「$\sin\theta > \dfrac{1}{2}$ を満たす $\theta$ の範囲は？」── 三角関数の不等式は、単位円上で条件を満たす弧を見つけることで解けます。
方程式では「点」を見つけましたが、不等式では「弧（範囲）」を見つけるのがポイントです。
三角関数の方程式 $\sin\theta = k$ は単位円上の「点」を見つける問題でした。一方、不等式 $\sin\theta > k$ は単位円上で $y > k$ を満たす「弧」を見つける問題です。
単位円と直線 $y = k$（または $x = k$）の交点を境界として、条件を満たす弧の部分を $\theta$ の範囲として表すことが基本的な解法です。
$\sin\theta$ は単位円上の点の $y$ 座標です。したがって $\sin\theta > k$ は「単位円上で $y$ 座標が $k$ より大きい部分」を見つける問題になります。
直線 $y = \dfrac{1}{2}$ と単位円の交点に対応する角度は $\theta = \dfrac{\pi}{6}$ と $\theta = \dfrac{5\pi}{6}$ です。
単位円の上半分で $y > \dfrac{1}{2}$ となる弧は、$\dfrac{\pi}{6}$ から $\dfrac{5\pi}{6}$ の部分です。よって解は
$$\frac{\pi}{6} < \theta < \frac{5\pi}{6}$$
$0 \leq \theta < 2\pi$ のとき、$\sin\alpha = k$（$-1 \leq k \leq 1$）の解を $\alpha$、$\pi - \alpha$ とすると
$$\sin\theta > k \implies \alpha < \theta < \pi - \alpha$$
$$\sin\theta < k \implies 0 \leq \theta < \alpha \text{ または } \pi - \alpha < \theta < 2\pi$$
$k > 1$ や $k < -1$ のとき、$\sin\theta > k$ や $\sin\theta < k$ はそれぞれ解なし、全体が解になります。
$\sin\theta = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ の解は $\theta = \dfrac{4\pi}{3}$、$\theta = \dfrac{5\pi}{3}$ です。
$y \leq -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ を満たす弧は、$\dfrac{4\pi}{3}$ から $\dfrac{5\pi}{3}$ の部分（端点を含む）です。
$$\frac{4\pi}{3} \leq \theta \leq \frac{5\pi}{3}$$
$\sin\theta \geq \dfrac{1}{2}$ と $\sin\theta > \dfrac{1}{2}$ では解の端点が異なります。
$\sin\theta \geq \dfrac{1}{2}$：$\dfrac{\pi}{6} \leq \theta \leq \dfrac{5\pi}{6}$（端点を含む）
$\sin\theta > \dfrac{1}{2}$：$\dfrac{\pi}{6} < \theta < \dfrac{5\pi}{6}$（端点を含まない）
不等号に等号がつくか否かで $\leq$ と $<$ が変わります。答案では不等号の向きを必ず確認しましょう。
$\sin\theta > \dfrac{1}{3}$ のように $k$ が特殊角に対応しない場合は、$\sin\alpha = \dfrac{1}{3}$ を満たす $\alpha$（$0 < \alpha < \dfrac{\pi}{2}$）を用いて
$$\alpha < \theta < \pi - \alpha$$
と表します。$\alpha = \arcsin\dfrac{1}{3}$ として答えることもあります。
$\cos\theta$ は単位円上の点の $x$ 座標です。したがって $\cos\theta > k$ は「単位円上で $x$ 座標が $k$ より大きい部分」を見つける問題です。
$\cos\theta = \dfrac{1}{2}$ の解は $\theta = \dfrac{\pi}{3}$ と $\theta = \dfrac{5\pi}{3}$ です。
直線 $x = \dfrac{1}{2}$ の左側（$x < \dfrac{1}{2}$）にある弧は、$\dfrac{\pi}{3}$ から $\dfrac{5\pi}{3}$ の部分です。
$$\frac{\pi}{3} < \theta < \frac{5\pi}{3}$$
$0 \leq \theta < 2\pi$ のとき、$\cos\alpha = k$（$-1 \leq k \leq 1$、$0 \leq \alpha \leq \pi$）とすると
$$\cos\theta > k \implies 0 \leq \theta < \alpha \text{ または } 2\pi - \alpha < \theta < 2\pi$$
$$\cos\theta < k \implies \alpha < \theta < 2\pi - \alpha$$
$\cos\theta$ の不等式では、解が $0$ をまたぐ場合があることに注意。$\cos\theta > k$ の解は $\theta = 0$ の付近（上下対称）になります。
