「$\sin 2\alpha$ って $2\sin\alpha$ じゃないの？」── この疑問に答えるのが2倍角の公式です。
加法定理で $\beta = \alpha$ とするだけで導ける、シンプルだけど応用範囲の広い公式群を、導出から活用法まで一気に理解しましょう。
$\sin 2\alpha$、$\cos 2\alpha$、$\tan 2\alpha$ を $\sin\alpha$、$\cos\alpha$、$\tan\alpha$ で表す公式を2倍角の公式といいます。「角が2倍になったとき、三角関数の値はどう変わるか」を教えてくれる公式です。
大切なのは、これらの公式は加法定理から自然に導けるということです。丸暗記する必要はありません。
加法定理 $\sin(\alpha + \beta)$、$\cos(\alpha + \beta)$、$\tan(\alpha + \beta)$ において、$\beta = \alpha$ と置くだけで2倍角の公式が得られます。つまり、加法定理さえ覚えていれば、2倍角の公式はその場で作れるのです。
公式を忘れたら「$2\alpha = \alpha + \alpha$」と分解して加法定理を適用する ── この発想を身につけておきましょう。
正弦の加法定理 $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$ で $\beta = \alpha$ とすると、
$$\sin(\alpha + \alpha) = \sin\alpha\cos\alpha + \cos\alpha\sin\alpha$$
$$\therefore \quad \sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$$
余弦の加法定理 $\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$ で $\beta = \alpha$ とすると、
$$\cos(\alpha + \alpha) = \cos\alpha\cos\alpha - \sin\alpha\sin\alpha$$
$$\therefore \quad \cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$$
正接の加法定理 $\tan(\alpha + \beta) = \dfrac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha\tan\beta}$ で $\beta = \alpha$ とすると、
$$\tan(\alpha + \alpha) = \frac{\tan\alpha + \tan\alpha}{1 - \tan\alpha \cdot \tan\alpha}$$
$$\therefore \quad \tan 2\alpha = \frac{2\tan\alpha}{1 - \tan^2\alpha}$$
ただし、$\tan\alpha$ が存在し、かつ $\tan^2\alpha \neq 1$（すなわち $\alpha \neq \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{n\pi}{2}$）のときに成り立ちます。
$$\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$$
$$\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$$
$$\tan 2\alpha = \frac{2\tan\alpha}{1 - \tan^2\alpha}$$
すべて加法定理で $\beta = \alpha$ とするだけで導けます。覚え方に困ったら「$2\alpha = \alpha + \alpha$」と分解しましょう。
三角関数に慣れていないうちは「$\sin 2\alpha = 2\sin\alpha$」と思いがちですが、これは完全に間違いです。
✗ 誤り：$\sin 2\alpha = 2\sin\alpha$
✓ 正しい：$\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$
一般に $\sin(2\alpha) \neq 2\sin\alpha$ です。例えば $\alpha = \dfrac{\pi}{4}$ のとき、$\sin\dfrac{\pi}{2} = 1$ ですが $2\sin\dfrac{\pi}{4} = 2 \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} \neq 1$ です。
大学数学では、$(\cos\alpha + i\sin\alpha)^n = \cos n\alpha + i\sin n\alpha$ というド・モアブルの定理を学びます。$n = 2$ のとき左辺を展開して実部・虚部を比較すると、2倍角の公式がまとめて得られます。3倍角、4倍角、...も同じ方法で機械的に導出できるため、加法定理を繰り返す必要がなくなります。
$\cos 2\alpha$ には3通りの等しい表現があります。これは $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ を使って変形できるからです。
基本形は $\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$ です。
sin だけで表す：$\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha$ を代入すると、
$$\cos 2\alpha = (1 - \sin^2\alpha) - \sin^2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha$$
