数の分数（$\frac{2}{3}$ など）と同じ計算規則が、多項式の分数にも成り立ちます。
約分・通分・部分分数分解をマスターして、式の変形力を高めましょう。
整式（多項式）は $x^2 + 3x + 2$ のように、$x$ の正の整数乗と定数の和で書ける式です。 これに対して分数式とは、$\dfrac{x + 1}{x - 2}$ のように、 整式を分母に含む式のことです。
$\dfrac{2}{3}$ は「整数の分数」。$\dfrac{x+1}{x-2}$ は「多項式の分数」。
約分、通分、四則演算のルールは数の分数とまったく同じです。 違いは「共通因数」が数ではなく多項式であること。だから因数分解が約分の鍵になります。
$\dfrac{x+1}{x-2}$ は $x = 2$ で分母が $0$ になるので、$x = 2$ では定義されません。
✕ 誤：分数式の計算で分母が $0$ になる条件を気にしない
○ 正：必要に応じて「ただし $x \neq 2$」のような条件を付記する
特に約分で分母の因数が消えるとき、元の式では定義されなかった値が計算に現れることがあります。
分数式の約分は、分子と分母を因数分解して共通因数を見つけることで行います。
$$\frac{A(x) \cdot C(x)}{B(x) \cdot C(x)} = \frac{A(x)}{B(x)} \quad (C(x) \neq 0)$$
分子：$x^2 - 4 = (x+2)(x-2)$
分母：$x^2 + x - 2 = (x+2)(x-1)$
共通因数：$(x+2)$
$$\frac{(x+2)(x-2)}{(x+2)(x-1)} = \frac{x-2}{x-1} \quad (x \neq -2)$$
✕ 誤：$\dfrac{x^2 + x}{x} = x^2 + 1$（分母の $x$ で分子の $x$ だけを約分）
○ 正：$\dfrac{x^2 + x}{x} = \dfrac{x(x + 1)}{x} = x + 1$（分子を因数分解してから約分）
約分できるのは因数（かけ算の単位）であって、項（足し算の単位）ではありません。 分子全体が分母の因数で割り切れるかを確認してください。
$\dfrac{(x+2)(x-2)}{(x+2)(x-1)}$ を $\dfrac{x-2}{x-1}$ に約分するとき、 $(x+2)$ で割ったので $x \neq -2$ という条件が付きます。
約分前の式では $x = -2$ で分母が $0$（定義されない）でしたが、 約分後の $\dfrac{x-2}{x-1}$ は $x = -2$ で $\dfrac{-4}{-3} = \dfrac{4}{3}$ と値が出てしまいます。
厳密には「$x \neq -2$」の注記が必要です。
$$\frac{A}{B} + \frac{C}{D} = \frac{AD + BC}{BD}$$
最小公倍式は $(x-1)(x+1)$。
$$\frac{1}{x-1} + \frac{2}{x+1} = \frac{(x+1) + 2(x-1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{x + 1 + 2x - 2}{x^2 - 1} = \frac{3x - 1}{x^2 - 1}$$
乗法：$\dfrac{A}{B} \times \dfrac{C}{D} = \dfrac{AC}{BD}$
除法：$\dfrac{A}{B} \div \dfrac{C}{D} = \dfrac{A}{B} \times \dfrac{D}{C} = \dfrac{AD}{BC}$
分数式の計算で最も重要なのは手順の順序です。
1. 分子・分母をすべて因数分解する
2. 約分できるものを約分する
3. 必要に応じて展開・整理する
先に展開すると式が膨らんで約分の機会を見逃します。「因数分解ファースト」が鉄則です。
大学の代数学では、多項式の分数式全体の集合を有理式体（有理関数体）$K(x)$ と呼びます。 整数の分数（有理数 $\mathbb{Q}$）が整数 $\mathbb{Z}$ から作られるのと同じように、 有理式体 $K(x)$ は多項式環 $K[x]$ から作られます。
「体」とは四則演算がすべて可能な構造のこと。 多項式だけでは割り算が「割り切れない」場合がありますが、分数式まで拡げれば自由に割れます。
繁分数式（はんぶんすうしき）とは、分数の中にさらに分数が入った式のことです。 たとえば $\dfrac{\frac{1}{x} + 1}{\frac{1}{x} - 1}$ のような式です。
$\dfrac{\frac{1}{x} + 1}{\frac{1}{x} - 1}$ の分子・分母に $x$ をかけると
$$= \frac{1 + x}{1 - x} = \frac{x + 1}{-(x - 1)} = -\frac{x + 1}{x - 1}$$
繁分数式を簡単にするには、内側の分数の分母の最小公倍式を、 外側の分子・分母の両方にかけます。これで内側の分数がすべて消えます。
