$\sin\theta$ と $\cos\theta$ が混ざった式を、たった1つの $\sin$ にまとめられたら ── 方程式も不等式も最大・最小も、一気に見通しがよくなります。
この変形が「三角関数の合成」です。公式を丸暗記するのではなく、なぜそうなるのかを座標平面の図形で理解しましょう。
三角関数の方程式・不等式・最大最小を求めるとき、式の中に $\sin\theta$ と $\cos\theta$ が両方入っていると、非常に扱いにくくなります。
例えば、$\sin\theta + \cos\theta = 1$ を解こうとしても、$\sin$ だけ、あるいは $\cos$ だけの式ではないので、そのままでは単位円やグラフを使った議論に持ち込めません。
また、$y = \sin\theta + \cos\theta$ の最大値を求めたい場合も、$\sin$ と $\cos$ が別々に動くため、それぞれの値をどう組み合わせればよいのか、直感的にはわかりません。
$a\sin\theta + b\cos\theta$ は、振幅と位相が異なる2つの波の重ね合わせです。これを $r\sin(\theta + \alpha)$ という1つの波に書き直すのが「合成」です。
1つの $\sin$ にまとめれば、最大値・最小値は $\pm r$ と即座にわかり、方程式や不等式も $\sin$ だけの問題に帰着できます。
加法定理の $\sin$ の加法定理を思い出しましょう。
$$\sin(\theta + \alpha) = \sin\theta\cos\alpha + \cos\theta\sin\alpha$$
右辺は $\sin\theta$ と $\cos\theta$ の1次結合の形をしています。つまり、$a\sin\theta + b\cos\theta$ を $\sin(\theta + \alpha)$ の形に戻すことは、加法定理を「逆方向」に適用していることになります。
問題は、$a$ と $b$ が任意の値のとき、どうやって $\cos\alpha$ と $\sin\alpha$ に対応させるかです。ここで一工夫が必要になります。
$a\sin\theta + b\cos\theta$ を変形します。$r = \sqrt{a^2 + b^2}$ とおくと、
$$a\sin\theta + b\cos\theta = r\left(\frac{a}{r}\sin\theta + \frac{b}{r}\cos\theta\right)$$
ここで $\dfrac{a}{r} = \dfrac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}$、$\dfrac{b}{r} = \dfrac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ とおくと、
$$\left(\frac{a}{r}\right)^2 + \left(\frac{b}{r}\right)^2 = \frac{a^2 + b^2}{a^2 + b^2} = 1$$
$\dfrac{a}{r}$ と $\dfrac{b}{r}$ は、2乗の和が1になります。これはまさに $\cos\alpha$ と $\sin\alpha$ の条件です。
そこで $\cos\alpha = \dfrac{a}{r}$、$\sin\alpha = \dfrac{b}{r}$ を満たす角 $\alpha$ をとると、
$$r\left(\frac{a}{r}\sin\theta + \frac{b}{r}\cos\theta\right) = r(\sin\theta\cos\alpha + \cos\theta\sin\alpha) = r\sin(\theta + \alpha)$$
以上より、
$$a\sin\theta + b\cos\theta = \sqrt{a^2 + b^2}\,\sin(\theta + \alpha)$$
$$a\sin\theta + b\cos\theta = \sqrt{a^2 + b^2}\,\sin(\theta + \alpha)$$
ただし、$\alpha$ は次を満たす角：
$$\cos\alpha = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}, \quad \sin\alpha = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}$$
・$\sqrt{a^2 + b^2}$ は合成後の振幅（最大値）
・$\alpha$ は合成後の位相のずれ（グラフの横方向の移動量）
・$\alpha$ は通常 $-\pi < \alpha \leq \pi$（または $0 \leq \alpha < 2\pi$）の範囲でとる
$a$ と $b$ がそのままでは $\cos\alpha$、$\sin\alpha$ になれない理由は、$a^2 + b^2 \neq 1$ だからです。
$r = \sqrt{a^2 + b^2}$ で割ることで、$\left(\dfrac{a}{r}\right)^2 + \left(\dfrac{b}{r}\right)^2 = 1$ が成立し、初めて三角関数の値として使えるようになります。