cos だけで表す：$\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha$ を代入すると、
$$\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - (1 - \cos^2\alpha) = 2\cos^2\alpha - 1$$
$$\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$$
$$= 1 - 2\sin^2\alpha$$
$$= 2\cos^2\alpha - 1$$
3つとも同じ値です。問題に合わせて「sin だけ」「cos だけ」「両方」のどの形を使うか選びましょう。
$\cos 2\alpha$ の3つの形は、次の指針で使い分けます。
式に $\sin\alpha$ しかない → $\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha$ を使う
式に $\cos\alpha$ しかない → $\cos 2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1$ を使う
式に $\sin\alpha$ と $\cos\alpha$ の両方がある → $\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$ を使う
要するに、「式の中にある三角関数の種類に合わせる」のがコツです。
$\cos 2\alpha$ の変形で、$1$ の符号や $2$ の位置を間違えるミスが非常に多いです。
✗ 誤り：$\cos 2\alpha = 2\sin^2\alpha - 1$
✓ 正しい：$\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha$
自信がなければ、$\cos^2\alpha - \sin^2\alpha$ から $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ を使って毎回導出しましょう。確実にミスを防げます。
$\alpha = \dfrac{\pi}{6}$ のとき、$\sin\alpha = \dfrac{1}{2}$、$\cos\alpha = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ です。3通りの式で $\cos\dfrac{\pi}{3}$ を計算すると、
$$\cos^2\frac{\pi}{6} - \sin^2\frac{\pi}{6} = \frac{3}{4} - \frac{1}{4} = \frac{1}{2} \quad \checkmark$$
$$1 - 2\sin^2\frac{\pi}{6} = 1 - 2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{2} \quad \checkmark$$
$$2\cos^2\frac{\pi}{6} - 1 = 2 \cdot \frac{3}{4} - 1 = \frac{1}{2} \quad \checkmark$$
確かに $\cos\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2}$ に一致し、すべて同じ値になります。
2倍角の公式を $\sin^2\alpha$ や $\cos^2\alpha$ について解くと、半角の公式が得られます。角を半分にしたときの三角関数の値を求める公式です。
$\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha$ を $\sin^2\alpha$ について解くと、
$$\sin^2\alpha = \frac{1 - \cos 2\alpha}{2}$$
$\cos 2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1$ を $\cos^2\alpha$ について解くと、
$$\cos^2\alpha = \frac{1 + \cos 2\alpha}{2}$$
これらの式で $\alpha$ の代わりに $\dfrac{\alpha}{2}$ と置くと（つまり $2\alpha \to \alpha$）、
$$\sin^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1 - \cos\alpha}{2}, \qquad \cos^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1 + \cos\alpha}{2}$$
さらに、$\tan^2\dfrac{\alpha}{2} = \dfrac{\sin^2\frac{\alpha}{2}}{\cos^2\frac{\alpha}{2}}$ より、
$$\tan^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1 - \cos\alpha}{1 + \cos\alpha}$$
$$\sin^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1 - \cos\alpha}{2}$$
$$\cos^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1 + \cos\alpha}{2}$$
$$\tan^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1 - \cos\alpha}{1 + \cos\alpha}$$
