整数の割り算と同じ構造が、多項式にも成り立ちます。
「商と余り」の関係式を理解することが、剰余の定理や因数定理への第一歩です。
整数の世界では「$17 \div 5 = 3$ 余り $2$」のように、割り算は商と余りを求める操作です。 多項式でも全く同じことができます。
整数：$17 = 5 \times 3 + 2$（被除数 = 除数 × 商 + 余り、$0 \leq$ 余り $<$ 除数）
多項式：$A(x) = B(x) \cdot Q(x) + R(x)$（$R$ の次数 $<$ $B$ の次数、または $R = 0$）
整数の場合は「余り < 除数」が条件でしたが、多項式では「余りの次数 < 除数の次数」が対応する条件です。 これが多項式の割り算の終了条件になります。
多項式 $A(x)$ を多項式 $B(x)$（$B \neq 0$）で割ると、 商 $Q(x)$ と余り $R(x)$ がただ1組に定まり
$$A(x) = B(x) \cdot Q(x) + R(x)$$
が成り立つ。ただし $R(x)$ の次数 $<$ $B(x)$ の次数、または $R(x) = 0$。
多項式で「$A(x)$ が $B(x)$ で割り切れる」とは $R(x) = 0$、つまり余りがゼロということです。
✕ 誤：「$x^2 - 1$ は $x - 1$ で割り切れる」を「$\dfrac{x^2 - 1}{x - 1}$ が整数になる」と解釈
○ 正：$x^2 - 1 = (x-1)(x+1) + 0$。余り $R = 0$ なので割り切れる
多項式の世界では「整数になる」ではなく「余りが $0$（= 多項式として割り切れる）」です。
多項式の割り算は、整数の割り算と全く同じ筆算で実行できます。
Step 1：最高次の項に着目。$2x^3 \div x^2 = 2x$。商の第1項は $2x$。
Step 2：$2x \times (x^2 + 2x - 1) = 2x^3 + 4x^2 - 2x$
$(2x^3 + 3x^2 - 5x + 1) - (2x^3 + 4x^2 - 2x) = -x^2 - 3x + 1$
Step 3：$-x^2 \div x^2 = -1$。商の第2項は $-1$。
Step 4：$-1 \times (x^2 + 2x - 1) = -x^2 - 2x + 1$
$(-x^2 - 3x + 1) - (-x^2 - 2x + 1) = -x$
Step 5：$-x$ は $x^2$ より次数が低いので終了。
結論：商 $2x - 1$、余り $-x$
検算：$(x^2 + 2x - 1)(2x - 1) + (-x) = 2x^3 + 4x^2 - 2x - x^2 - 2x + 1 - x = 2x^3 + 3x^2 - 5x + 1$ ✓
多項式の筆算の原理は極めてシンプルです： 被除数の最高次の項を、除数の最高次の項で割って商の1項を決め、引き算して次数を下げる。 これを余りの次数が除数の次数より低くなるまで繰り返す。
整数の筆算で「最も大きい桁から処理する」のと全く同じ発想です。
$x^3 + 1$ を $x - 1$ で割るとき：
✕ 誤：$x^3 + 1$ をそのまま筆算して次数のずれに混乱
○ 正：$x^3 + 0 \cdot x^2 + 0 \cdot x + 1$ と書いてから筆算。係数 $0$ の項も明示する。
抜けている次数の項を $0$ で補うことで、筆算の位合わせが正確にできます。
筆算で最もよくあるミスは引き算の符号です。
✕ 誤：$(3x^2 - 5x) - (4x^2 - 2x) = -x^2 - 3x$（$-5x - (-2x) = -3x$ と計算）
○ 正：$(3x^2 - 5x) - (4x^2 - 2x) = 3x^2 - 5x - 4x^2 + 2x = -x^2 - 3x$
引き算のカッコを外すとき、全ての項の符号を反転させることを忘れないようにしましょう。
除数が $x - a$ の形のとき、通常の筆算よりも効率的な組立除法（synthetic division）が使えます。 これは筆算から不要な記号を取り除いて係数だけで計算する方法で、速度が大幅に向上します。
組立除法は、第2章で学ぶ剰余の定理・因数定理と深く関連しています。
$A(x) = B(x) \cdot Q(x) + R(x)$ という等式は、単なる計算結果ではなく、 多項式の理論全体を支える基本的な構造です。
$A(x) = B(x) \cdot Q(x) + R(x)$ は恒等式です。 つまり、任意の $x$ の値に対して成り立ちます。
これは非常に強力な性質です。特定の $x$ を代入することで情報を引き出せるからです。 たとえば $B(x) = x - a$ のとき $x = a$ を代入すると
$A(a) = 0 \cdot Q(a) + R = R$
つまり「$A(x)$ を $x - a$ で割った余りは $A(a)$」。 これが剰余の定理（第2章で詳しく学びます）です。
割り算の結果（商と余り）はただ1組に定まります。 これは「もし2通りの表し方があったら矛盾が生じる」ことで証明できます。
$A = BQ_1 + R_1 = BQ_2 + R_2$（$\deg R_1 < \deg B$, $\deg R_2 < \deg B$）とする。
$B(Q_1 - Q_2) = R_2 - R_1$
右辺の次数は $\deg B$ 未満。左辺は $Q_1 \neq Q_2$ なら次数 $\geq \deg B$。矛盾。
よって $Q_1 = Q_2$ であり、$R_1 = R_2$ も従う。□
大学の代数学では、「割り算の等式が成り立つ構造」をユークリッド整域と呼びます。 整数と多項式はどちらもユークリッド整域です。
