数学Iで学んだ展開と因数分解を、3次以上の世界に拡張します。
3次の公式は「なぜその形になるのか」を理解すれば、暗記量は激減します。
数学Iでは $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ を学びました。 数学IIでは、これを3乗に拡張します。$(a+b)^3$ とは $(a+b)(a+b)(a+b)$ のことですから、 地道に計算すれば結果は出ます。しかし、その前に「なぜこの形になるのか」を理解しましょう。
$(a+b)^3 = (a+b)(a+b)(a+b)$ を展開するとは、3つのカッコから1つずつ $a$ か $b$ を選んでかけ合わせ、 すべての選び方の結果を足し上げることです。
3つのカッコすべてから $a$ を選ぶ → $a^3$（1通り）
2つから $a$、1つから $b$ を選ぶ → $a^2b$（3通り = $_3C_1$）
1つから $a$、2つから $b$ を選ぶ → $ab^2$（3通り = $_3C_2$）
すべてから $b$ を選ぶ → $b^3$（1通り）
よって $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$。各項の係数は組合せの数そのものです。
$$(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$$
$$(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$$
$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ はすでに知っているので、これにもう1回 $(a+b)$ をかけます。
$(a+b)^3 = (a+b)^2 \cdot (a+b)$
$= (a^2 + 2ab + b^2)(a+b)$
$= a^3 + a^2b + 2a^2b + 2ab^2 + ab^2 + b^3$
$= a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$
係数 $1, 3, 3, 1$ はパスカルの三角形の第3行に対応しています。
✕ 誤：$(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b - 3ab^2 - b^3$
○ 正：$(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$
$b$ を $-b$ に置き換えるので、$b$ の奇数乗の項だけ符号が変わります。 $3ab^2$ の $b^2$ は偶数乗なので符号はそのまま（$+$）。 「奇数乗だけ符号反転」と覚えるとミスを防げます。
3文字以上の展開も、同じ原理で考えられます。 $(a+b+c)^2$ は、2つのカッコ $(a+b+c)(a+b+c)$ から1つずつ選んでかけるので：
$$ (a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca $$「2乗の和」＋「異なる2つの積の2倍の和」という構造です。 この公式は、数学IIの恒等式や式の値の問題で頻繁に使います。
$(a+b)^n$ の展開で各項の係数が $_nC_k$ になることを二項定理（次の記事で詳しく学びます）と呼びます。 これをさらに一般化した多項定理では、$(a_1 + a_2 + \cdots + a_m)^n$ の展開式の各項の係数が $\dfrac{n!}{k_1! k_2! \cdots k_m!}$（多項係数）で表されます。
$(a+b+c)^2$ の $2ab$ の係数 $2$ は $\dfrac{2!}{1! \cdot 1! \cdot 0!} = 2$ と計算でき、 すべての展開公式が1つの原理で統一されるのです。
展開の逆が因数分解です。Section 1 の展開公式を右から左に読めば、そのまま因数分解公式になります。
$$a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 = (a+b)^3$$
$$a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 = (a-b)^3$$
因数分解の本質は、与えられた式の中に「既知の公式のパターン」を見つけることです。
$8x^3 + 12x^2 + 6x + 1$ を見たとき、すぐに因数分解できるかは 「$8x^3 = (2x)^3$、$1 = 1^3$、係数が $1:3:3:1$」というパターンに気づけるかどうかにかかっています。
$= (2x)^3 + 3(2x)^2(1) + 3(2x)(1)^2 + 1^3 = (2x+1)^3$
因数分解のパターン認識では、小さい数の3乗をすぐに思い出せることが重要です。
| $n$ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $n^3$ | 1 | 8 | 27 | 64 | 125 | 216 | 343 |
$8 = 2^3$、$27 = 3^3$、$64 = 4^3$ などを瞬時に判断できれば、 因数分解がスムーズに進みます。
✕ 誤：$x^3 + 8 = (x+2)^3$
○ 正：$x^3 + 8 = x^3 + 2^3 = (x+2)(x^2 - 2x + 4)$
$(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ であり、$a^3 + b^3$ とは全く別の式です。 $a^3 + b^3$ の因数分解は次のセクションで学びます。
✕ 誤：$27x^3 + 27x^2 + 9x + 1$ を見て「因数分解できない」と判断
