「$\sin$ と $\cos$ の積を和に直したい」「$\sin$ どうしの和を積に直したい」── 加法定理から導かれるこの2つの変換は、三角関数の計算力を飛躍的に高めます。
公式の数は多く見えますが、すべて加法定理の「足し引き」から生まれます。原理を理解すれば、忘れてもその場で導けるようになります。
三角関数の積が現れたとき、それを和（差）の形に変換するのが積和の公式（積から和への変換公式）です。
三角関数の積は、そのままでは計算しにくい場面が多くあります。例えば $\sin 75^\circ \cos 15^\circ$ の値を直接計算するのは大変ですが、和の形に変換すれば既知の角度の値に帰着できます。また、積分の計算でも、$\sin$ と $\cos$ の積は和に直してから積分するのが常套手段です。
加法定理の2つの式を足すと、一方の項が消えて「積 → 和」の形になります。
加法定理は「角の和・差の三角関数を展開する」公式ですが、これを逆に利用すると「三角関数の積を角の和・差で表す」ことができるのです。
$$\sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}\{\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)\}$$
$$\cos \alpha \sin \beta = \frac{1}{2}\{\sin(\alpha + \beta) - \sin(\alpha - \beta)\}$$
$$\cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}\{\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta)\}$$
$$\sin \alpha \sin \beta = -\frac{1}{2}\{\cos(\alpha + \beta) - \cos(\alpha - \beta)\}$$
4つ目だけマイナスがつくことに注意。「$\sin \times \sin$ は $-\cos$」と覚えておくとよいでしょう。
積和の公式の4つ目で、右辺にマイナスがつくことを忘れるミスが多発します。
✗ 誤り：$\sin \alpha \sin \beta = \dfrac{1}{2}\{\cos(\alpha + \beta) - \cos(\alpha - \beta)\}$
✓ 正しい：$\sin \alpha \sin \beta = -\dfrac{1}{2}\{\cos(\alpha + \beta) - \cos(\alpha - \beta)\}$
検算法：$\alpha = \beta = 0$ を代入すると、左辺 $= 0$、右辺 $= -\frac{1}{2}(\cos 0 - \cos 0) = 0$ で一致します。$\alpha = \beta = \frac{\pi}{2}$ なら左辺 $= 1$、右辺 $= -\frac{1}{2}(\cos \pi - \cos 0) = -\frac{1}{2}(-1 - 1) = 1$ で一致します。
$\sin 75^\circ \cos 15^\circ$ の値を求めてみましょう。
積和の公式（1番目）を使うと、
$$\sin 75^\circ \cos 15^\circ = \frac{1}{2}\{\sin(75^\circ + 15^\circ) + \sin(75^\circ - 15^\circ)\} = \frac{1}{2}(\sin 90^\circ + \sin 60^\circ) = \frac{1}{2}\left(1 + \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{2 + \sqrt{3}}{4}$$
このように、直接計算できない角度の積でも、和に変換すれば既知の角度に帰着できます。
三角関数の和・差が現れたとき、積の形に変換するのが和積の公式（和から積への変換公式）です。方程式を解くとき、$(\text{式}) = 0$ の形に持ち込むためには「積 = 0」の形が強力です。和のままでは因数分解できませんが、積の形に変換すれば各因数を0とおいて解けます。
和積の公式は積和の公式を逆方向に読んだものです。積和の公式で $\alpha + \beta = A$、$\alpha - \beta = B$ とおけば $\alpha = \frac{A+B}{2}$、$\beta = \frac{A-B}{2}$ となり、和積の公式が得られます。
つまり、積和と和積は同じ等式を左から読むか右から読むかの違いにすぎません。
$$\sin A + \sin B = 2\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}$$
$$\sin A - \sin B = 2\cos\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}$$
$$\cos A + \cos B = 2\cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}$$
$$\cos A - \cos B = -2\sin\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}$$
右辺の $\dfrac{A+B}{2}$ と $\dfrac{A-B}{2}$ は「2つの角の平均」と「2つの角の差の半分」です。
4つ目の公式でマイナスがつくことを忘れがちです。
✗ 誤り：$\cos A - \cos B = 2\sin\dfrac{A+B}{2}\sin\dfrac{A-B}{2}$