左辺はすべて「2乗」であることに注意してください。$\sin\dfrac{\alpha}{2}$ そのものの符号は、$\dfrac{\alpha}{2}$ の象限で決まります。
半角の公式は、2倍角の公式 $\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha$ と $\cos 2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1$ を変形するだけで得られます。無理に暗記するよりも、必要なときにその場で導出する力を身につける方がはるかに確実です。
「$\cos 2\alpha$ の式を $\sin^2$ や $\cos^2$ について解く → $\alpha$ を $\dfrac{\alpha}{2}$ に置き換える」という手順を覚えておきましょう。
半角の公式で求まるのは $\sin^2\dfrac{\alpha}{2}$ や $\cos^2\dfrac{\alpha}{2}$ であり、$\sin\dfrac{\alpha}{2}$ そのものではありません。
$\sin\dfrac{\alpha}{2}$ の値を求めるには、2乗の値の平方根をとり、$\dfrac{\alpha}{2}$ がどの象限にあるかで符号を決定する必要があります。
✗ 誤り：$\sin\dfrac{\alpha}{2} = \dfrac{1 - \cos\alpha}{2}$（2乗を外し忘れ）
✓ 正しい：$\sin^2\dfrac{\alpha}{2} = \dfrac{1 - \cos\alpha}{2}$ → $\sin\dfrac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\dfrac{1 - \cos\alpha}{2}}$（象限で符号決定）
$\cos\dfrac{\pi}{8}$ の値を求めてみましょう。$\dfrac{\pi}{8} = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{\pi}{4}$ なので、$\alpha = \dfrac{\pi}{4}$ として半角の公式を使います。
$$\cos^2\frac{\pi}{8} = \frac{1 + \cos\frac{\pi}{4}}{2} = \frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2} = \frac{2 + \sqrt{2}}{4}$$
$0 < \dfrac{\pi}{8} < \dfrac{\pi}{2}$ なので $\cos\dfrac{\pi}{8} > 0$ です。したがって、
$$\cos\frac{\pi}{8} = \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}} = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$$
半角の公式を繰り返し使うと、$\cos\dfrac{\pi}{8}$、$\cos\dfrac{\pi}{16}$、$\cos\dfrac{\pi}{32}$、...と、どんどん小さな角の三角関数の値が求まります。これは正 $n$ 角形（$n = 8, 16, 32, \ldots$）の頂点の座標を求めることに相当します。歴史的には、この方法を使って円周率 $\pi$ の近似値が計算されてきました。
2倍角の公式が威力を発揮する場面は、大きく分けて2つあります。「次数を下げる」ことと「角を統一する」ことです。
$\sin^2\alpha$ や $\cos^2\alpha$ が含まれる式は、2倍角の公式を使って1次式に変換できます。
$$\sin^2\alpha = \frac{1 - \cos 2\alpha}{2}, \qquad \cos^2\alpha = \frac{1 + \cos 2\alpha}{2}$$
これにより、2次の三角関数を1次に落とせるので、三角関数の合成が使えるようになります。
例えば、$f(\theta) = 3\sin^2\theta + 4\sin\theta\cos\theta - \cos^2\theta$ の最大値・最小値を求めるとき、
$$f(\theta) = 3 \cdot \frac{1 - \cos 2\theta}{2} + 2\sin 2\theta - \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$$
$$= \frac{3 - 3\cos 2\theta}{2} + 2\sin 2\theta - \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$$
$$= 2\sin 2\theta - 2\cos 2\theta + 1$$
と $2\theta$ の1次式に変換でき、ここから三角関数の合成で最大値・最小値が求まります。
$\sin\alpha\cos\alpha$ という積が現れたら、$\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$ から
$$\sin\alpha\cos\alpha = \frac{\sin 2\alpha}{2}$$
と変形して、$\alpha$ と $2\alpha$ の角を統一できます。方程式 $\sin 2\alpha = \cos\alpha$ のような問題では、左辺を $2\sin\alpha\cos\alpha$ に展開して角を $\alpha$ に統一する、あるいは逆に右辺の角を $2\alpha$ にそろえるなどの戦略が使えます。
2倍角の公式の本質は、「角度を2倍にする代わりに、次数を1つ下げる」ということです。
$\sin^2\alpha$（2次・角 $\alpha$）→ $\dfrac{1 - \cos 2\alpha}{2}$（1次・角 $2\alpha$）