○ 正：$27x^3 = (3x)^3$, $1 = 1^3$ と見て、$27 : 27 : 9 : 1$ が $(3x)^3, \, 3(3x)^2(1), \, 3(3x)(1)^2, \, (1)^3$ の係数に一致するか確認。 → $27, 27, 9, 1$ ✓ よって $(3x+1)^3$
最初と最後の項がそれぞれ3乗の形なら、中間の係数が $1:3:3:1$ に合うかをチェックしましょう。
3次式の因数分解で最も重要な公式は、3乗の和・差の因数分解です。
$$a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$$
$$a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$$
実は $a^3 - b^3$ の因数分解は、等比数列の和の公式と同じ構造です。
$a^n - b^n = (a-b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + a^{n-3}b^2 + \cdots + b^{n-1})$
$n = 2$ のとき：$a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$（数学Iで学んだ公式）
$n = 3$ のとき：$a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$
つまり、3乗の差の因数分解は「2乗の差の因数分解の自然な一般化」です。 暗記すべき新しい公式ではなく、同じ原理の3次版なのです。
右辺を展開して確認しましょう。
$(a+b)(a^2 - ab + b^2)$
$= a \cdot a^2 + a \cdot (-ab) + a \cdot b^2 + b \cdot a^2 + b \cdot (-ab) + b \cdot b^2$
$= a^3 - a^2b + ab^2 + a^2b - ab^2 + b^3$
$= a^3 + b^3$
中間の4つの項がすべて打ち消し合って消えます。これが「なぜ2次式が $a^2 - ab + b^2$ という形なのか」の答えです。 $-ab$ の符号が逆でないと、打ち消し合いが起きません。
✕ 誤：$a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 + ab + b^2)$
○ 正：$a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 \textcolor{blue}{-} ab + b^2)$
覚え方：1次式と2次式の $ab$ の項の符号は必ず逆。 「$+$ が来たら $-$」「$-$ が来たら $+$」。 展開して確認する癖をつければ、この間違いは防げます。
3文字の対称式として、次の因数分解も重要です。
$$a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a+b+c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)$$
$a + b + c = 0$ のとき $a^3 + b^3 + c^3 = 3abc$ は、ニュートンの恒等式と呼ばれる一般的な関係式の特殊ケースです。 ニュートンの恒等式は、べき乗和 $p_k = a^k + b^k + c^k$ と基本対称式の間の関係を与えるもので、 代数学や整数論で広く応用されます。
この等式は $a + b + c = 0$ すなわち $c = -(a+b)$ を代入して直接確認できますが、 対称性を使った証明のほうがエレガントです。
3次の展開や因数分解で現れる式には、「対称式」と「交代式」という重要な構造があります。 この構造を意識すると、複雑な式の整理や因数分解が格段にやりやすくなります。
対称式とは、変数を入れ替えても値が変わらない式のことです。 たとえば $a^2 + b^2$ は $a$ と $b$ を入れ替えても $b^2 + a^2$ で同じ値です。
2変数の対称式は、基本対称式 $a + b$ と $ab$ の多項式で表せます（これを基本対称式の定理と呼びます）。 たとえば $a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab$ です。
$a^3 + b^3$ も基本対称式で表せます。
$(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ より
$a^3 + b^3 = (a+b)^3 - 3a^2b - 3ab^2$
$= (a+b)^3 - 3ab(a+b)$
$s = a+b$, $p = ab$ とおくと
$$a^3 + b^3 = s^3 - 3ps = s(s^2 - 3p)$$
この手法は、解と係数の関係（第2章で学びます）と組み合わせると非常に強力になります。 2次方程式の2解を $\alpha, \beta$ とすると $\alpha + \beta$ と $\alpha\beta$ は係数から直接わかるので、 $\alpha^3 + \beta^3$ も基本対称式の表現を使って求められます。
3文字以上の式を因数分解するとき、「どの文字について整理するか」の選択が重要です。
✕ 誤：$a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + ca^2$ をそのまま眺めて悩む
○ 正：最低次の文字（たとえば $c$）について整理する。 $= (a^2 + b^2)c + (a + b)c^2 + a^2b + ab^2$ $= (a+b)c^2 + (a^2+b^2)c + ab(a+b)$ $= (a+b)\{c^2 + (a+b)c + ab\} - 2abc + (a^2+b^2)c$... 実は $= (a+b)(b+c)(c+a)$ と因数分解できます。
鉄則：3文字以上の因数分解は、最低次の文字で整理する