✓ 正しい：$\cos A - \cos B = -2\sin\dfrac{A+B}{2}\sin\dfrac{A-B}{2}$
積和の $\sin \alpha \sin \beta$ にマイナスがついていたことに対応しています。$\cos$ の差は $-\sin \times \sin$ の形になると覚えましょう。
$\sin 75^\circ + \sin 15^\circ$ の値を求めてみましょう。
和積の公式（1番目）を使うと、
$$\sin 75^\circ + \sin 15^\circ = 2\sin\frac{75^\circ + 15^\circ}{2}\cos\frac{75^\circ - 15^\circ}{2} = 2\sin 45^\circ \cos 30^\circ = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{6}}{2}$$
大学の数学や物理で学ぶフーリエ解析では、三角関数の積を和に変換する操作が頻繁に現れます。音波や電気信号を周波数成分に分解するとき、異なる周波数の $\sin$ 波の積を積分する場面で積和の公式が不可欠です。
また、信号処理における「ビート（うなり）」現象も和積の公式で説明できます。振動数がわずかに異なる2つの音 $\sin \omega_1 t + \sin \omega_2 t$ を和積で変換すると、ゆっくりした振動と速い振動の積になり、音量が周期的に大きくなったり小さくなったりする現象が数式で表現できます。
積和・和積の公式は8つもありますが、すべて暗記する必要はありません。加法定理から数行で導けるからです。その導出過程を理解しておけば、忘れてもその場で復元できます。
加法定理の2つの式を書き並べます。
$$\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta \quad \cdots (1)$$
$$\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta \quad \cdots (2)$$
$(1) + (2)$ を計算すると、$\cos\alpha\sin\beta$ の項が消えて、
$$\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta) = 2\sin\alpha\cos\beta$$
両辺を2で割ると、
$$\sin\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}\{\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)\}$$
$(1) - (2)$ を計算すると、$\sin\alpha\cos\beta$ の項が消えて $\cos\alpha\sin\beta$ の公式が得られます。
今度は $\cos$ の加法定理を使います。
$$\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta \quad \cdots (3)$$
$$\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta \quad \cdots (4)$$
$(3) + (4)$ を計算すると、
$$\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta) = 2\cos\alpha\cos\beta$$
$$\therefore \cos\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}\{\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta)\}$$
$(3) - (4)$ を計算すると、
$$\cos(\alpha + \beta) - \cos(\alpha - \beta) = -2\sin\alpha\sin\beta$$
$$\therefore \sin\alpha\sin\beta = -\frac{1}{2}\{\cos(\alpha + \beta) - \cos(\alpha - \beta)\}$$
$(3)$ では $\sin\alpha\sin\beta$ にマイナスがついているため、最終結果にもマイナスが現れます。これが4つ目の公式だけ符号が異なる理由です。
積和の公式の導出は、加法定理の2式を「足す」か「引く」かして不要な項を消す操作にすぎません。
$\sin$ の加法定理を足す → $\sin\alpha\cos\beta$（$\cos\alpha\sin\beta$ が消える）
$\sin$ の加法定理を引く → $\cos\alpha\sin\beta$（$\sin\alpha\cos\beta$ が消える）
$\cos$ の加法定理を足す → $\cos\alpha\cos\beta$（$\sin\alpha\sin\beta$ が消える）
$\cos$ の加法定理を引く → $\sin\alpha\sin\beta$（$\cos\alpha\cos\beta$ が消える）
この構造を理解していれば、いつでも自分で導き直せます。
積和の公式（1番目）の結果を出発点とします。
$$\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta) = 2\sin\alpha\cos\beta$$
ここで $\alpha + \beta = A$、$\alpha - \beta = B$ とおくと、
