3次以上の式の因数分解は、闇雲に試しても見つかりません。
因数定理を使えば、「代入して $0$ になる値」から因数を体系的に発見できます。
多項式 $P(x)$ について
$$P(a) = 0 \iff P(x) \text{ は } (x - a) \text{ で割り切れる}$$
すなわち $P(a) = 0 \iff P(x) = (x - a)Q(x)$（$Q(x)$ は多項式）
$P(x)$ を $(x - a)$ で割ると $P(x) = (x-a)Q(x) + R$（$R$ は定数）。
$x = a$ を代入すると $P(a) = 0 \cdot Q(a) + R = R$。
よって $P(a) = 0 \iff R = 0 \iff P(x) = (x-a)Q(x)$。■
剰余の定理は「$P(x)$ を $(x-a)$ で割った余りは $P(a)$」でした。この余りが $0$ のとき、$(x-a)$ が因数になる──それが因数定理です。つまり剰余の定理で余り $= 0$ の場合が因数定理であり、両者は同じ定理の表と裏です。
因数定理を使うには「どの値を代入すれば $0$ になるか」を見つける必要があります。整数係数の多項式には、解の候補を絞り込む便利な方法があります。
整数係数の多項式 $P(x) = a_nx^n + \cdots + a_1x + a_0$ が有理数 $\dfrac{p}{q}$（既約分数）を解にもつならば
$$p \text{ は定数項 } a_0 \text{ の約数}, \quad q \text{ は最高次の係数 } a_n \text{ の約数}$$
特に最高次の係数が $1$ のとき（monic な場合）、有理数の解は $a_0$ の約数（整数）に限られます。
例：$P(x) = x^3 - 3x^2 - x + 3$ の因数分解
定数項 $3$ の約数は $\pm 1, \pm 3$。順に代入：
$\pm 1$ から試すのが効率的です。次に $\pm$ 定数項の小さい約数を試しましょう。$P(1)$ は全係数の和、$P(-1)$ は符号を交互に変えた和なので暗算しやすいです。
✗ 有理根定理で候補がすべて不適 → 因数分解できない
✓ 有理数の解がないだけで、無理数解や虚数解をもつ可能性はある
例えば $x^3 - 2 = 0$ は有理数解をもちませんが、$x = \sqrt[3]{2}$ という実数解があります。
因数が見つかったら、組立除法（synthetic division）で効率的に商を求めます。
$P(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1x + a_0$ を $(x - c)$ で割る場合：
Step 1：係数を1列に並べ、左に $c$ を書く
Step 2：最高次の係数をそのまま下に降ろす
Step 3：「降ろした数 × $c$」を次の係数に足す。これを繰り返す
Step 4：最後の数が余り。それ以外が商の係数
$P(x) = x^3 - 3x^2 - x + 3$ を $(x - 1)$ で割る：
| $1$ | $-3$ | $-1$ | $3$ | |
|---|---|---|---|---|
| $1$ | $1$ | $-2$ | $-3$ | |
| $1$ | $-2$ | $-3$ | $0$ |
商は $x^2 - 2x - 3 = (x-3)(x+1)$ なので
$$P(x) = (x-1)(x-3)(x+1)$$
通常の多項式の割り算（長除法）では、各ステップで「掛けて引く」操作をします。組立除法は $(x-c)$ で割る場合に特化し、「掛けて足す」だけで済むように工夫したものです。$x$ の部分を省略して係数だけで計算するため、大幅に時間を短縮できます。
Step 1：有理根定理で解の候補を列挙
Step 2：候補を代入して $P(a) = 0$ となる $a$ を見つける
Step 3：組立除法で $P(x) = (x-a)Q(x)$ の $Q(x)$（2次式）を求める
Step 4：$Q(x)$ を因数分解する（解の公式も利用可）
例1：$P(x) = 2x^3 + x^2 - 13x + 6$ を因数分解せよ。
定数項 $6$ の約数：$\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$。最高次係数 $2$ の約数：$\pm 1, \pm 2$。
有理数解の候補：$\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6, \pm \dfrac{1}{2}, \pm \dfrac{3}{2}$
$P(2) = 16 + 4 - 26 + 6 = 0$ ✓
組立除法：$2x^3 + x^2 - 13x + 6 = (x-2)(2x^2 + 5x - 3) = (x-2)(2x-1)(x+3)$
例2：$P(x) = x^4 - 5x^2 + 4$ を因数分解せよ。
$t = x^2$ とおくと $t^2 - 5t + 4 = (t-1)(t-4) = (x^2-1)(x^2-4) = (x-1)(x+1)(x-2)(x+2)$
✗ $x^4 - 5x^2 + 4$ に有理根定理を使って $x = 1$ から始める
✓ 奇数次の項がない → $t = x^2$ の置換を真っ先に試す
$x$ の偶数乗だけで構成された式（複2次式）は $t = x^2$ で2次式に帰着させるのが最も効率的です。
$P(a) = 0$ かつ $P'(a) = 0$ のとき、$P(x)$ は $(x-a)^2$ で割り切れます。これは微分法を使った因数定理の拡張です。