この「$r$ を前にくくり出して、中身を三角関数の値に正規化する」という操作が合成の核心です。
$\sin(\theta + \alpha)$ の代わりに $\cos(\theta - \beta)$ の形に合成することもできます。
$$a\sin\theta + b\cos\theta = \sqrt{a^2 + b^2}\,\cos(\theta - \beta)$$
ただし $\sin\beta = \dfrac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}$、$\cos\beta = \dfrac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ です。
$\sin$ で合成するか $\cos$ で合成するかは問題に応じて使い分けます。$\alpha$ が求めやすい方を選ぶのが実戦的です。
$a\sin\theta + b\cos\theta$ で $\sin(\theta + \alpha)$ に合成するとき、
✗ 誤り：$\cos\alpha = \dfrac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}$、$\sin\alpha = \dfrac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}$
✓ 正しい：$\cos\alpha = \dfrac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}$、$\sin\alpha = \dfrac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}$
$\sin\theta$ の係数 $a$ が $\cos\alpha$ に、$\cos\theta$ の係数 $b$ が $\sin\alpha$ に対応します。加法定理 $\sin(\theta + \alpha) = \sin\theta\cos\alpha + \cos\theta\sin\alpha$ と見比べれば、対応は明らかです。
「$\sin$ と $\cos$ の線形結合を1つの三角関数にまとめる」という操作は、大学で学ぶフーリエ解析の基礎的なアイデアに直結します。フーリエ解析では、あらゆる周期関数を $\sin$ と $\cos$ の無限和（フーリエ級数）で表現します。
高校で学ぶ合成は、その最も基本的な場合（同じ周期の $\sin$ と $\cos$ の1次結合）にあたります。信号処理、音声分析、画像圧縮など、現代技術の根幹を支える数学です。
合成公式の $\alpha$ をどう求めるか ── 実は、座標平面に1つの点を打つだけで、全てが見えてきます。
$a\sin\theta + b\cos\theta$ を合成するとき、座標平面上に点 $\mathrm{P}(a, b)$ をとります。すると、
この2つを読み取るだけで、合成が完了します。
点 $\mathrm{P}(a, b)$ を極座標 $(r, \alpha)$ で表すことが、合成の図形的な意味です。
直交座標 $(a, b)$ → 極座標 $(r, \alpha)$ の変換により、$a = r\cos\alpha$、$b = r\sin\alpha$ が成り立ちます。これをそのまま $a\sin\theta + b\cos\theta$ に代入すれば、加法定理の逆で $r\sin(\theta + \alpha)$ が得られます。
$a = \sqrt{3}$、$b = 1$ なので、点 $\mathrm{P}(\sqrt{3}, 1)$ をとります。
$$r = \mathrm{OP} = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{4} = 2$$
$\cos\alpha = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$、$\sin\alpha = \dfrac{1}{2}$ より $\alpha = \dfrac{\pi}{6}$ です。
したがって、
$$\sqrt{3}\sin\theta + \cos\theta = 2\sin\left(\theta + \frac{\pi}{6}\right)$$
$a = 1$、$b = -1$ なので、点 $\mathrm{P}(1, -1)$ をとります（第4象限）。
$$r = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$$
$\cos\alpha = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$、$\sin\alpha = \dfrac{-1}{\sqrt{2}}$ より $\alpha = -\dfrac{\pi}{4}$ です。
$$\sin\theta - \cos\theta = \sqrt{2}\sin\left(\theta - \frac{\pi}{4}\right)$$
点 $\mathrm{P}(a, b)$ が第1象限以外にあるとき、$\alpha$ の値を間違えやすくなります。
例えば $-\sin\theta + \sqrt{3}\cos\theta$ の合成では、$\mathrm{P}(-1, \sqrt{3})$ は第2象限にあります。
