方程式は「特定の値で成り立つ等式」、恒等式は「すべての値で成り立つ等式」。
この区別を明確にすることで、式の操作の自由度が格段に広がります。
数学で「等式」と言ったとき、実は2種類の意味があります。
| 種類 | 定義 | 例 | 成り立つ $x$ の個数 |
|---|---|---|---|
| 方程式 | 特定の値のみで成り立つ等式 | $2x + 1 = 5$（$x = 2$ のみ） | 有限個（または可算個） |
| 恒等式 | すべての値で成り立つ等式 | $(x+1)^2 = x^2 + 2x + 1$ | 無限個（すべて） |
$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ が恒等式であるとは、 どんな $a$, $b$ を入れても左辺と右辺が等しいということです。
だからこそ、式の途中で $(a+b)^2$ を $a^2 + 2ab + b^2$ に書き換えることが許されるのです。 もしこれが方程式（特定の $a, b$ でしか成り立たない）だったら、 書き換えは一般には許されません。
恒等式 ＝ 「式変形のルール」そのもの。
✕ 誤：$x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2$ を「$x$ を求める問題」と思う
○ 正：これはすべての $x$ で成り立つ恒等式。解く必要はなく、式の変形として正しいことを示している
等式を見たら「これは方程式か恒等式か？」を最初に判断する習慣をつけましょう。
$n$ 次以下の多項式について、次の等式が恒等式であることは同値：
$a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0 = b_n x^n + b_{n-1} x^{n-1} + \cdots + b_1 x + b_0$
⟺ $a_k = b_k$（$k = 0, 1, 2, \ldots, n$）つまり各次数の係数がすべて等しい
$f(x) = a_n x^n + \cdots + a_0 = 0$ がすべての $x$ で成り立つとき、 $x = 0$ を代入すれば $a_0 = 0$。微分して $x = 0$ を代入すれば $a_1 = 0$。 以下同様に $a_k = 0$ がすべて導けます。
つまり「すべての $x$ で $0$ になる多項式は、すべての係数が $0$ の恒等的ゼロ多項式しかない」。 これが係数比較法の数学的根拠です。
$n$ 次の多項式 $f(x) = 0$ は方程式として最大 $n$ 個の解を持ちます。
したがって「$n+1$ 個以上の値で $f(x) = 0$ が成り立てば恒等式」は正しいのですが、 「3個で成り立つ」だけでは不十分な場合があります（$f(x)$ が3次以上なら方程式の可能性がある）。
○ 正：$n$ 次以下の多項式の等式が $n+1$ 個以上の $x$ で成り立てば、恒等式
$\dfrac{1}{(x-1)(x-2)} = \dfrac{A}{x-1} + \dfrac{B}{x-2}$ は、分母が $0$ になる $x = 1$, $x = 2$ では定義されません。
しかし、両辺に $(x-1)(x-2)$ をかけて $1 = A(x-2) + B(x-1)$ とすれば これは多項式の恒等式なので、$x = 1$, $x = 2$ を代入しても矛盾なく $A$, $B$ が求まります。
「分母を払ってから代入する」がコツです。
「2つの $n$ 次多項式が $n+1$ 個以上の点で一致すれば、恒等的に一致する」── この定理は多項式の一致の定理と呼ばれます。
代数幾何学では「$n$ 次の曲線は $n$ 本の直線と最大 $n$ 点で交わる」（ベズーの定理）という定理に一般化されます。 恒等式の理論は、代数方程式と幾何学を結びつける深い数学の入口です。
与えられた等式が恒等式かどうかを調べるには、2つの方法があります。
| 方法 | 手順 | 使う場面 |
|---|---|---|
| 係数比較法 | 両辺を同じ形（降べきの順）に整理し、各次数の係数を比較 | 次数が低く、係数を直接比較できるとき |
| 数値代入法 | $n+1$ 個以上の適切な値を代入して成立を確認 | 恒等式であることを確認するとき、未定係数を求めるとき |
次の記事（II-1-7）で、これらの方法を使って未定係数を決定する問題を詳しく扱います。
係数比較法：「対応する係数がすべて等しい」→ 恒等式
数値代入法：「十分な数の値で等しい」→ 恒等式
どちらも「恒等式 ⟺ 差が恒等的にゼロ」という同じ本質から来ています。 問題に応じて使いやすい方を選べばよいのです。
II-1-4で学んだ $A(x) = B(x) \cdot Q(x) + R(x)$ は恒等式です。 この事実を使うと、割り算の問題に恒等式の手法（係数比較や代入）が応用できます。
$x^3 + ax + b$ を $(x-1)^2$ で割ると余りが $2x - 1$ のとき、$a$, $b$ を求める。
割り算の等式：$x^3 + ax + b = (x-1)^2 Q(x) + (2x - 1)$
これは恒等式なので、任意の $x$ で成り立つ。$x = 1$ を代入すると
$1 + a + b = 0 \cdot Q(1) + 1$ → $a + b = 0$ ①
次に、両辺を微分して $x = 1$ を代入する。
$3x^2 + a = 2(x-1)Q(x) + (x-1)^2 Q'(x) + 2$
$x = 1$：$3 + a = 0 + 0 + 2$ → $a = -1$ ②
①②より $b = 1$。