部分分数分解は、1つの分数式を複数の「簡単な」分数式の和に分ける操作です。 通分の逆の操作と考えることができます。
$$\frac{1}{(x-a)(x-b)} = \frac{1}{a-b}\left(\frac{1}{x-a} - \frac{1}{x-b}\right) \quad (a \neq b)$$
$\dfrac{1}{(x-1)(x-3)} = \dfrac{A}{x-1} + \dfrac{B}{x-3}$ として
$1 = A(x-3) + B(x-1)$（両辺に $(x-1)(x-3)$ をかけた）
$x = 1$：$1 = A(-2)$ → $A = -\frac{1}{2}$
$x = 3$：$1 = B(2)$ → $B = \frac{1}{2}$
✕ 誤：$A = \frac{1}{2}$（符号を逆にする）
○ 正：$A = -\frac{1}{2}$, $B = \frac{1}{2}$。検算：$-\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x-1} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x-3} = \frac{-(x-3)+(x-1)}{2(x-1)(x-3)} = \frac{2}{2(x-1)(x-3)} = \frac{1}{(x-1)(x-3)}$ ✓
部分分数分解は、数学IIの積分で真価を発揮します。 $\int \frac{1}{(x-1)(x-3)} dx$ をそのまま積分するのは困難ですが、 部分分数分解すれば $\int \frac{-1/2}{x-1} + \frac{1/2}{x-3} dx$ となり、 各項は $\log$ の積分で簡単に計算できます。
大学数学では、任意の有理式を部分分数に分解できることが証明されており、 有理式の積分を機械的に計算するアルゴリズムの基礎になっています。
Q1. $\dfrac{x^2 - 9}{x^2 - x - 6}$ を約分してください。
Q2. $\dfrac{2}{x+1} - \dfrac{1}{x-1}$ を計算してください。
Q3. 分数式の約分で「項で約分してはいけない」理由を説明してください。
Q4. $\dfrac{1}{x(x+2)}$ を部分分数分解してください。
Q5. 繁分数式 $\dfrac{\frac{1}{a} - \frac{1}{b}}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}$ を簡単にしてください。
次の計算をせよ。$\dfrac{x^2 + 3x + 2}{x^2 + 5x + 6} \times \dfrac{x + 3}{x + 1}$
$1$
$\dfrac{(x+1)(x+2)}{(x+2)(x+3)} \times \dfrac{x+3}{x+1} = \dfrac{(x+1)(x+2)(x+3)}{(x+2)(x+3)(x+1)} = 1$
$\dfrac{3x + 1}{(x-1)(x+2)}$ を部分分数分解せよ。
$\dfrac{4/3}{x-1} + \dfrac{5/3}{x+2}$
$\dfrac{3x+1}{(x-1)(x+2)} = \dfrac{A}{x-1} + \dfrac{B}{x+2}$
$3x+1 = A(x+2) + B(x-1)$
$x = 1$: $4 = 3A$ → $A = 4/3$
$x = -2$: $-5 = -3B$ → $B = 5/3$
$= \dfrac{4}{3(x-1)} + \dfrac{5}{3(x+2)}$
$\dfrac{1 + \frac{1}{x+1}}{1 - \frac{1}{x+1}}$ を簡単にせよ。
$\dfrac{x+2}{x}$
分子・分母に $(x+1)$ をかけると
$\dfrac{(x+1) + 1}{(x+1) - 1} = \dfrac{x+2}{x}$
$x + \dfrac{1}{x} = 3$ のとき、$x^2 + \dfrac{1}{x^2}$ と $x^3 + \dfrac{1}{x^3}$ の値を求めよ。
$x^2 + \dfrac{1}{x^2} = 7$, $x^3 + \dfrac{1}{x^3} = 18$
$\left(x + \dfrac{1}{x}\right)^2 = x^2 + 2 + \dfrac{1}{x^2} = 9$ → $x^2 + \dfrac{1}{x^2} = 7$
$\left(x + \dfrac{1}{x}\right)^3 = x^3 + 3x + \dfrac{3}{x} + \dfrac{1}{x^3} = x^3 + \dfrac{1}{x^3} + 3\left(x + \dfrac{1}{x}\right) = 27$
$x^3 + \dfrac{1}{x^3} = 27 - 9 = 18$