$$\alpha = \frac{A + B}{2}, \quad \beta = \frac{A - B}{2}$$
したがって、
$$\sin A + \sin B = 2\sin\frac{A + B}{2}\cos\frac{A - B}{2}$$
他の3つの和積の公式も、対応する積和の公式から同じ置換で得られます。
$\alpha + \beta = A$、$\alpha - \beta = B$ から $\alpha$ と $\beta$ を求めるとき、連立方程式を解く必要があります。
✗ 誤り：$\alpha = A - B$、$\beta = A + B$
✓ 正しい：$\alpha = \dfrac{A + B}{2}$、$\beta = \dfrac{A - B}{2}$
足すと $2\alpha = A + B$、引くと $2\beta = A - B$ です。2で割ることを忘れないようにしましょう。
大学数学ではオイラーの公式 $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$ を使うと、積和・和積の公式を見通しよく導けます。
例えば $e^{i\alpha} \cdot e^{i\beta} = e^{i(\alpha+\beta)}$ の実部と虚部を比較するだけで、加法定理が得られます。さらに $e^{i\alpha} \cdot e^{-i\beta}$ も考えて足し引きすれば、積和の公式が自然に出てきます。指数法則という1つの原理から、すべてが導かれるのです。
積和と和積のどちらを使うかは、「今の式の形」と「目指す形」で決まります。ここでは判断基準を整理しましょう。
積 → 和の変換は、主に次のような場面で使います。
和 → 積の変換は、主に次のような場面で使います。
最も重要な判断基準は、「因数分解（積の形）にしたいか」「展開（和の形）にしたいか」です。
方程式を解くとき → 積 = 0 にしたい → 和積を使う
値を計算するとき → どちらでもOK（既知の角度になる方を選ぶ）
積分するとき → 和に直したい → 積和を使う
| 場面 | 使う公式 | 理由 |
|---|---|---|
| $\sin\alpha\cos\beta$ の値を求める | 積和（積 → 和） | 和の形にすると既知の角度で計算可能 |
| $\sin A + \sin B$ の値を求める | 和積（和 → 積） | 積の形にすると既知の角度で計算可能 |
| $\sin 2\theta + \sin 4\theta = 0$ を解く | 和積（和 → 積） | 「積 = 0」の形に持ち込むため |
| $\cos 20^\circ \cos 40^\circ \cos 80^\circ$ の計算 | 積和（積 → 和）を繰り返す | 順に和に変換して簡約化 |
| $\triangle\mathrm{ABC}$ の三角関数の等式証明 | 和積（和 → 積）が多い | $A + B + C = \pi$ を利用しやすい |
和積の公式が使えるのは「$\sin$ どうし」または「$\cos$ どうし」の和・差のみです。
✗ 誤り：$\sin\theta + \cos\theta$ に和積の公式を使おうとする
✓ 正しい：$\sin\theta + \cos\theta$ には三角関数の合成を使う
$\sin\theta + \cos\theta = \sqrt{2}\sin\left(\theta + \frac{\pi}{4}\right)$ です。同じ種類（$\sin$ どうし、$\cos$ どうし）の和・差に和積を使い、異なる種類（$\sin$ と $\cos$）の和には合成を使う、と整理しておきましょう。
$\cos n\theta$ は $\cos\theta$ の $n$ 次多項式で表せます（チェビシェフ多項式）。例えば $\cos 2\theta = 2\cos^2\theta - 1$、$\cos 3\theta = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta$ です。
積和の公式を使って $2\cos m\theta \cos n\theta = \cos(m+n)\theta + \cos(m-n)\theta$ と変換すると、チェビシェフ多項式の漸化式が得られます。高校で学ぶ積和変換は、大学の近似理論（関数を多項式で近似する理論）の基礎にもつながっているのです。
積和・和積の公式がよく使われる典型パターンを確認しておきましょう。
$\cos 20^\circ \cos 40^\circ \cos 80^\circ$ の値を求めます。3つの因数の積なので、まず2つを選んで積和で変換し、順に簡約化します。
$$\cos 20^\circ \cos 40^\circ \cos 80^\circ = \frac{1}{2}(\cos 60^\circ + \cos 20^\circ) \cos 80^\circ$$
$$= \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\cos 80^\circ + \cos 20^\circ \cos 80^\circ\right)$$
$\cos 20^\circ \cos 80^\circ = \frac{1}{2}(\cos 100^\circ + \cos 60^\circ) = \frac{1}{2}(-\cos 80^\circ + \frac{1}{2})$ ですが、ここでは別の方法が効率的です。分子分母に $\sin 20^\circ$ をかけると、2倍角の公式を繰り返し使えます。
$$\sin 20^\circ \cos 20^\circ = \frac{1}{2}\sin 40^\circ$$