$P(x)$ が $(x-a)^k$ で割り切れる（$x = a$ が $k$ 重解）
$$\iff P(a) = P'(a) = P''(a) = \cdots = P^{(k-1)}(a) = 0$$
高校範囲では $k = 2$（2重解）の場合：$P(a) = 0$ かつ $P'(a) = 0$ を使います。
$P(x, y)$ が $x, y$ の多項式のとき、$P(a, y) = 0$（$y$ の恒等式として）ならば $P(x, y)$ は $(x - a)$ で割り切れます。
例：$P(x, y) = x^3 + y^3 - 3xy + 2$ で $x = 1$ を代入すると
$P(1, y) = 1 + y^3 - 3y + 2 = y^3 - 3y + 3$
これは恒等的に $0$ ではないので $(x-1)$ は因数ではありません。
$x = -y - t$（$t$ は定数）のような置換で対称性を活用する方法もあります。
因数定理は代数学の基本定理への入り口です。ガウスが証明したこの定理は「$n$ 次の複素数係数多項式は $n$ 個の1次因数の積に分解できる」と述べています。つまり、複素数の範囲では因数分解が「完全に」できるのです。実数範囲では2次以下の既約因数が残ることがありますが、複素数範囲ではすべてが1次因数に分解されます。
Q1. $P(x) = x^3 + 2x^2 - 5x - 6$ で $P(2)$ の値を求めよ。
Q2. $x^3 - 6x^2 + 11x - 6$ を因数分解せよ。
Q3. $2x^3 - 3x^2 - 3x + 2 = 0$ の有理数解の候補をすべて列挙せよ。
Q4. $x^4 - 10x^2 + 9$ を因数分解せよ。
Q5. $x^3 - 1$ を因数分解せよ。
次の多項式を因数分解せよ。
(1) $x^3 + 3x^2 - 4$
(2) $2x^3 - 7x^2 + 7x - 2$
(1) $P(1) = 1 + 3 - 4 = 0$ より $(x-1)$ が因数。組立除法：
$x^3 + 3x^2 - 4 = (x-1)(x^2+4x+4) = (x-1)(x+2)^2$
(2) $P(1) = 2-7+7-2 = 0$ より $(x-1)$ が因数。
$2x^3-7x^2+7x-2 = (x-1)(2x^2-5x+2) = (x-1)(2x-1)(x-2)$
$P(x) = x^3 + ax^2 + bx - 12$ が $(x - 2)$ と $(x + 3)$ で割り切れるとき、定数 $a, b$ の値を求め、$P(x)$ を因数分解せよ。
$P(2) = 8 + 4a + 2b - 12 = 0$ より $4a + 2b = 4$ …①
$P(-3) = -27 + 9a - 3b - 12 = 0$ より $9a - 3b = 39$ …②
①より $2a + b = 2$、②より $3a - b = 13$。加えて $5a = 15$、$a = 3$。$b = 2 - 6 = -4$。
$P(x) = x^3 + 3x^2 - 4x - 12 = (x-2)(x+3)(x+2)$
$P(x) = x^4 - 2x^3 - 3x^2 + 4x + 4$ を因数分解せよ。
$P(1) = 1 - 2 - 3 + 4 + 4 = 4 \neq 0$
$P(-1) = 1 + 2 - 3 - 4 + 4 = 0$ ✓
組立除法：$P(x) = (x+1)(x^3 - 3x^2 + 4)$
$Q(x) = x^3 - 3x^2 + 4$ で $Q(-1) = -1-3+4 = 0$ ✓
$Q(x) = (x+1)(x^2-4x+4) = (x+1)(x-2)^2$
$$P(x) = (x+1)^2(x-2)^2$$
$a$ は実数の定数とする。3次方程式 $x^3 - 3ax + 2a = 0$ が $x = 1$ を解にもつとき
(1) $a$ の値を求めよ。
(2) 残りの2つの解を求めよ。
(3) 3つの解がすべて実数となるような $a$ の値の範囲を求めよ（$x = 1$ が解でない一般の場合について）。
(1) $x = 1$ を代入：$1 - 3a + 2a = 0$ より $a = 1$
(2) $a = 1$ のとき $x^3 - 3x + 2 = 0$。$(x-1)$ で割ると $(x-1)(x^2+x-2) = (x-1)(x+2)(x-1) = (x-1)^2(x+2)$
残りの解は $x = 1$（重解）と $x = -2$
(3) $f(x) = x^3 - 3ax + 2a$ とおく。$f'(x) = 3x^2 - 3a = 3(x^2 - a)$
$a \leq 0$ のとき $f'(x) \geq 0$（単調増加）で実数解は1個のみ。
$a > 0$ のとき極大値 $f(-\sqrt{a})$ と極小値 $f(\sqrt{a})$ が異符号または $0$ を含む条件を求める。
$f(\sqrt{a}) = a\sqrt{a} - 3a\sqrt{a} + 2a = -2a\sqrt{a} + 2a = 2a(1-\sqrt{a})$
$f(-\sqrt{a}) = -a\sqrt{a} + 3a\sqrt{a} + 2a = 2a\sqrt{a} + 2a = 2a(1+\sqrt{a})$
$a > 0$ のとき $f(-\sqrt{a}) = 2a(1+\sqrt{a}) > 0$（常に正）。
$f(\sqrt{a}) \leq 0 \iff 2a(1-\sqrt{a}) \leq 0 \iff \sqrt{a} \geq 1 \iff a \geq 1$
よって3つの実数解をもつ条件は $a \geq 1$。