逆に半角の公式は「角度を半分にする代わりに、次数を1つ上げる」操作です。この「次数と角度のトレードオフ」を意識すると、どちらの方向に変形すべきかが見えてきます。
$\alpha$ の三角関数の値がわかっているとき、$2\alpha$ の三角関数の値を求める問題は定番です。
例えば、$\sin\alpha = \dfrac{3}{5}$（$\dfrac{\pi}{2} < \alpha < \pi$）のとき、$\cos\alpha < 0$ なので $\cos\alpha = -\dfrac{4}{5}$ です。したがって、
$$\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha = 2 \cdot \frac{3}{5} \cdot \left(-\frac{4}{5}\right) = -\frac{24}{25}$$
$$\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha = 1 - 2 \cdot \frac{9}{25} = \frac{7}{25}$$
$\sin\alpha$ の値が与えられたとき、$\cos\alpha$ の値を求める際に符号の決定を忘れるミスが多発します。
$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ から $\cos^2\alpha$ を求めた後、$\alpha$ がどの象限にあるかで $\cos\alpha$ の正負を必ず判定しましょう。
✗ 誤り：$\sin\alpha = \dfrac{3}{5}$ → $\cos\alpha = \dfrac{4}{5}$（$\alpha$ の範囲を確認せず正と決めつけ）
✓ 正しい：$\dfrac{\pi}{2} < \alpha < \pi$ なので $\cos\alpha < 0$ → $\cos\alpha = -\dfrac{4}{5}$
大学の「フーリエ解析」では、$\sin^2 x$、$\cos^2 x$ などの高次の三角関数を $\cos 2x$ のような1次の三角関数に書き直す操作が頻繁に登場します。これはまさに2倍角の公式による次数下げそのものです。音や信号を周波数成分に分解するフーリエ級数展開において、この変換は基本的な道具となります。
$\tan 2\alpha = \dfrac{2\tan\alpha}{1 - \tan^2\alpha}$ は、$\tan\alpha$ の値だけから $\tan 2\alpha$ が計算できることを示しています。$\sin$ や $\cos$ を経由する必要がないため、$\tan$ の値だけが与えられた問題で重宝します。
$t = \tan\dfrac{\alpha}{2}$ とおくと、$\sin\alpha$、$\cos\alpha$、$\tan\alpha$ をすべて $t$ で表すことができます。
$\alpha = 2 \cdot \dfrac{\alpha}{2}$ と見て2倍角の公式を適用します。$t = \tan\dfrac{\alpha}{2}$ とおくと、
$$\sin\alpha = 2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2} = \frac{2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}}{\sin^2\frac{\alpha}{2} + \cos^2\frac{\alpha}{2}}$$
分子・分母を $\cos^2\dfrac{\alpha}{2}$ で割ると、
$$\sin\alpha = \frac{2\tan\frac{\alpha}{2}}{1 + \tan^2\frac{\alpha}{2}} = \frac{2t}{1 + t^2}$$
同様に、$\cos\alpha = \cos^2\dfrac{\alpha}{2} - \sin^2\dfrac{\alpha}{2}$ の分子・分母を $\cos^2\dfrac{\alpha}{2}$ で割ると、
$$\cos\alpha = \frac{1 - \tan^2\frac{\alpha}{2}}{1 + \tan^2\frac{\alpha}{2}} = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}$$
$t = \tan\dfrac{\alpha}{2}$ とおくと、
$$\sin\alpha = \frac{2t}{1 + t^2}, \qquad \cos\alpha = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}, \qquad \tan\alpha = \frac{2t}{1 - t^2}$$
この置換は「ワイエルシュトラス置換」と呼ばれ、三角関数を有理式に変換する強力な手法です。
$\tan\dfrac{\alpha}{2}$ の置換は、$\dfrac{\alpha}{2} = \dfrac{\pi}{2} + n\pi$（すなわち $\alpha = \pi + 2n\pi$）のとき使えません。つまり $\alpha = \pm\pi, \pm 3\pi, \ldots$ のときは $\tan\dfrac{\alpha}{2}$ が存在しないため、別途確認が必要です。
| 公式名 | 公式 | 特徴・用途 |
|---|---|---|
| $\sin$ の2倍角 | $\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$ | $\sin\alpha\cos\alpha$ の積を処理 |
| $\cos$ の2倍角 | $\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$ | 3通りの変形あり |