✗ 誤り：$\cos\alpha = \dfrac{1}{2}$、$\sin\alpha = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ → $\alpha = \dfrac{\pi}{3}$（第1象限の角と勘違い）
✓ 正しい：$\cos\alpha = -\dfrac{1}{2}$、$\sin\alpha = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ → $\alpha = \dfrac{2\pi}{3}$（第2象限の角）
必ず $\cos\alpha$ と $\sin\alpha$ の両方の符号から象限を確認しましょう。
大学の線形代数では、$\sin(\theta + \alpha) = \sin\theta\cos\alpha + \cos\theta\sin\alpha$ を行列で表現します。角 $\alpha$ の回転行列を $R(\alpha)$ とすると、ベクトル $(\cos\theta, \sin\theta)$ を角 $\alpha$ だけ回転させる操作が $R(\alpha)(\cos\theta, \sin\theta)^T$ です。
三角関数の合成は、この回転操作を1変数の関数として見たものに他なりません。合成公式の背後には「平面の回転」という幾何学が隠れています。
$a\sin\theta + b\cos\theta$ を合成する手順を整理します。
これで $a\sin\theta + b\cos\theta = r\sin(\theta + \alpha)$ が完成です。
合成できるのは $\sin\theta$ と $\cos\theta$ の角が同じ場合だけです。
✗ 合成できない：$\sin\theta + \sqrt{3}\cos 3\theta$（角が $\theta$ と $3\theta$ で異なる）
✓ 合成できる：$\sin 2\theta + \sqrt{3}\cos 2\theta$（角がともに $2\theta$）
角が異なるときは、まず加法定理や倍角公式で角を統一してから合成します。
| パターン | 例 | 対処法 |
|---|---|---|
| 基本形（同じ角の1次式） | $\sqrt{3}\sin\theta + \cos\theta$ | そのまま合成 |
| 倍角が混在 | $\sin 2\theta - \cos 2\theta$ | $2\theta$ をまとめて合成 |
| 2次同次式 | $\sqrt{3}\sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta$ | 倍角・半角で $2\theta$ に直してから合成 |
| $\sin(\theta + \alpha)$ を含む | $\cos\theta + \sin\!\left(\theta + \dfrac{\pi}{3}\right)$ | 加法定理で展開してから合成 |
$\sin\theta\cos\theta$、$\sin^2\theta$、$\cos^2\theta$ が混在する式は、まず次の公式で $2\theta$ の三角関数に変換します。
$$\sin^2\theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}, \quad \cos^2\theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}, \quad \sin\theta\cos\theta = \frac{\sin 2\theta}{2}$$
これで $\sin 2\theta$ と $\cos 2\theta$ の1次式になるので、改めて合成します。
例えば $\sqrt{3}\sin\theta\cos\theta - \cos^2\theta$ の場合、
$$= \frac{\sqrt{3}}{2}\sin 2\theta - \frac{1 + \cos 2\theta}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}\sin 2\theta - \frac{1}{2}\cos 2\theta - \frac{1}{2}$$
$\dfrac{\sqrt{3}}{2}\sin 2\theta - \dfrac{1}{2}\cos 2\theta$ の部分を合成すると、点 $\mathrm{P}\!\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}, -\dfrac{1}{2}\right)$ より $r = 1$、$\alpha = -\dfrac{\pi}{6}$ なので、
$$= \sin\left(2\theta - \frac{\pi}{6}\right) - \frac{1}{2}$$
$\sin\theta$、$\cos\theta$ の2次式（$\sin^2\theta$、$\sin\theta\cos\theta$、$\cos^2\theta$ の組合せ）は、倍角・半角公式を使うと $2\theta$ の三角関数の1次式に変わります。
1次なら → そのまま合成