「任意の対称式は基本対称式の多項式で表せる」── これは対称式の基本定理と呼ばれ、 ガロア理論という大学数学の華形分野の基礎になっています。
高校で学ぶ「$a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab$」という式変形は、 この定理の最も簡単な応用です。 ガロアはこの考え方を一般化して、5次以上の方程式には「解の公式」が存在しないことを証明しました。
数学Iと数学IIで学ぶ展開・因数分解の公式を一覧にまとめます。
| 公式の種類 | 展開 | 因数分解 |
|---|---|---|
| 2乗 | $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$ | $a^2 \pm 2ab + b^2 = (a \pm b)^2$ |
| 和と差の積 | $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ | $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ |
| 3乗 | $(a \pm b)^3 = a^3 \pm 3a^2b + 3ab^2 \pm b^3$ | 逆読み → $(a \pm b)^3$ |
| 3乗の和・差 | ─ | $a^3 \pm b^3 = (a \pm b)(a^2 \mp ab + b^2)$ |
| 3文字 | $(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca$ | ─ |
Q1. $(2x+3)^3$ を展開してください。
Q2. $x^3 - 27$ を因数分解してください。
Q3. $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ で、2次式の $ab$ の項の符号が $-$ である理由を説明してください。
Q4. $64x^3 + 48x^2 + 12x + 1$ を因数分解してください。
Q5. $a + b + c = 0$ のとき、$a^3 + b^3 + c^3$ の値を求めてください。
この記事で学んだ内容を、入試形式の問題で確認しましょう。
次の式を展開せよ。
(1) $(3x - 2y)^3$
(2) $(a + 2b + c)^2$
(1) $27x^3 - 54x^2y + 36xy^2 - 8y^3$
(2) $a^2 + 4b^2 + c^2 + 4ab + 4bc + 2ca$
(1) 方針：$(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$ に $a = 3x$, $b = 2y$ を代入。
$= (3x)^3 - 3(3x)^2(2y) + 3(3x)(2y)^2 - (2y)^3$
$= 27x^3 - 3 \cdot 9x^2 \cdot 2y + 3 \cdot 3x \cdot 4y^2 - 8y^3$
$= 27x^3 - 54x^2y + 36xy^2 - 8y^3$
(2) 方針：$(a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca$ に $b = 2b$ を代入。
$= a^2 + (2b)^2 + c^2 + 2 \cdot a \cdot 2b + 2 \cdot 2b \cdot c + 2 \cdot c \cdot a$
$= a^2 + 4b^2 + c^2 + 4ab + 4bc + 2ca$
次の式を因数分解せよ。
(1) $8x^3 + 125y^3$
(2) $x^3 - 6x^2 + 12x - 8$
(1) $(2x + 5y)(4x^2 - 10xy + 25y^2)$
(2) $(x - 2)^3$
(1) 方針：$8x^3 = (2x)^3$, $125y^3 = (5y)^3$ より、$a^3 + b^3$ の形。
$= (2x)^3 + (5y)^3 = (2x + 5y)\{(2x)^2 - (2x)(5y) + (5y)^2\}$
$= (2x + 5y)(4x^2 - 10xy + 25y^2)$
(2) 方針：係数 $1, -6, 12, -8$ を見る。$(-2)^3 = -8$, $1^3 = 1$。
$1 : 3 \cdot 1^2 \cdot 2 : 3 \cdot 1 \cdot 2^2 : 2^3 = 1 : 6 : 12 : 8$。符号は $+, -, +, -$（$b = 2$ の引き算）✓
よって $(x - 2)^3$
$x + y = 3$, $xy = 1$ のとき、$x^3 + y^3$ の値を求めよ。
$x^3 + y^3 = 18$
方針：$x^3 + y^3$ を基本対称式 $x+y$, $xy$ で表す。
$x^3 + y^3 = (x+y)^3 - 3xy(x+y)$
$= 3^3 - 3 \cdot 1 \cdot 3$
$= 27 - 9 = 18$
次の式を因数分解せよ。
$a^3(b - c) + b^3(c - a) + c^3(a - b)$
$-(a - b)(b - c)(c - a)(a + b + c)$
方針：$a = b$ を代入すると式の値は $0$ になるので、$(a - b)$ を因子に持つ。同様に $(b-c)$, $(c-a)$ も因子。
式は $a$ について3次。展開すると $a^3b - a^3c + b^3c - ab^3 + ac^3 - bc^3$ で、 これは4次式。因子 $(a-b)(b-c)(c-a)$ は3次なので、残りは1次の対称式 $k(a+b+c)$ の形。
$a^3$ の項の係数を比較すると $k = -1$ がわかる。
よって $-(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)$。