| $\tan$ の2倍角 | $\tan 2\alpha = \dfrac{2\tan\alpha}{1 - \tan^2\alpha}$ | $\tan$ だけで計算可 |
| $\sin^2$ の半角 | $\sin^2\dfrac{\alpha}{2} = \dfrac{1 - \cos\alpha}{2}$ | 次数を上げて角を半分に |
| $\cos^2$ の半角 | $\cos^2\dfrac{\alpha}{2} = \dfrac{1 + \cos\alpha}{2}$ | 次数を上げて角を半分に |
| $\tan^2$ の半角 | $\tan^2\dfrac{\alpha}{2} = \dfrac{1 - \cos\alpha}{1 + \cos\alpha}$ | $\tan$ の半角を直接求める |
大学の微分積分学では、$\displaystyle\int \frac{d\theta}{a + b\cos\theta}$ のような三角関数を含む積分を計算する際に、$t = \tan\dfrac{\theta}{2}$ と置換するワイエルシュトラス置換（Weierstrass substitution）がよく用いられます。この置換により $\sin\theta$、$\cos\theta$、$d\theta$ がすべて $t$ の有理式で表されるため、有理関数の積分に帰着できるのです。
Q1. 加法定理 $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$ から、$\sin 2\alpha$ の公式を導け。
Q2. $\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$ を変形して、$\cos 2\alpha$ を $\sin\alpha$ だけで表せ。
Q3. $\sin\alpha = \dfrac{4}{5}$、$\cos\alpha = \dfrac{3}{5}$ のとき、$\sin 2\alpha$ と $\cos 2\alpha$ の値を求めよ。
Q4. 半角の公式を用いて $\cos^2\dfrac{\pi}{8}$ の値を求めよ。
Q5. $\tan\alpha = 2$ のとき、$\tan 2\alpha$ の値を求めよ。
$0 < \alpha < \pi$ で $\sin\alpha = \dfrac{5}{13}$ のとき、次の値を求めよ。
(1) $\cos\alpha$
(2) $\sin 2\alpha$
(3) $\cos 2\alpha$
(1) $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ より $\cos^2\alpha = 1 - \dfrac{25}{169} = \dfrac{144}{169}$
$0 < \alpha < \pi$ かつ $\sin\alpha > 0$ より、$\alpha$ は第1象限または第2象限の角。ここでは $\cos\alpha$ の符号は両方ありうるが、$\sin\alpha = \dfrac{5}{13}$ と小さいので第1象限として $\cos\alpha = \dfrac{12}{13}$、または第2象限として $\cos\alpha = -\dfrac{12}{13}$。
問題の条件では $0 < \alpha < \pi$ としか与えられていないので、$\cos\alpha = \pm\dfrac{12}{13}$ のどちらかを場合分けする必要がありますが、一般的にはこの範囲で正の場合（第1象限）を想定して $\cos\alpha = \dfrac{12}{13}$ とします。
(2) $\sin 2\alpha = 2 \cdot \dfrac{5}{13} \cdot \dfrac{12}{13} = \dfrac{120}{169}$
(3) $\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha = 1 - 2 \cdot \dfrac{25}{169} = 1 - \dfrac{50}{169} = \dfrac{119}{169}$
関数 $f(\theta) = \sin^2\theta + \sin\theta\cos\theta - 2\cos^2\theta$（$0 \leq \theta < 2\pi$）の最大値と最小値を求めよ。
方針：2倍角の公式で次数を下げ、$2\theta$ の式に統一してから合成する。
$\sin^2\theta = \dfrac{1 - \cos 2\theta}{2}$、$\cos^2\theta = \dfrac{1 + \cos 2\theta}{2}$、$\sin\theta\cos\theta = \dfrac{\sin 2\theta}{2}$ を代入すると、
$$f(\theta) = \frac{1 - \cos 2\theta}{2} + \frac{\sin 2\theta}{2} - 2 \cdot \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$$
$$= \frac{1 - \cos 2\theta + \sin 2\theta - 2 - 2\cos 2\theta}{2}$$
$$= \frac{\sin 2\theta - 3\cos 2\theta - 1}{2}$$
$\sin 2\theta - 3\cos 2\theta$ を合成すると、$\sqrt{1^2 + (-3)^2} = \sqrt{10}$ より、
$$\sin 2\theta - 3\cos 2\theta = \sqrt{10}\sin(2\theta + \varphi)$$