2次なら → $2\theta$ に直して合成
この判断パターンを押さえておけば、ほとんどの合成問題に対応できます。
2次同次式を倍角に変換すると、定数項（$\dfrac{1}{2}$ など）が生じることがあります。最大・最小を求めるときに、この定数項を忘れてはいけません。
✗ 誤り：$\sqrt{3}\sin\theta\cos\theta - \cos^2\theta$ の最大値は $1$
✓ 正しい：$\sin\!\left(2\theta - \dfrac{\pi}{6}\right) - \dfrac{1}{2}$ の最大値は $1 - \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2}$
$a\sin\theta + b\cos\theta$ は、ベクトル $\vec{p} = (a, b)$ と $\vec{q} = (\sin\theta, \cos\theta)$ の内積 $\vec{p} \cdot \vec{q}$ と見なせます。
内積の公式 $\vec{p} \cdot \vec{q} = |\vec{p}||\vec{q}|\cos\phi$（$\phi$ は2つのベクトルのなす角）を使うと、$|\vec{q}| = 1$ なので $a\sin\theta + b\cos\theta = |\vec{p}|\cos\phi = \sqrt{a^2 + b^2}\cos\phi$ となり、最大値が $\sqrt{a^2 + b^2}$ であることが直ちにわかります。
数学Cでベクトルの内積を学んだ後に振り返ると、合成の別の側面が見えてきます。
$\sin\theta - \cos\theta = 1$ を解いてみましょう。
まず左辺を合成します。$a = 1$、$b = -1$ より $r = \sqrt{2}$、$\alpha = -\dfrac{\pi}{4}$ なので、
$$\sqrt{2}\sin\left(\theta - \frac{\pi}{4}\right) = 1$$
$$\sin\left(\theta - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}}$$
$0 \leq \theta < 2\pi$ のとき、$-\dfrac{\pi}{4} \leq \theta - \dfrac{\pi}{4} < \dfrac{7\pi}{4}$ なので、
$$\theta - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4}, \quad \frac{3\pi}{4}$$
$$\therefore \quad \theta = \frac{\pi}{2}, \quad \pi$$
$\theta$ の範囲が $0 \leq \theta < 2\pi$ のとき、$\theta + \alpha$ の範囲は $\alpha \leq \theta + \alpha < 2\pi + \alpha$ に変わります。
この変域の変換を忘れると、解の個数を間違えたり、解を見落としたりする原因になります。
✗ 誤り：$0 \leq \theta - \dfrac{\pi}{4} < 2\pi$（$\theta$ の範囲をそのまま使う）
✓ 正しい：$-\dfrac{\pi}{4} \leq \theta - \dfrac{\pi}{4} < \dfrac{7\pi}{4}$（$\alpha$ のずれを反映する）
$y = \sin\theta + \sqrt{3}\cos\theta$（$0 \leq \theta \leq \pi$）の最大値・最小値を求めます。
合成すると $y = 2\sin\!\left(\theta + \dfrac{\pi}{3}\right)$ です。
$0 \leq \theta \leq \pi$ のとき $\dfrac{\pi}{3} \leq \theta + \dfrac{\pi}{3} \leq \dfrac{4\pi}{3}$ なので、
ここで注意したいのは、$\sin$ の最小値が $-1$ ではなく $-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ になっている点です。$\theta + \dfrac{\pi}{3}$ の変域が $\left[\dfrac{\pi}{3},\, \dfrac{4\pi}{3}\right]$ であるため、$\sin$ が $-1$ をとる角 $\dfrac{3\pi}{2}$ はこの範囲に含まれないからです。
$\cos\theta + \sin\theta > 0$（$0 \leq \theta < 2\pi$）を解きます。
$\sin\theta + \cos\theta$ を合成すると $\sqrt{2}\sin\!\left(\theta + \dfrac{\pi}{4}\right) > 0$ です。
$\sqrt{2} > 0$ なので $\sin\!\left(\theta + \dfrac{\pi}{4}\right) > 0$ と同値です。
