AM-GM不等式の真価は「最大値・最小値を求める」場面で発揮されます。
等号成立条件の確認を軸に、典型パターンを網羅しましょう。
Step 1. 式を $f + g$ の形にし、$fg$ が定数になるよう分割する
Step 2. $f + g \geq 2\sqrt{fg}$ で下界を得る
Step 3. 等号 $f = g$ が実現可能かを確認 ← 最重要！
積が定数 → 和の最小値。和が定数 → 積の最大値。
$x > 0$ のとき、$f(x) = x + \dfrac{4}{x}$ の最小値を求めよ。
$x + \dfrac{4}{x} \geq 2\sqrt{x \cdot \dfrac{4}{x}} = 2\sqrt{4} = 4$
等号：$x = \dfrac{4}{x} \implies x^2 = 4 \implies x = 2$（$x > 0$）
$x = 2$ は定義域内なので、最小値 $4$（$x = 2$ のとき）。
$x > 1$ のとき、$f(x) = x + \dfrac{1}{x - 1}$ の最小値を求めよ。
$t = x - 1 > 0$ とおくと $f(x) = (t + 1) + \dfrac{1}{t} = t + \dfrac{1}{t} + 1$
$t + \dfrac{1}{t} \geq 2$（等号 $t = 1$、すなわち $x = 2$）
よって $f(x) \geq 3$。最小値 $3$（$x = 2$ のとき）。
AM-GMの最小値問題で核となるのは「積が定数になるように式を分割する」ことです。$x + \dfrac{4}{x}$ では $x \cdot \dfrac{4}{x} = 4$ が定数。$t + \dfrac{1}{t}$ では $t \cdot \dfrac{1}{t} = 1$ が定数。この「積を一定にする分割」が見えれば、問題は解けたも同然です。
$a + b = 10$（$a, b > 0$）のとき、$ab$ の最大値を求めよ。
AM-GM：$\dfrac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}$ より $5 \geq \sqrt{ab}$、$ab \leq 25$。
等号：$a = b = 5$。最大値 $25$。
$ab = 36$（$a, b > 0$）のとき、$a + b$ の最小値を求めよ。
AM-GM：$a + b \geq 2\sqrt{ab} = 2\sqrt{36} = 12$。
等号：$a = b = 6$。最小値 $12$。
$x > 0, y > 0, x + 2y = 6$ のとき、$xy$ の最大値を求めよ。
$x + 2y = 6$ より $x = 6 - 2y$。$x > 0$ なので $0 < y < 3$。
$xy = (6-2y)y = -2y^2 + 6y = -2(y^2 - 3y) = -2\left(y - \dfrac{3}{2}\right)^2 + \dfrac{9}{2}$
最大値 $\dfrac{9}{2}$（$y = \dfrac{3}{2}, x = 3$）。
AM-GMでも：$6 = x + 2y \geq 2\sqrt{2xy}$（$x$ と $2y$ にAM-GM）
$9 \geq 2xy$ より $xy \leq \dfrac{9}{2}$。等号 $x = 2y$、$x + 2y = 6$ より $x = 3, y = \dfrac{3}{2}$。✓
✗ $x + 2y$ にそのまま $x + 2y \geq 2\sqrt{2xy}$ を使い「$6 \geq 2\sqrt{2xy}$ だから $xy \leq \dfrac{9}{2}$」で終了
✓ 等号条件 $x = 2y$ が $x + 2y = 6$ と矛盾しないか確認する
等号条件 $x = 2y$ と $x + 2y = 6$ を連立すると $4y = 6, y = 3/2, x = 3$。正しく定義域内にあるので OK。
$x > 0$ のとき、$f(x) = x^2 + \dfrac{2}{x}$ の最小値を求めよ。
3変数のAM-GMを使います。$x^2 + \dfrac{2}{x} = x^2 + \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x}$ と3項に分割。
$$\frac{x^2 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x}}{3} \geq \sqrt[3]{x^2 \cdot \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x}} = \sqrt[3]{1} = 1$$
よって $x^2 + \dfrac{2}{x} \geq 3$。等号 $x^2 = \dfrac{1}{x}$、$x^3 = 1$、$x = 1$。最小値 $3$。
$x > 0$ のとき、$f(x) = 2x + \dfrac{3}{x}$ の最小値を求めよ。
$2x + \dfrac{3}{x} \geq 2\sqrt{2x \cdot \dfrac{3}{x}} = 2\sqrt{6}$
等号：$2x = \dfrac{3}{x} \implies x = \sqrt{\dfrac{3}{2}}$。最小値 $2\sqrt{6}$。
2項型：$ax + \dfrac{b}{x} \geq 2\sqrt{ab}$（等号 $ax = \dfrac{b}{x}$、$x = \sqrt{\dfrac{b}{a}}$）
3項型：$x^n + \dfrac{k}{x^m}$ では $n$ 個と $m$ 個に分割して $n + m$ 変数のAM-GMを適用
定数の分離：$f(x) = g(x) + (\text{定数})$ として $g(x)$ にAM-GMを適用
AM-GMで最小値を求めるとき、分割後の各項の積が定数になるように調整します。$x^2 + \dfrac{2}{x}$ なら $x^2, \dfrac{1}{x}, \dfrac{1}{x}$ と分ければ積 $= x^2 \cdot \dfrac{1}{x^2} = 1$（定数）。この「積を一定にする」という指針を覚えましょう。
AM-GMで最小値を主張するためには、等号が実現可能であることが必須です。
$x > 2$ のとき、$g(x) = x + \dfrac{1}{x}$ の最小値は？
AM-GM：$x + \dfrac{1}{x} \geq 2$。しかし等号 $x = 1$ は $x > 2$ を満たしません！