大学数学では、恒等式の概念を形式的べき級数に拡張します。 $\sum a_n x^n = \sum b_n x^n$ が恒等式 ⟺ $a_n = b_n$（すべての $n$）。 これは無限次の「多項式」に対する係数比較法です。
母関数（generating function）の理論はこの考え方に基づいており、 組合せ論や解析学の強力なツールになっています。
Q1. 恒等式と方程式の違いを一言で説明してください。
Q2. $ax^2 + bx + c = 0$ がすべての $x$ について成り立つとき、$a$, $b$, $c$ の値は？
Q3. 2次以下の多項式の等式が恒等式であることを確認するには、最低何個の値で確認すればよいですか？
Q4. $(x+1)^2 = x^2 + 2x + 1$ は恒等式ですか、方程式ですか？
Q5. 恒等式の係数比較法の数学的根拠を説明してください。
次の等式のうち、恒等式であるものをすべて選べ。
(ア) $x^2 - 1 = (x+1)(x-1)$
(イ) $x^2 + x - 2 = 0$
(ウ) $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
(エ) $x + 3 = 2x - 1$
(ア) と (ウ)
(ア) すべての $x$ で成り立つ（因数分解の公式）→ 恒等式 ✓
(イ) $x = 1, -2$ のみ成り立つ → 方程式
(ウ) すべての $a, b$ で成り立つ（展開の公式）→ 恒等式 ✓
(エ) $x = 4$ のみ成り立つ → 方程式
$2x^2 + 5x + 3 = a(x+1)^2 + b(x+1) + c$ がすべての $x$ で成り立つとき、$a$, $b$, $c$ の値を求めよ。
$a = 2$, $b = 1$, $c = 0$
方法1（数値代入法）：$x = -1$ を代入：$2 - 5 + 3 = c$ → $c = 0$。
$x = 0$：$3 = a + b + 0$ → $a + b = 3$。$x = 1$：$10 = 4a + 2b$ → $2a + b = 5$。
連立して $a = 2$, $b = 1$。
方法2（係数比較法）：右辺 $= ax^2 + (2a+b)x + (a+b+c)$。
$x^2$: $a = 2$, $x$: $2a+b = 5$ → $b = 1$, 定数: $a+b+c = 3$ → $c = 0$。
$x^3 + ax^2 + b$ を $(x-1)^2$ で割ると余りが $3x - 2$ である。$a$, $b$ の値を求めよ。
$a = -3$, $b = 3$
$x^3 + ax^2 + b = (x-1)^2 Q(x) + 3x - 2$（恒等式）
$x = 1$：$1 + a + b = 3 - 2 = 1$ → $a + b = 0$ ①
微分：$3x^2 + 2ax = 2(x-1)Q(x) + (x-1)^2 Q'(x) + 3$
$x = 1$：$3 + 2a = 3$ → $a = 0$...再計算。$3(1)^2 + 2a(1) = 0 + 0 + 3$ → $3 + 2a = 3$ → $a = 0$。①より $b = 0$。
検算：$x^3$ を $(x-1)^2$ で割る。$x^3 = (x-1)^2 \cdot x + 2x^2 - x$...これは合わない。
再計算。$f(x) = x^3 + ax^2 + b$。$f(1) = 1 + a + b = 3(1) - 2 = 1$ → $a + b = 0$。
$f'(x) = 3x^2 + 2ax$。$f'(1) = 3 + 2a = 3$（余り $3x - 2$ の微分は $3$）→ $a = 0$, $b = 0$。
検算：$x^3 + 0 + 0 = x^3$。$x^3 \div (x-1)^2$：$x^3 = (x-1)^2(x+2) + (3x-2)$？ $(x-1)^2(x+2) = (x^2-2x+1)(x+2) = x^3+2x^2-2x^2-4x+x+2 = x^3 - 3x + 2$。$x^3 - (x^3-3x+2) = 3x - 2$ ✓
$a = 0$, $b = 0$。
$\dfrac{x^2 + 1}{(x-1)(x^2+x+1)} = \dfrac{a}{x-1} + \dfrac{bx+c}{x^2+x+1}$ が恒等式であるとき、$a$, $b$, $c$ の値を求めよ。
$a = \dfrac{2}{3}$, $b = \dfrac{1}{3}$, $c = \dfrac{1}{3}$
両辺に $(x-1)(x^2+x+1)$ をかけると
$x^2 + 1 = a(x^2+x+1) + (bx+c)(x-1)$
$x = 1$：$2 = 3a$ → $a = 2/3$
$x^2$ の係数：$1 = a + b$ → $b = 1 - 2/3 = 1/3$
定数項：$1 = a - c$ → $c = a - 1 = 2/3 - 1 = -1/3$...再計算。定数項：$1 = a \cdot 1 + c \cdot (-1)$ → $1 = a - c$ → $c = 2/3 - 1 = -1/3$。
検算：$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{x-1} + \frac{x/3 - 1/3}{x^2+x+1} = \frac{2(x^2+x+1) + (x-1)(x/3-1/3)}{3(x-1)(x^2+x+1)}$...計算が煩雑なので、$x = 0$ で確認。左辺 $= \frac{1}{(-1)(1)} = -1$。右辺 $= \frac{2/3}{-1} + \frac{-1/3}{1} = -2/3 - 1/3 = -1$ ✓
$a = 2/3$, $b = 1/3$, $c = -1/3$。