$\dfrac{\pi}{4} \leq \theta + \dfrac{\pi}{4} < \dfrac{9\pi}{4}$ の範囲で $\sin > 0$ となるのは $\dfrac{\pi}{4} \leq \theta + \dfrac{\pi}{4} < \pi$ すなわち $0 \leq \theta < \dfrac{3\pi}{4}$ と、$2\pi < \theta + \dfrac{\pi}{4} < \dfrac{9\pi}{4}$ すなわち $\dfrac{7\pi}{4} < \theta < 2\pi$ です。
$$\therefore \quad 0 \leq \theta < \frac{3\pi}{4} \quad \text{または} \quad \frac{7\pi}{4} < \theta < 2\pi$$
物理では、同じ振動数の2つの波 $A_1\sin(\omega t + \phi_1)$ と $A_2\sin(\omega t + \phi_2)$ を重ね合わせたとき、合成波がどんな振幅と位相を持つかが重要な問題になります。これはまさに三角関数の合成そのものです。
例えば音響学では、2つの音源からの音の干渉を理解するために合成が使われます。振幅が最大になる「強め合い」と最小になる「弱め合い」の条件は、合成後の振幅 $\sqrt{a^2 + b^2}$ の大小で決まります。
Q1. $\sqrt{3}\sin\theta + \cos\theta$ を $r\sin(\theta + \alpha)$ の形に合成せよ（$r > 0$、$0 \leq \alpha < 2\pi$）。
Q2. $\sin\theta - \sqrt{3}\cos\theta$ を $r\sin(\theta + \alpha)$ の形に合成せよ（$r > 0$、$-\pi < \alpha \leq \pi$）。
Q3. $3\sin\theta + 4\cos\theta$ の最大値と最小値を求めよ。
Q4. $\sin\theta + \cos\theta = \sqrt{2}\sin(\theta + \alpha)$ のとき、$\alpha$ の値を求めよ（$0 \leq \alpha < 2\pi$）。
Q5. $\sin 2\theta + \sqrt{3}\cos 2\theta$ を合成せよ。
$0 \leq \theta < 2\pi$ のとき、方程式 $\sin\theta + \cos\theta = 1$ を解け。
$\sin\theta$ と $\cos\theta$ が混在しているので、合成して $\sin$ だけの方程式に帰着させます。
左辺を合成すると $\sin\theta + \cos\theta = \sqrt{2}\sin\!\left(\theta + \dfrac{\pi}{4}\right)$
方程式は $\sqrt{2}\sin\!\left(\theta + \dfrac{\pi}{4}\right) = 1$ すなわち $\sin\!\left(\theta + \dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$
$0 \leq \theta < 2\pi$ より $\dfrac{\pi}{4} \leq \theta + \dfrac{\pi}{4} < \dfrac{9\pi}{4}$
この範囲で $\sin = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$ を満たすのは $\theta + \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\pi}{4},\, \dfrac{3\pi}{4}$
$$\therefore \quad \theta = 0, \quad \frac{\pi}{2}$$
$0 \leq \theta \leq \dfrac{\pi}{2}$ のとき、関数 $y = \sin\theta + \sqrt{3}\cos\theta$ の最大値と最小値を求めよ。また、そのときの $\theta$ の値を求めよ。
合成して $r\sin(\theta + \alpha)$ の形にし、$\theta + \alpha$ の変域における $\sin$ の最大・最小を調べます。
$y = \sin\theta + \sqrt{3}\cos\theta = 2\sin\!\left(\theta + \dfrac{\pi}{3}\right)$
$0 \leq \theta \leq \dfrac{\pi}{2}$ より $\dfrac{\pi}{3} \leq \theta + \dfrac{\pi}{3} \leq \dfrac{5\pi}{6}$
$\sin$ の値は $\theta + \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\pi}{2}$ で最大値 $1$、$\theta + \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{5\pi}{6}$ で最小値 $\dfrac{1}{2}$
よって $\theta = \dfrac{\pi}{6}$ のとき最大値 $2$、$\theta = \dfrac{\pi}{2}$ のとき最小値 $1$