この場合、AM-GMの下界 $2$ は達成されず、微分やグラフの考察が必要です。
$g'(x) = 1 - \dfrac{1}{x^2} > 0$（$x > 2$ で）なので $g$ は単調増加。最小値は $g(2) = 2 + \dfrac{1}{2} = \dfrac{5}{2}$。
✗ AM-GMで下界を求めて「最小値」と結論する（等号条件の確認なし）
✓ 等号条件が定義域内で成立することを必ず確認する
等号が定義域外にある場合、AM-GMの下界は最小値ではありません。この見落としは入試で大きな失点になります。
AM-GM不等式は「$f(x) \geq M$ なる定数 $M$ が存在する」ことを示しますが、「$f(x) = M$ となる $x$ が存在する」ことは別途確認が必要です。下界 $M$ が達成されて初めて「最小値 $M$」と言えます。これは「下限(infimum)と最小値(minimum)の違い」です。
| 状況 | 判断 | 代替手法 |
|---|---|---|
| 正の数でない | AM-GM不可 | 平方完成、微分 |
| 等号が定義域外 | 最小値ではない | 端点の値 or 微分 |
| 積が定数にならない | AM-GMが直接使えない | 置換して使えるか検討 |
| 3項以上で分割が複雑 | 多変数AM-GMか微分 | ラグランジュの未定乗数法（大学） |
大学の最適化理論では、AM-GMはラグランジュの未定乗数法の特殊ケースとして位置づけられます。制約条件 $g(x,y) = c$ のもとでの $f(x,y)$ の極値は $\nabla f = \lambda \nabla g$ で求められ、AM-GMの等号条件「変数が等しい」は対称性から自然に導かれます。
Q1. $x > 0$ のとき $x + \dfrac{16}{x}$ の最小値は？
Q2. $a + b = 8$（$a, b > 0$）のとき $ab$ の最大値は？
Q3. $x > 0$ のとき $x^2 + \dfrac{1}{x}$ の最小値は？
Q4. AM-GMで求めた「下界」が「最小値」と言えないのはどんなとき？
Q5. $x > 0, y > 0, xy = 9$ のとき $x + y$ の最小値は？
$x > 0$ のとき、$f(x) = x + \dfrac{1}{x} + 2$ の最小値を求めよ。
$x > 0$ より AM-GM を適用：$x + \dfrac{1}{x} \geq 2\sqrt{x \cdot \dfrac{1}{x}} = 2$
よって $f(x) = x + \dfrac{1}{x} + 2 \geq 4$
等号は $x = \dfrac{1}{x}$、$x = 1$ のとき成立。$x = 1 > 0$ は定義域内。
答え：最小値 $4$（$x = 1$ のとき）
$x > 0, y > 0, 2x + 3y = 12$ のとき、$xy$ の最大値を求めよ。
AM-GMより $2x + 3y \geq 2\sqrt{2x \cdot 3y} = 2\sqrt{6xy}$
$12 \geq 2\sqrt{6xy}$ より $6 \geq \sqrt{6xy}$、$36 \geq 6xy$、$xy \leq 6$
等号条件：$2x = 3y$ かつ $2x + 3y = 12$
$4x = 12$ より $x = 3, y = 2$
答え：最大値 $6$（$x = 3, y = 2$ のとき）
$a > 0, b > 0, a + b = 1$ のとき、$\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}$ の最小値を求めよ。
$\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} = \dfrac{a+b}{ab} = \dfrac{1}{ab}$
$ab$ の最大値を求めれば $\dfrac{1}{ab}$ の最小値が分かる。
AM-GM：$\dfrac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}$ より $\dfrac{1}{2} \geq \sqrt{ab}$、$ab \leq \dfrac{1}{4}$
よって $\dfrac{1}{ab} \geq 4$
等号：$a = b = \dfrac{1}{2}$
答え：最小値 $4$（$a = b = \dfrac{1}{2}$ のとき）
$\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} = (a+b)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right) \geq \left(\sqrt{\dfrac{a}{a}}+\sqrt{\dfrac{b}{b}}\right)^2 = 4$
（コーシー・シュワルツ不等式の利用。次回学習。）
$x > 0, y > 0, z > 0, x + y + z = 1$ のとき、次の式の最小値を求めよ。
$$\frac{1}{x} + \frac{4}{y} + \frac{9}{z}$$
コーシー・シュワルツの不等式を利用：
$(x+y+z)\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{4}{y}+\dfrac{9}{z}\right) \geq \left(\sqrt{1}+\sqrt{4}+\sqrt{9}\right)^2 = (1+2+3)^2 = 36$
$x + y + z = 1$ より $\dfrac{1}{x}+\dfrac{4}{y}+\dfrac{9}{z} \geq 36$
等号条件：$\dfrac{x}{1/x} = \dfrac{y}{4/y} = \dfrac{z}{9/z}$ すなわち $x^2 = \dfrac{y^2}{4} = \dfrac{z^2}{9}$
$x : y : z = 1 : 2 : 3$。$x + y + z = 1$ より $x = \dfrac{1}{6}, y = \dfrac{1}{3}, z = \dfrac{1}{2}$
答え：最小値 $36$（$x = \dfrac{1}{6}, y = \dfrac{1}{3}, z = \dfrac{1}{2}$ のとき）
$\dfrac{1}{1/6} + \dfrac{4}{1/3} + \dfrac{9}{1/2} = 6 + 12 + 18 = 36$ ✓