$\cos\theta = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ の解は $\theta = \dfrac{3\pi}{4}$ と $\theta = \dfrac{5\pi}{4}$ です。
$x \geq -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ を満たす弧は、直線 $x = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ の右側です。
$$0 \leq \theta \leq \frac{3\pi}{4} \text{ または } \frac{5\pi}{4} \leq \theta < 2\pi$$
$\sin\theta$ の不等式では水平線 $y = k$ を引き、$\cos\theta$ の不等式では垂直線 $x = k$ を引きます。これは $\sin\theta = \cos\left(\dfrac{\pi}{2} - \theta\right)$ という関係に対応しています。
$\cos\theta > k$ の解は $\theta = 0$ を中心に上下対称、$\sin\theta > k$ の解は $\theta = \dfrac{\pi}{2}$ を中心に左右対称になることを意識すると、図を描きやすくなります。
$\tan\theta$ の不等式は、$\sin\theta$、$\cos\theta$ とは少し異なるアプローチが必要です。$\tan\theta$ には漸近線（$\theta = \dfrac{\pi}{2}$、$\dfrac{3\pi}{2}$ で定義されない）があるため、区間を分けて考えます。
$\tan\theta = 1$ の解は $\theta = \dfrac{\pi}{4}$ と $\theta = \dfrac{5\pi}{4}$ です。
$\tan\theta$ は各周期 $\left(-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right)$ 内で単調増加するので、$\tan\theta > 1$ を満たすのは
$$\frac{\pi}{4} < \theta < \frac{\pi}{2} \text{ または } \frac{5\pi}{4} < \theta < \frac{3\pi}{2}$$
$0 \leq \theta < 2\pi$ のとき、$\tan\alpha = k$（$0 \leq \alpha < \dfrac{\pi}{2}$ または $\dfrac{\pi}{2} < \alpha < \pi$）とすると
$$\tan\theta > k \implies \alpha < \theta < \frac{\pi}{2} \text{ または } \pi + \alpha < \theta < \frac{3\pi}{2}$$
$$\tan\theta < k \implies 0 \leq \theta < \alpha \text{ または } \frac{\pi}{2} < \theta < \pi + \alpha \text{ または } \frac{3\pi}{2} < \theta < 2\pi$$
漸近線 $\theta = \dfrac{\pi}{2}$、$\dfrac{3\pi}{2}$ では $\tan\theta$ は定義されないため、これらの点を解に含めてはいけません。
$\tan\theta = -\sqrt{3}$ の解は $\theta = \dfrac{2\pi}{3}$ と $\theta = \dfrac{5\pi}{3}$ です。
$\tan\theta$ が $-\sqrt{3}$ 以下になる範囲を各周期で考えると
$$\frac{\pi}{2} < \theta \leq \frac{2\pi}{3} \text{ または } \frac{3\pi}{2} < \theta \leq \frac{5\pi}{3}$$
$\theta = \dfrac{\pi}{2}$、$\dfrac{3\pi}{2}$ は漸近線なので含みません。一方 $\theta = \dfrac{2\pi}{3}$、$\dfrac{5\pi}{3}$ では等号が成立するので含みます。
$\tan\theta$ は $\theta = \dfrac{\pi}{2} + n\pi$（$n$ は整数）で定義されません。不等式を解くとき、これらの点を解に含めてはいけません。
✗ 誤り：$\dfrac{\pi}{4} < \theta \leq \dfrac{\pi}{2}$（漸近線を含めている）
✓ 正しい：$\dfrac{\pi}{4} < \theta < \dfrac{\pi}{2}$（漸近線を除外）
「$\tan\theta$ が非常に大きくなる（$+\infty$ に発散する）」ことと「$\tan\theta$ がその値をとる」ことは別です。
2つ以上の三角関数の不等式を同時に満たす $\theta$ の範囲を求める問題です。各不等式を個別に解いた後、共通部分（かつ）や和集合（または）を求めます。
第1の不等式：$2\sin\theta - 1 > 0$ すなわち $\sin\theta > \dfrac{1}{2}$
$$\frac{\pi}{6} < \theta < \frac{5\pi}{6}$$
第2の不等式：$\cos\theta \leq 0$
$$\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{3\pi}{2}$$
共通部分：2つの範囲が同時に成り立つのは