$$\frac{1}{2}\sin 40^\circ \cos 40^\circ = \frac{1}{4}\sin 80^\circ$$
$$\frac{1}{4}\sin 80^\circ \cos 80^\circ = \frac{1}{8}\sin 160^\circ = \frac{1}{8}\sin 20^\circ$$
したがって、$\sin 20^\circ \cdot \cos 20^\circ \cos 40^\circ \cos 80^\circ = \frac{1}{8}\sin 20^\circ$ より、
$$\cos 20^\circ \cos 40^\circ \cos 80^\circ = \frac{1}{8}$$
$\sin 2\theta + \sin 3\theta + \sin 4\theta = 0$ $(0 \leq \theta \leq \pi)$ を解きます。
3項のうち $\sin 2\theta$ と $\sin 4\theta$ を和積で変換するのがコツです。
$$\sin 2\theta + \sin 4\theta = 2\sin 3\theta \cos\theta$$
したがって元の式は、
$$2\sin 3\theta \cos\theta + \sin 3\theta = 0$$
$$\sin 3\theta (2\cos\theta + 1) = 0$$
$\sin 3\theta = 0$ または $\cos\theta = -\frac{1}{2}$ を解いて、$\theta = 0, \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}, \pi$ が得られます。
$\sin 2\theta + \sin 3\theta + \sin 4\theta = 0$ で、$\sin 2\theta$ と $\sin 3\theta$ を組み合わせると共通因数が出にくく、計算が複雑になります。
✗ 非効率：$\sin 2\theta + \sin 3\theta$ を和積で変換する
✓ 効率的：$\sin 2\theta + \sin 4\theta$ を和積で変換する（$\sin 3\theta$ が共通因数として現れる）
角度が「等差」になっている項（$2\theta, 4\theta$ は差が $2\theta$ で対称）を組み合わせると、真ん中の角度（$3\theta$）の $\sin$ が共通因数として出てくるのです。
$\triangle\mathrm{ABC}$ において $A + B + C = \pi$ のとき、次の等式を証明する場面を考えます。
$$\sin A + \sin B + \sin C = 4\cos\frac{A}{2}\cos\frac{B}{2}\cos\frac{C}{2}$$
左辺の $\sin A + \sin B$ を和積で変換します。
$$\sin A + \sin B = 2\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}$$
$A + B + C = \pi$ より $A + B = \pi - C$ なので、$\frac{A+B}{2} = \frac{\pi - C}{2}$ です。したがって、
$$\sin\frac{A+B}{2} = \sin\frac{\pi - C}{2} = \cos\frac{C}{2}$$
一方、$\sin C = 2\sin\frac{C}{2}\cos\frac{C}{2}$ （2倍角の公式）です。よって、
$$(\text{左辺}) = 2\cos\frac{C}{2}\cos\frac{A-B}{2} + 2\sin\frac{C}{2}\cos\frac{C}{2}$$
$$= 2\cos\frac{C}{2}\left(\cos\frac{A-B}{2} + \sin\frac{C}{2}\right)$$
$\sin\frac{C}{2} = \cos\frac{\pi - C}{2} = \cos\frac{A+B}{2}$ なので、
$$= 2\cos\frac{C}{2}\left(\cos\frac{A-B}{2} + \cos\frac{A+B}{2}\right) = 2\cos\frac{C}{2} \cdot 2\cos\frac{A}{2}\cos\frac{B}{2}$$
$$= 4\cos\frac{A}{2}\cos\frac{B}{2}\cos\frac{C}{2} = (\text{右辺})$$
$\sin A + \sin B + \sin C = 4\cos\frac{A}{2}\cos\frac{B}{2}\cos\frac{C}{2}$ のような等式は、$A + B + C = \pi$ という拘束条件のもとで成り立ちます。大学数学では、このような対称式を扱う際に対称群の理論が使われます。
また、右辺の $4\cos\frac{A}{2}\cos\frac{B}{2}\cos\frac{C}{2}$ は $\frac{r}{R}$（内接円の半径と外接円の半径の比）に密接に関連しています。三角関数の恒等式は、三角形の幾何学的性質を反映しているのです。
Q1. $\sin\alpha\cos\beta$ を和の形に変換する積和の公式を書け。
Q2. $\cos A + \cos B$ を積の形に変換する和積の公式を書け。
Q3. 積和の公式を用いて $\cos 45^\circ \sin 75^\circ$ の値を求めよ。
Q4. 和積の公式を用いて $\cos 105^\circ - \cos 15^\circ$ の値を求めよ。