ただし $\cos\varphi = \dfrac{1}{\sqrt{10}}$、$\sin\varphi = \dfrac{-3}{\sqrt{10}}$
$$f(\theta) = \frac{\sqrt{10}\sin(2\theta + \varphi) - 1}{2}$$
$-1 \leq \sin(2\theta + \varphi) \leq 1$ より、
最大値：$\dfrac{\sqrt{10} - 1}{2}$、最小値：$\dfrac{-\sqrt{10} - 1}{2}$
$\sin^2\theta$、$\cos^2\theta$、$\sin\theta\cos\theta$ はいずれも $\theta$ の2次式です。2倍角・半角の公式で「次数を下げる」ことで $2\theta$ の1次式に変換し、三角関数の合成に持ち込む、という定番の流れです。
$\tan\dfrac{\alpha}{2} = t$（$t \neq \pm 1$）とするとき、次のことを示せ。
(1) $\sin\alpha = \dfrac{2t}{1 + t^2}$
(2) $\cos\alpha = \dfrac{1 - t^2}{1 + t^2}$
(1) $\alpha = 2 \cdot \dfrac{\alpha}{2}$ より、2倍角の公式から $\sin\alpha = 2\sin\dfrac{\alpha}{2}\cos\dfrac{\alpha}{2}$
$\sin^2\dfrac{\alpha}{2} + \cos^2\dfrac{\alpha}{2} = 1$ で分子・分母を割る：
$$\sin\alpha = \frac{2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}}{\sin^2\frac{\alpha}{2} + \cos^2\frac{\alpha}{2}}$$
分子・分母を $\cos^2\dfrac{\alpha}{2}$ で割ると、
$$\sin\alpha = \frac{2\tan\frac{\alpha}{2}}{\tan^2\frac{\alpha}{2} + 1} = \frac{2t}{1 + t^2} \quad \blacksquare$$
(2) $\cos\alpha = \cos^2\dfrac{\alpha}{2} - \sin^2\dfrac{\alpha}{2}$（2倍角の公式）
$$= \frac{\cos^2\frac{\alpha}{2} - \sin^2\frac{\alpha}{2}}{\cos^2\frac{\alpha}{2} + \sin^2\frac{\alpha}{2}}$$
分子・分母を $\cos^2\dfrac{\alpha}{2}$ で割ると、
$$\cos\alpha = \frac{1 - \tan^2\frac{\alpha}{2}}{1 + \tan^2\frac{\alpha}{2}} = \frac{1 - t^2}{1 + t^2} \quad \blacksquare$$
$\theta = 36^\circ$ のとき、$\sin 3\theta = \sin 2\theta$ が成り立つことを利用して、$\cos 36^\circ$ の値を求めよ。
方針：$\theta = 36^\circ$ のとき $5\theta = 180^\circ$ なので $3\theta + 2\theta = 180^\circ$、すなわち $3\theta = 180^\circ - 2\theta$。両辺の $\sin$ をとると $\sin 3\theta = \sin(180^\circ - 2\theta) = \sin 2\theta$。
3倍角と2倍角の公式を用いる。$\sin 3\theta = 3\sin\theta - 4\sin^3\theta$、$\sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta$ より、
$$3\sin\theta - 4\sin^3\theta = 2\sin\theta\cos\theta$$
$\theta = 36^\circ$ では $\sin\theta \neq 0$ なので、両辺を $\sin\theta$ で割ると、
$$3 - 4\sin^2\theta = 2\cos\theta$$
$\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta$ を代入すると、
$$3 - 4(1 - \cos^2\theta) = 2\cos\theta$$
$$4\cos^2\theta - 2\cos\theta - 1 = 0$$
$c = \cos 36^\circ$ とおくと、$4c^2 - 2c - 1 = 0$
$$c = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 16}}{8} = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{8} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{4}$$
$\cos 36^\circ > 0$ なので、
$$\cos 36^\circ = \frac{1 + \sqrt{5}}{4}$$
$5\theta = 180^\circ$ という関係から $\sin 3\theta = \sin 2\theta$ を導き、3倍角と2倍角の公式を使って $\cos\theta$ の方程式に帰着させます。$\cos 36^\circ = \dfrac{1 + \sqrt{5}}{4}$ には黄金比 $\dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}$ の半分が現れており、正五角形の対角線と辺の比（黄金比）との深いつながりを示しています。