$$\frac{\pi}{2} \leq \theta < \frac{5\pi}{6}$$
第1の不等式の解：$\left(\dfrac{\pi}{6},\, \dfrac{5\pi}{6}\right)$
第2の不等式の解：$\left[\dfrac{\pi}{2},\, \dfrac{3\pi}{2}\right]$
共通部分：$\left[\dfrac{\pi}{2},\, \dfrac{5\pi}{6}\right)$
$\theta = \dfrac{\pi}{2}$ は第1の不等式の解に含まれ（$\sin\dfrac{\pi}{2} = 1 > \dfrac{1}{2}$）、第2の不等式の解にも含まれる（$\cos\dfrac{\pi}{2} = 0 \leq 0$）ので、共通部分に含まれます。
第1の不等式：$\sin\theta \geq \dfrac{\sqrt{3}}{2}$
$$\frac{\pi}{3} \leq \theta \leq \frac{2\pi}{3}$$
第2の不等式：$\cos\theta > \dfrac{\sqrt{3}}{2}$
$$0 \leq \theta < \frac{\pi}{6} \text{ または } \frac{11\pi}{6} < \theta < 2\pi$$
和集合：
$$0 \leq \theta < \frac{\pi}{6} \text{ または } \frac{\pi}{3} \leq \theta \leq \frac{2\pi}{3} \text{ または } \frac{11\pi}{6} < \theta < 2\pi$$
$2\sin^2\theta - 3\sin\theta + 1 < 0$ のような不等式では、$t = \sin\theta$ と置き換えて
$$2t^2 - 3t + 1 < 0 \implies (2t - 1)(t - 1) < 0 \implies \frac{1}{2} < t < 1$$
すなわち $\dfrac{1}{2} < \sin\theta < 1$ を解きます。$\sin\theta < 1$ は $\theta \neq \dfrac{\pi}{2}$ なので
$$\frac{\pi}{6} < \theta < \frac{\pi}{2} \text{ または } \frac{\pi}{2} < \theta < \frac{5\pi}{6}$$
置き換え $t = \sin\theta$ のとき、$-1 \leq t \leq 1$ の制約を忘れずに。$t$ の不等式を解いた後に $\theta$ に戻す手順が重要です。
連立不等式を解くときは、1つの単位円に両方の条件を書き込むのが効率的です。例えば $\sin\theta > \dfrac{1}{2}$ と $\cos\theta \leq 0$ の連立不等式なら、直線 $y = \dfrac{1}{2}$ と直線 $x = 0$（$y$ 軸）を同時に描き、両方の条件を満たす弧を直接読み取れます。
この方法は、個別に解いてから共通部分を求めるよりも素早く正確に解けることが多いです。
三角関数を含む不等式は、$xy$ 平面上の領域の問題と結びつくことがあります。例えば、$x = r\cos\theta$、$y = r\sin\theta$ と媒介変数表示される点が、ある不等式を満たす $\theta$ の範囲を求める問題です。
$\sin\theta + \cos\theta > 1$（$0 \leq \theta < 2\pi$）を解け。
解法：三角関数の合成を使います。
$$\sin\theta + \cos\theta = \sqrt{2}\sin\left(\theta + \frac{\pi}{4}\right)$$
よって不等式は
$$\sqrt{2}\sin\left(\theta + \frac{\pi}{4}\right) > 1 \implies \sin\left(\theta + \frac{\pi}{4}\right) > \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
$\varphi = \theta + \dfrac{\pi}{4}$ とおくと、$\dfrac{\pi}{4} \leq \varphi < \dfrac{9\pi}{4}$ の範囲で $\sin\varphi > \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ を解きます。
$$\frac{\pi}{4} < \varphi < \frac{3\pi}{4}$$
$\theta = \varphi - \dfrac{\pi}{4}$ に戻すと
$$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$$
「$\sin\theta > a$ が $0 \leq \theta < 2\pi$ で解をもつための $a$ の条件」のように、パラメータの値によって解の有無や形が変わる問題もあります。
$\sin\theta$ の値域は $[-1, 1]$ なので、$\sin\theta > a$ が解をもつ条件は $a < 1$ です。逆に $a \geq 1$ のとき解はありません。
$0 \leq \theta < 2\pi$ において
$\sin\theta > a$ が解をもつ $\iff$ $a < 1$
$\sin\theta < a$ が解をもつ $\iff$ $a > -1$
$\cos\theta > a$ が解をもつ $\iff$ $a < 1$
$\cos\theta < a$ が解をもつ $\iff$ $a > -1$
