成で処理する
$\cos n\theta$ は $\cos\theta$ の $n$ 次多項式で表せます（チェビシェフの多項式）。例えば $\cos 2\theta = 2\cos^2\theta - 1$, $\cos 3\theta = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta$ です。
これは「三角関数の式を $\cos\theta$ の多項式に変換できる」ことを意味しており、$t = \cos\theta$ の置換が広い範囲で有効である理論的な根拠になっています。
Q1. $t = \sin\theta$ と置換したとき、$0 \leq \theta \leq \dfrac{\pi}{2}$ ならば $t$ の値域はどうなるか。
Q2. $t = \sin\theta + \cos\theta$ とおくとき、$\sin\theta\cos\theta$ を $t$ で表せ。
Q3. $y = 2\cos^2\theta + \cos\theta - 1$ において $t = \cos\theta$ とおくと $y$ はどのような $t$ の式になるか。また頂点の座標は何か。
Q4. $\cos 2\theta = 1 - 2\sin^2\theta$ を用いて、$y = \cos 2\theta + 3\sin\theta$ を $t = \sin\theta$ の式で表せ。
Q5. $t = \sin\theta + \cos\theta$ のとき、$\theta$ の範囲に制限がなければ $t$ の値域はどうなるか。
$0 \leq \theta < 2\pi$ のとき、関数 $y = -2\cos^2\theta + 3\cos\theta + 1$ の最大値と最小値を求めよ。また、そのときの $\theta$ の値を求めよ。
$\cos\theta$ だけの式なので $t = \cos\theta$ とおく（パターンA）。$0 \leq \theta < 2\pi$ のとき $-1 \leq t \leq 1$。
$t = \cos\theta$ とおくと $-1 \leq t \leq 1$ で、
$$y = -2t^2 + 3t + 1 = -2\left(t - \frac{3}{4}\right)^2 + \frac{17}{8}$$
$a = -2 < 0$ より上に凸の放物線。頂点 $t = \dfrac{3}{4}$ は値域 $[-1, 1]$ に含まれる。
$t = \dfrac{3}{4}$ のとき最大値 $\dfrac{17}{8}$。このとき $\cos\theta = \dfrac{3}{4}$ より $\theta = \cos^{-1}\dfrac{3}{4}$（第1象限と第4象限の2つ）。
端点を比較すると、$t = 1$ のとき $y = 2$、$t = -1$ のとき $y = -4$。
よって最小値は $-4$（$\cos\theta = -1$、すなわち $\theta = \pi$ のとき）。
$0 \leq \theta \leq \pi$ のとき、関数 $y = 2\cos 2\theta - 3\sin\theta + 1$ の最大値と最小値を求めよ。
$\cos 2\theta = 1 - 2\sin^2\theta$ で $\sin\theta$ に統一する（パターンB → A）。$0 \leq \theta \leq \pi$ のとき $0 \leq \sin\theta \leq 1$ に注意。
$\cos 2\theta = 1 - 2\sin^2\theta$ を代入すると、
$$y = 2(1 - 2\sin^2\theta) - 3\sin\theta + 1 = -4\sin^2\theta - 3\sin\theta + 3$$
$t = \sin\theta$ とおくと、$0 \leq \theta \leq \pi$ のとき $0 \leq t \leq 1$ で、
$$y = -4t^2 - 3t + 3 = -4\left(t + \frac{3}{8}\right)^2 + \frac{57}{16}$$
上に凸の放物線。頂点 $t = -\dfrac{3}{8}$ は値域 $[0, 1]$ の外（左側）。
よって値域 $[0, 1]$ では $t$ が小さいほど $y$ が大きい。
$t = 0$ のとき最大値 $3$（$\sin\theta = 0$ より $\theta = 0, \pi$）。
$t = 1$ のとき最小値 $-4$（$\sin\theta = 1$ より $\theta = \dfrac{\pi}{2}$）。
$0 \leq \theta \leq \pi$ のとき、関数 $y = \sin 2\theta + 2(\sin\theta + \cos\theta) - 1$ の最大値と最小値を求めよ。
$\sin\theta + \cos\theta$ と $\sin 2\theta$ が同時に含まれるのでパターンC。$t = \sin\theta + \cos\theta$ とおき、$\sin 2\theta = t^2 - 1$ を利用する。
$t = \sin\theta + \cos\theta = \sqrt{2}\sin\left(\theta + \dfrac{\pi}{4}\right)$ とおく。