Q5. 次のうち、和積の公式が使えるのはどれか。(ア) $\sin 3\theta + \sin\theta$ (イ) $\sin\theta + \cos\theta$ (ウ) $\cos 5\theta - \cos 3\theta$
次の値を積和または和積の公式を用いて求めよ。
(1) $\sin 75^\circ \cos 15^\circ$
(2) $\sin 75^\circ + \sin 15^\circ$
(3) $\sin 20^\circ \sin 40^\circ \sin 80^\circ$
(1) $\sin 75^\circ \cos 15^\circ = \dfrac{1}{2}(\sin 90^\circ + \sin 60^\circ) = \dfrac{1}{2}\left(1 + \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) = \dfrac{2 + \sqrt{3}}{4}$
(2) $\sin 75^\circ + \sin 15^\circ = 2\sin 45^\circ \cos 30^\circ = 2 \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{\sqrt{6}}{2}$
(3) $\sin 20^\circ \sin 40^\circ = -\dfrac{1}{2}(\cos 60^\circ - \cos 20^\circ) = -\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{2} - \cos 20^\circ\right) = \dfrac{1}{2}\cos 20^\circ - \dfrac{1}{4}$
別解として、$\cos$ の場合と同様に $\sin$ にも補助因数を掛ける方法が有効です。分子分母に $\cos 20^\circ$ をかけると、
$\cos 20^\circ \sin 20^\circ \sin 40^\circ \sin 80^\circ = \dfrac{1}{2}\sin 40^\circ \sin 40^\circ \sin 80^\circ = \dfrac{1}{2}\sin^2 40^\circ \sin 80^\circ$
これは複雑なので、$2\sin 20^\circ$ をかける方法を使います。
$2\sin 20^\circ \cdot \sin 20^\circ \sin 40^\circ \sin 80^\circ$
$= (1 - \cos 40^\circ) \sin 40^\circ \sin 80^\circ$
$= \sin 40^\circ \sin 80^\circ - \cos 40^\circ \sin 40^\circ \sin 80^\circ$
$= \dfrac{1}{2}\sin 80^\circ \cdot 2\sin 40^\circ - \dfrac{1}{2}\sin 80^\circ \sin 80^\circ$（途中計算省略）
よりエレガントな方法：$8\sin 20^\circ \sin 40^\circ \sin 80^\circ$ を計算します。
$\sin 80^\circ = \cos 10^\circ$、$\sin 40^\circ = \cos 50^\circ$、$\sin 20^\circ = \cos 70^\circ$ を利用し、$\cos 20^\circ \cos 40^\circ \cos 80^\circ = \frac{1}{8}$ の証明と同様に、$8\sin\theta\sin(60^\circ-\theta)\sin(60^\circ+\theta) = 2\sin 3\theta$ を使うと、$\theta = 20^\circ$ で $8\sin 20^\circ \sin 40^\circ \sin 80^\circ = 2\sin 60^\circ = \sqrt{3}$。
よって $\sin 20^\circ \sin 40^\circ \sin 80^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{8}$
$0 \leq \theta \leq \pi$ のとき、次の方程式を解け。
$$\sin 2\theta + \sin 3\theta + \sin 4\theta = 0$$
$\sin 2\theta$ と $\sin 4\theta$ を和積で変換します。
$$\sin 2\theta + \sin 4\theta = 2\sin 3\theta \cos\theta$$
よって元の式は、
$$2\sin 3\theta \cos\theta + \sin 3\theta = 0$$
$$\sin 3\theta(2\cos\theta + 1) = 0$$
【i】$\sin 3\theta = 0$ のとき：$0 \leq \theta \leq \pi$ より $0 \leq 3\theta \leq 3\pi$
$3\theta = 0, \pi, 2\pi, 3\pi$ すなわち $\theta = 0, \dfrac{\pi}{3}, \dfrac{2\pi}{3}, \pi$
【ii】$\cos\theta = -\dfrac{1}{2}$ のとき：$0 \leq \theta \leq \pi$ より $\theta = \dfrac{2\pi}{3}$
以上をまとめて、$\theta = 0, \dfrac{\pi}{3}, \dfrac{2\pi}{3}, \pi$