これらは $\sin\theta$、$\cos\theta$ の値域が $[-1, 1]$ であることから直接導かれます。
$0 \leq \theta < 2\pi$ のとき、$2\cos^2\theta - \cos\theta - 1 \geq 0$ を解け。
解法：$t = \cos\theta$ とおくと、$2t^2 - t - 1 \geq 0$ です。
$$(2t + 1)(t - 1) \geq 0 \implies t \leq -\frac{1}{2} \text{ または } t \geq 1$$
$-1 \leq t \leq 1$ の制約と合わせると、$-1 \leq t \leq -\dfrac{1}{2}$ または $t = 1$ です。
$\cos\theta \leq -\dfrac{1}{2}$ より $\dfrac{2\pi}{3} \leq \theta \leq \dfrac{4\pi}{3}$
$\cos\theta = 1$ より $\theta = 0$
よって解は
$$\theta = 0 \text{ または } \frac{2\pi}{3} \leq \theta \leq \frac{4\pi}{3}$$
$t = \sin\theta$ や $t = \cos\theta$ と置き換えたとき、$t$ の不等式を解くだけでなく、$-1 \leq t \leq 1$ という制約を確認することが不可欠です。
例えば $t$ の不等式の解が $t > 2$ となった場合、$-1 \leq t \leq 1$ との共通部分は空集合なので「解なし」となります。この確認を忘れると誤った答えを出してしまいます。
Q1. $0 \leq \theta < 2\pi$ のとき、$\sin\theta > \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ を解け。
Q2. $0 \leq \theta < 2\pi$ のとき、$\cos\theta \leq -\dfrac{1}{2}$ を解け。
Q3. $0 \leq \theta < 2\pi$ のとき、$\tan\theta < -1$ を解け。
Q4. $0 \leq \theta < 2\pi$ のとき、$\sin\theta \geq \dfrac{1}{2}$ かつ $\cos\theta < 0$ を解け。
Q5. $0 \leq \theta < 2\pi$ のとき、$2\sin^2\theta - 1 < 0$ を解け。
$0 \leq \theta < 2\pi$ のとき、次の不等式を解け。
(1) $2\sin\theta + \sqrt{3} > 0$
(2) $\sqrt{2}\cos\theta - 1 \leq 0$
(3) $\tan\theta \geq \sqrt{3}$
(1) $\sin\theta > -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
$\sin\theta = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ の解は $\theta = \dfrac{4\pi}{3}$、$\dfrac{5\pi}{3}$
$y > -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ となる弧は $0 \leq \theta < \dfrac{4\pi}{3}$ または $\dfrac{5\pi}{3} < \theta < 2\pi$
(2) $\cos\theta \leq \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$
$\cos\theta = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ の解は $\theta = \dfrac{\pi}{4}$、$\dfrac{7\pi}{4}$
$x \leq \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ となる弧は $\dfrac{\pi}{4} \leq \theta \leq \dfrac{7\pi}{4}$
(3) $\tan\theta \geq \sqrt{3}$
$\tan\theta = \sqrt{3}$ の解は $\theta = \dfrac{\pi}{3}$、$\dfrac{4\pi}{3}$
各周期内で $\tan\theta \geq \sqrt{3}$ となるのは $\dfrac{\pi}{3} \leq \theta < \dfrac{\pi}{2}$ または $\dfrac{4\pi}{3} \leq \theta < \dfrac{3\pi}{2}$
$0 \leq \theta < 2\pi$ のとき、連立不等式
$$\sin\theta > \frac{1}{2}, \quad \tan\theta < 0$$
を満たす $\theta$ の範囲を求めよ。
$\sin\theta > \dfrac{1}{2}$ の解：$\dfrac{\pi}{6} < \theta < \dfrac{5\pi}{6}$
$\tan\theta < 0$ の解：$\dfrac{\pi}{2} < \theta < \pi$ または $\dfrac{3\pi}{2} < \theta < 2\pi$
（$\tan\theta < 0$ は第2象限と第4象限）
共通部分：$\dfrac{\pi}{2} < \theta < \dfrac{5\pi}{6}$