$0 \leq \theta \leq \pi$ のとき $\dfrac{\pi}{4} \leq \theta + \dfrac{\pi}{4} \leq \dfrac{5\pi}{4}$。
この範囲で $\sin$ の最大値は $1$（$\theta + \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\pi}{2}$ のとき）、最小値は $-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$（$\theta + \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{5\pi}{4}$ のとき）。
よって $-1 \leq t \leq \sqrt{2}$。
$\sin 2\theta = t^2 - 1$ より、
$$y = (t^2 - 1) + 2t - 1 = t^2 + 2t - 2 = (t + 1)^2 - 3$$
下に凸の放物線で頂点 $t = -1$。値域 $[-1, \sqrt{2}]$ の左端が頂点に一致。
$t = -1$ のとき最小値 $-3$（$\sqrt{2}\sin\left(\theta + \dfrac{\pi}{4}\right) = -1$ より $\theta = \pi$）。
$t = \sqrt{2}$ のとき最大値 $(\sqrt{2}+1)^2 - 3 = 3 + 2\sqrt{2} - 3 = 2\sqrt{2}$（$\theta = \dfrac{\pi}{4}$ のとき）。
$0 \leq \theta \leq \pi$ のとき、関数
$$y = 3\sin^2\theta + 4\sqrt{3}\sin\theta\cos\theta - \cos^2\theta$$
の最大値と最小値を求めよ。また、そのときの $\theta$ の値を求めよ。
$\sin^2\theta$, $\cos^2\theta$, $\sin\theta\cos\theta$ の2次斉次式（パターンE）。半角・倍角の公式で次数を下げ、$2\theta$ の三角関数の1次式にしてから合成する。
半角・倍角の公式より、
$$\sin^2\theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}, \quad \cos^2\theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}, \quad \sin\theta\cos\theta = \frac{\sin 2\theta}{2}$$
を代入すると、
$$y = 3 \cdot \frac{1 - \cos 2\theta}{2} + 4\sqrt{3} \cdot \frac{\sin 2\theta}{2} - \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$$
$$= \frac{3 - 3\cos 2\theta}{2} + 2\sqrt{3}\sin 2\theta - \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$$
$$= \frac{3 - 3\cos 2\theta - 1 - \cos 2\theta}{2} + 2\sqrt{3}\sin 2\theta$$
$$= 1 - 2\cos 2\theta + 2\sqrt{3}\sin 2\theta$$
$$= 2\sqrt{3}\sin 2\theta - 2\cos 2\theta + 1$$
三角関数の合成を行います。$2\sqrt{3}\sin 2\theta - 2\cos 2\theta = 4\sin\left(2\theta - \dfrac{\pi}{6}\right)$ です。
（確認：$\sqrt{(2\sqrt{3})^2 + (-2)^2} = \sqrt{12 + 4} = 4$）
よって $y = 4\sin\left(2\theta - \dfrac{\pi}{6}\right) + 1$。
$0 \leq \theta \leq \pi$ のとき $-\dfrac{\pi}{6} \leq 2\theta - \dfrac{\pi}{6} \leq \dfrac{11\pi}{6}$。
この範囲で $\sin$ の最大値は $1$（$2\theta - \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\pi}{2}$ すなわち $\theta = \dfrac{\pi}{3}$ のとき）。
$\sin$ の最小値は $-1$（$2\theta - \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{3\pi}{2}$ すなわち $\theta = \dfrac{5\pi}{6}$ のとき）。
よって、最大値 $4 \cdot 1 + 1 = 5$（$\theta = \dfrac{\pi}{3}$ のとき）、最小値 $4 \cdot (-1) + 1 = -3$（$\theta = \dfrac{5\pi}{6}$ のとき）。