$0 \leq \theta \leq \pi$ のとき、関数 $y = \sqrt{3}\sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta$ の最大値と最小値を求めよ。また、そのときの $\theta$ の値を求めよ。
$\sin\theta\cos\theta$ と $\cos^2\theta$ の式を倍角・半角公式で $2\theta$ の三角関数に変換し、合成します。
$$y = \frac{\sqrt{3}}{2}\sin 2\theta + \frac{1 + \cos 2\theta}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}\sin 2\theta + \frac{1}{2}\cos 2\theta + \frac{1}{2}$$
$\dfrac{\sqrt{3}}{2}\sin 2\theta + \dfrac{1}{2}\cos 2\theta$ を合成します。点 $\mathrm{P}\!\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2},\, \dfrac{1}{2}\right)$ より $r = 1$、$\alpha = \dfrac{\pi}{6}$。
$$y = \sin\left(2\theta + \frac{\pi}{6}\right) + \frac{1}{2}$$
$0 \leq \theta \leq \pi$ より $\dfrac{\pi}{6} \leq 2\theta + \dfrac{\pi}{6} \leq \dfrac{13\pi}{6}$
$\sin\!\left(2\theta + \dfrac{\pi}{6}\right) = 1$ のとき最大。$2\theta + \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\pi}{2}$ すなわち $\theta = \dfrac{\pi}{6}$ で最大値 $\dfrac{3}{2}$
$\sin\!\left(2\theta + \dfrac{\pi}{6}\right) = -1$ のとき最小。$2\theta + \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{3\pi}{2}$ すなわち $\theta = \dfrac{2\pi}{3}$ で最小値 $-\dfrac{1}{2}$
$0 \leq \theta \leq \dfrac{\pi}{2}$ のとき、$\sin^3\theta + \cos^3\theta$ のとりうる値の範囲を求めよ。
$\sin\theta + \cos\theta = t$ とおくと、$\sin\theta\cos\theta$ が $t$ で表せます。$\sin^3\theta + \cos^3\theta$ を因数分解して $t$ の3次関数に帰着させ、$t$ の変域を合成で求めます。
$t = \sin\theta + \cos\theta = \sqrt{2}\sin\!\left(\theta + \dfrac{\pi}{4}\right)$ とおきます。
$0 \leq \theta \leq \dfrac{\pi}{2}$ のとき $\dfrac{\pi}{4} \leq \theta + \dfrac{\pi}{4} \leq \dfrac{3\pi}{4}$ なので $\dfrac{1}{\sqrt{2}} \leq \sin\!\left(\theta + \dfrac{\pi}{4}\right) \leq 1$
よって $1 \leq t \leq \sqrt{2}$ です。
$t^2 = 1 + 2\sin\theta\cos\theta$ より $\sin\theta\cos\theta = \dfrac{t^2 - 1}{2}$ です。
$\sin^3\theta + \cos^3\theta = (\sin\theta + \cos\theta)(\sin^2\theta - \sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta)$
$= t\!\left(1 - \dfrac{t^2 - 1}{2}\right) = t \cdot \dfrac{3 - t^2}{2} = \dfrac{3t - t^3}{2}$
$f(t) = \dfrac{3t - t^3}{2}$（$1 \leq t \leq \sqrt{2}$）の最大・最小を調べます。
$f'(t) = \dfrac{3 - 3t^2}{2} = \dfrac{3(1 - t)(1 + t)}{2}$
$1 \leq t \leq \sqrt{2}$ で $f'(t) \leq 0$ なので $f(t)$ は単調減少。
$f(1) = \dfrac{3 - 1}{2} = 1$、$f(\sqrt{2}) = \dfrac{3\sqrt{2} - 2\sqrt{2}}{2} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$
よって $\sin^3\theta + \cos^3\theta$ のとりうる値の範囲は $\dfrac{\sqrt{2}}{2} \leq \sin^3\theta + \cos^3\theta \leq 1$