$\sin\theta > \dfrac{1}{2}$ を満たすのは第1象限と第2象限の一部。$\tan\theta < 0$ を満たすのは第2象限と第4象限。共通するのは第2象限の $\dfrac{\pi}{2} < \theta < \dfrac{5\pi}{6}$ の部分です。
$0 \leq \theta < 2\pi$ のとき、不等式 $2\cos^2\theta + 3\sin\theta - 3 < 0$ を解け。
$\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta$ を代入すると
$$2(1 - \sin^2\theta) + 3\sin\theta - 3 < 0$$
$$-2\sin^2\theta + 3\sin\theta - 1 < 0$$
$$2\sin^2\theta - 3\sin\theta + 1 > 0$$
$t = \sin\theta$ とおくと
$$(2t - 1)(t - 1) > 0 \implies t < \frac{1}{2} \text{ または } t > 1$$
$-1 \leq t \leq 1$ の制約から $t > 1$ は不可。よって $\sin\theta < \dfrac{1}{2}$
$\sin\theta < \dfrac{1}{2}$ の解は
$$0 \leq \theta < \frac{\pi}{6} \text{ または } \frac{5\pi}{6} < \theta < 2\pi$$
$\cos^2\theta$ を $1 - \sin^2\theta$ で置き換えて $\sin\theta$ だけの式にし、$t = \sin\theta$ と置換して2次不等式に帰着させます。置換後に $-1 \leq t \leq 1$ の制約を確認することがポイントです。
$0 \leq \theta < 2\pi$ のとき、不等式
$$\sin\theta + \cos\theta > 1$$
を解け。また、$\sin\theta \cdot \cos\theta$ のとりうる値の範囲を求めよ。
不等式の解
三角関数の合成より
$$\sin\theta + \cos\theta = \sqrt{2}\sin\left(\theta + \frac{\pi}{4}\right)$$
よって $\sqrt{2}\sin\left(\theta + \dfrac{\pi}{4}\right) > 1$ すなわち $\sin\left(\theta + \dfrac{\pi}{4}\right) > \dfrac{\sqrt{2}}{2}$
$\varphi = \theta + \dfrac{\pi}{4}$ とおくと $\dfrac{\pi}{4} \leq \varphi < \dfrac{9\pi}{4}$ の範囲で
$$\frac{\pi}{4} < \varphi < \frac{3\pi}{4}$$
$\theta = \varphi - \dfrac{\pi}{4}$ に戻すと
$$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$$
$\sin\theta \cdot \cos\theta$ の範囲
$s = \sin\theta + \cos\theta$ とおくと $s^2 = 1 + 2\sin\theta\cos\theta$ より
$$\sin\theta\cos\theta = \frac{s^2 - 1}{2}$$
$0 < \theta < \dfrac{\pi}{2}$ のとき $s = \sqrt{2}\sin\left(\theta + \dfrac{\pi}{4}\right)$ で、$\dfrac{\pi}{4} < \theta + \dfrac{\pi}{4} < \dfrac{3\pi}{4}$ より
$\sin\left(\theta + \dfrac{\pi}{4}\right) > \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ なので $s > 1$。また $\sin\left(\theta + \dfrac{\pi}{4}\right) \leq 1$ なので $s \leq \sqrt{2}$。
等号 $s = \sqrt{2}$ は $\theta = \dfrac{\pi}{4}$ のとき成立。$s \to 1$ は $\theta \to 0^+$ または $\theta \to \dfrac{\pi}{2}^-$ のときで、この値自体は取らない。
よって $1 < s \leq \sqrt{2}$ であり
$$\sin\theta\cos\theta = \frac{s^2 - 1}{2}$$
$s^2$ は $1 < s^2 \leq 2$ を動くので $\sin\theta\cos\theta$ は $0 < \sin\theta\cos\theta \leq \dfrac{1}{2}$ を動く。
よって $\sin\theta \cdot \cos\theta$ のとりうる値の範囲は $0 < \sin\theta\cos\theta \leq \dfrac{1}{2}$。
前半は三角関数の合成で $\sin$ の不等式に帰着させます。後半は $s = \sin\theta + \cos\theta$ の値の範囲を利用して $\sin\theta\cos\theta = \dfrac{s^2 - 1}{2}$ の範囲を求めます。この $s$ と $\sin\theta\cos\theta$ の関係は頻出のテクニックです。