3つの $\sin$ の和の方程式では、角度が等差数列（$2\theta, 3\theta, 4\theta$）になっているとき、両端の2項を和積で変換するのが定石です。こうすると真ん中の角度の $\sin$ が共通因数として現れ、因数分解できます。
$\triangle\mathrm{ABC}$ において、次の等式が成り立つことを証明せよ。
$$\cos A + \cos B - \cos C = 4\cos\frac{A}{2}\cos\frac{B}{2}\sin\frac{C}{2} - 1$$
$A + B + C = \pi$ より $A + B = \pi - C$ です。
左辺の $\cos A + \cos B$ を和積で変換します。
$$\cos A + \cos B = 2\cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}$$
$\frac{A+B}{2} = \frac{\pi - C}{2}$ より $\cos\frac{A+B}{2} = \cos\frac{\pi - C}{2} = \sin\frac{C}{2}$ なので、
$$\cos A + \cos B = 2\sin\frac{C}{2}\cos\frac{A-B}{2}$$
また、$\cos C = 1 - 2\sin^2\frac{C}{2}$（半角の公式）より、
$$(\text{左辺}) = 2\sin\frac{C}{2}\cos\frac{A-B}{2} - 1 + 2\sin^2\frac{C}{2}$$
$$= 2\sin\frac{C}{2}\left(\cos\frac{A-B}{2} + \sin\frac{C}{2}\right) - 1$$
$\sin\frac{C}{2} = \cos\frac{A+B}{2}$ を代入すると、
$$= 2\sin\frac{C}{2}\left(\cos\frac{A-B}{2} + \cos\frac{A+B}{2}\right) - 1$$
括弧内に和積を適用します。$\cos\frac{A-B}{2} + \cos\frac{A+B}{2} = 2\cos\frac{A}{2}\cos\frac{B}{2}$
$$= 2\sin\frac{C}{2} \cdot 2\cos\frac{A}{2}\cos\frac{B}{2} - 1 = 4\cos\frac{A}{2}\cos\frac{B}{2}\sin\frac{C}{2} - 1 = (\text{右辺})$$
■
三角形の等式の証明では、(1) 同種の三角関数の和に和積を適用、(2) $A+B+C = \pi$ から $\sin\frac{A+B}{2} = \cos\frac{C}{2}$ 等を利用、(3) 半角の公式で次数を揃える、の3ステップが基本パターンです。
$n$ を自然数、$\theta$ を $\sin\theta \neq 0$ を満たす実数とする。次の等式を証明せよ。
$$\sum_{k=1}^{n} \cos k\theta = \frac{\sin\frac{n\theta}{2}}{\sin\frac{\theta}{2}} \cos\frac{(n+1)\theta}{2}$$
左辺の各項 $\cos k\theta$ に $2\sin\frac{\theta}{2}$ をかけて積和で変換します。
$$2\sin\frac{\theta}{2}\cos k\theta = \sin\left(k\theta + \frac{\theta}{2}\right) - \sin\left(k\theta - \frac{\theta}{2}\right) = \sin\frac{(2k+1)\theta}{2} - \sin\frac{(2k-1)\theta}{2}$$
$k = 1$ から $n$ まで足すと、途中の項が消える（望遠鏡和、テレスコーピング）ので、
$$2\sin\frac{\theta}{2} \sum_{k=1}^{n}\cos k\theta = \sin\frac{(2n+1)\theta}{2} - \sin\frac{\theta}{2}$$
右辺を和積で変換します。
$$\sin\frac{(2n+1)\theta}{2} - \sin\frac{\theta}{2} = 2\cos\frac{\frac{(2n+1)\theta}{2} + \frac{\theta}{2}}{2}\sin\frac{\frac{(2n+1)\theta}{2} - \frac{\theta}{2}}{2}$$
$$= 2\cos\frac{(n+1)\theta}{2}\sin\frac{n\theta}{2}$$
したがって、
$$2\sin\frac{\theta}{2} \sum_{k=1}^{n}\cos k\theta = 2\sin\frac{n\theta}{2}\cos\frac{(n+1)\theta}{2}$$
$\sin\frac{\theta}{2} \neq 0$ より両辺を $2\sin\frac{\theta}{2}$ で割って、
$$\sum_{k=1}^{n}\cos k\theta = \frac{\sin\frac{n\theta}{2}}{\sin\frac{\theta}{2}}\cos\frac{(n+1)\theta}{2}$$
■
この証明の核心は「$2\sin\frac{\theta}{2}$ をかけて積和を適用する」というアイデアです。積和の公式 $2\sin\alpha\cos\beta = \sin(\alpha+\beta) - \sin(\alpha-\beta)$ を使うと、各項が「差の形」（望遠鏡型）になり、和をとると中間の項が消えて両端だけ残ります。この手法は $\sum \sin k\theta$ の計算にも同様に使えます。