ユークリッドの互除法、素因数分解の一意性、最大公約数の存在など、 整数の性質の多くが多項式にもそのまま成り立つのは、 どちらもユークリッド整域だからです。
$x$ と $y$ の2変数多項式の割り算では、 「どの文字について整理して割るか」を明確にする必要があります。
$x$ について整理して割り算を実行します。 $x^2 + 2xy + y^2 - 1$ を $x$ の降べきの順に見ると、 $x^2 + (2y)x + (y^2 - 1)$。除数は $x + y$。
$x^2 \div x = x$。商の第1項は $x$。
$x \cdot (x + y) = x^2 + xy$
$\{x^2 + 2xy + (y^2 - 1)\} - (x^2 + xy) = xy + y^2 - 1$
$xy \div x = y$。商の第2項は $y$。
$y \cdot (x + y) = xy + y^2$
$(xy + y^2 - 1) - (xy + y^2) = -1$
$-1$ は $x$ について $0$ 次（定数）で、除数 $x + y$ は $x$ について $1$ 次。$0 < 1$ で終了。
結論：商 $x + y$、余り $-1$
2変数の割り算では、結果が「どの文字について整理するか」によって変わることがあります。
問題文で「$x$ について整理して割れ」と指定されている場合はそれに従い、 指定がない場合は最も計算しやすい文字を選びましょう。
Q1. 多項式の割り算の終了条件は何ですか？
Q2. $x^3 + 2x^2 - x + 3$ を $x + 1$ で割った商と余りを求めてください。
Q3. $A(x) = B(x) \cdot Q(x) + R(x)$ で $B(x) = x - 3$ のとき、$x = 3$ を代入すると何がわかりますか？
Q4. $x^4 - 1$ を $x^2 + 1$ で割った商と余りを求めてください。
Q5. 割り算の筆算で「途中の次数が抜けている」とき、どう対処しますか？
$x^3 - 3x^2 + 5x - 2$ を $x^2 - x + 2$ で割った商と余りを求めよ。
商 $x - 2$、余り $5x + 2$
$x^3 \div x^2 = x$。$x(x^2 - x + 2) = x^3 - x^2 + 2x$。
$(x^3 - 3x^2 + 5x - 2) - (x^3 - x^2 + 2x) = -2x^2 + 3x - 2$
$-2x^2 \div x^2 = -2$。$-2(x^2 - x + 2) = -2x^2 + 2x - 4$。
$(-2x^2 + 3x - 2) - (-2x^2 + 2x - 4) = x + 2$
$x + 2$ は $x^2 - x + 2$ より次数が低いので終了。商 $x - 2$、余り $x + 2$。
検算：$(x^2 - x + 2)(x - 2) + (x + 2) = x^3 - x^2 + 2x - 2x^2 + 2x - 4 + x + 2 = x^3 - 3x^2 + 5x - 2$ ✓
$P(x)$ を $x^2 - 1$ で割ると商が $x + 2$、余りが $3x - 1$ であるとき、$P(x)$ を求めよ。
$P(x) = x^3 + 2x^2 + 2x - 3$
方針：$P(x) = (x^2 - 1)(x + 2) + (3x - 1)$ を展開。
$= x^3 + 2x^2 - x - 2 + 3x - 1 = x^3 + 2x^2 + 2x - 3$
$P(x) = x^4 + 2x^3 - x + 5$ を $x^2 + x - 1$ で割った余りを求めよ。
$2x + 3$
筆算で実行する。
$x^4 \div x^2 = x^2$。$x^2(x^2+x-1) = x^4+x^3-x^2$。残り：$x^3+x^2-x+5$。
$x^3 \div x^2 = x$。$x(x^2+x-1) = x^3+x^2-x$。残り：$0+0+0+5$。あれ、$5$。
次数を確認：$5$ は $0$ 次で、除数は $2$ 次。$0 < 2$ なので終了。
もう一度丁寧に：$(x^3+x^2-x+5)-(x^3+x^2-x) = 5$。
商 $x^2+x$、余り $5$。
検算：$(x^2+x-1)(x^2+x)+5 = x^4+x^3-x^2+x^3+x^2-x+5 = x^4+2x^3-x+5$ ✓
余りは $5$。
$x^3 + ax^2 + bx + 6$ が $x^2 + 2x - 3$ で割り切れるとき、定数 $a$, $b$ の値を求めよ。
$a = -1$, $b = -6$
方針：$x^2 + 2x - 3 = (x+3)(x-1)$ なので、$f(x) = x^3 + ax^2 + bx + 6$ は $(x+3)$ と $(x-1)$ の両方で割り切れる。因数定理より $f(-3) = 0$, $f(1) = 0$。
$f(1) = 1 + a + b + 6 = 0$ → $a + b = -7$ ①
$f(-3) = -27 + 9a - 3b + 6 = 0$ → $9a - 3b = 21$ → $3a - b = 7$ ②
①+②：$4a = 0$... これは誤り。再計算。
①: $a + b = -7$, ②: $3a - b = 7$。①+② → $4a = 0$ → $a = 0$。①より $b = -7$。
検算：$f(x) = x^3 - 7x + 6$。$f(1) = 1 - 7 + 6 = 0$ ✓。$f(-3) = -27 + 21 + 6 = 0$ ✓。
$x^3 - 7x + 6 = (x-1)(x^2+x-6) = (x-1)(x+3)(x-2)$。$(x^2+2x-3) = (x-1)(x+3)$ で割り切れる ✓。
よって $a = 0$, $b = -7$。