相加平均（算術平均）は「足して割る」、相乗平均（幾何平均）は「掛けてルートを取る」。
この2つの平均の間には、美しくも強力な不等式が潜んでいます。
$a \geq 0, \, b \geq 0$ のとき：
相加平均（AM）：$\dfrac{a + b}{2}$（arithmetic mean）
相乗平均（GM）：$\sqrt{ab}$（geometric mean）
「相加」は「加え合わせる」、「相乗」は「掛け合わせる」の意味です。
例えば $a = 2, b = 8$ のとき：
確かに相加平均 $5 \geq 4$ 相乗平均です。
相加平均はデータの「中心位置」、相乗平均はデータの「比率的な中心」を表します。例えば、年利 $2\%$ と $8\%$ の「平均的な成長率」は相加平均 $5\%$ ではなく、相乗平均 $4\%$（$\sqrt{1.02 \times 1.08} \approx 1.04$）に近いのです。
$a \geq 0, \, b \geq 0$ のとき
$$\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab}$$
等号成立：$a = b$
同値な形：$a + b \geq 2\sqrt{ab}$
$$\frac{a+b}{2} - \sqrt{ab} = \frac{a + b - 2\sqrt{ab}}{2} = \frac{(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2}{2} \geq 0$$
よって $\dfrac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}$。
等号は $\sqrt{a} = \sqrt{b}$、すなわち $a = b$ のとき成立。 ■
$(a - b)^2 \geq 0$ より $a^2 + b^2 \geq 2ab$。
$a, b \geq 0$ に対し $A = \sqrt{a}, B = \sqrt{b}$ とおくと：
$a + b \geq 2\sqrt{a}\sqrt{b} = 2\sqrt{ab}$。 ■
$a > 0$ のとき、AM-GMは次のように使われます：
| パターン | 不等式 | 等号条件 |
|---|---|---|
| 基本形 | $a + b \geq 2\sqrt{ab}$ | $a = b$ |
| 逆数型 | $a + \dfrac{1}{a} \geq 2$（$a > 0$） | $a = 1$ |
| 積一定 | $ab = k$ のとき $a+b \geq 2\sqrt{k}$ | $a = b = \sqrt{k}$ |
| 和一定 | $a+b = s$ のとき $ab \leq \dfrac{s^2}{4}$ | $a = b = \dfrac{s}{2}$ |
✗ $a, b$ の符号を確認せずに $a + b \geq 2\sqrt{ab}$ を使う
✓ $a \geq 0, b \geq 0$（または $a > 0, b > 0$）が前提条件
$a = -1, b = -1$ では $a + b = -2$ だが $\sqrt{ab} = 1$。$-2 \geq 2$ は偽。相加相乗平均は正の数に対する不等式です。
$a \geq 0, \, b \geq 0, \, c \geq 0$ のとき
$$\frac{a + b + c}{3} \geq \sqrt[3]{abc}$$
等号成立：$a = b = c$
$a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca) \geq 0$
（$a+b+c \geq 0$ かつ $a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca \geq 0$ より）
したがって $a^3 + b^3 + c^3 \geq 3abc$。
$a, b, c$ を $\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{y}, \sqrt[3]{z}$（$x, y, z \geq 0$）に置き換えると：
$x + y + z \geq 3\sqrt[3]{xyz}$
両辺を $3$ で割って $\dfrac{x+y+z}{3} \geq \sqrt[3]{xyz}$。 ■
$a > 0, b > 0, c > 0, \, abc = 1$ のとき $a + b + c \geq 3$。
（AM-GM：$a + b + c \geq 3\sqrt[3]{abc} = 3\sqrt[3]{1} = 3$）
$n$ 変数の場合：$a_1, a_2, \ldots, a_n \geq 0$ のとき
$$\frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1 a_2 \cdots a_n}$$
等号は $a_1 = a_2 = \cdots = a_n$ のとき成立。証明にはイェンセンの不等式（大学範囲）を使うのがエレガントです。
AM-GM不等式には美しい幾何学的解釈があります。
線分 $AB$ 上に点 $C$ を取り、$AC = a, CB = b$ とします。$AB$ を直径とする半円を描き、$C$ から半円への垂線の足を $D$ とすると：
半径は常に $CD$ 以上（半円の内部だから）なので、$\dfrac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}$ が図形的に理解できます。
周の長さが一定 $2(a+b)$ の長方形の面積は $ab$。同じ周長の正方形は一辺 $\dfrac{a+b}{2}$ で面積 $\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2$。
AM-GMより $\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2 \geq ab$。つまり同じ周長なら正方形が面積最大です。
AM-GM不等式の幾何学的意味は「最も対称的な配分が最適」ということです。等しく分けた方が乗法的な量（面積など）は大きくなり、不等に分けた方が加法的な量（周長など）に対しては乗法的な量が減ります。この「対称性と最適性の関係」は数学全体に通じるテーマです。
$a > 0, b > 0$ のとき、3種類の平均の大小関係があります。
$$\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}} \leq \sqrt{ab} \leq \frac{a+b}{2}$$
調和平均（HM）$\leq$ 相乗平均（GM）$\leq$ 相加平均（AM）
等号はいずれも $a = b$ のとき成立
調和平均 $= \dfrac{2ab}{a+b}$。速度の平均などで登場します。
行きが時速 $a$ km、帰りが時速 $b$ km で同じ距離を往復するとき、平均速度は相加平均 $\dfrac{a+b}{2}$ ではなく調和平均 $\dfrac{2ab}{a+b}$ です。
$\dfrac{1}{a}, \dfrac{1}{b}$ に対してAM-GMを適用すると：
$$\frac{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}{2} \geq \sqrt{\frac{1}{a} \cdot \frac{1}{b}} = \frac{1}{\sqrt{ab}}$$
逆数を取ると（両辺正なので不等号の向きが逆転）：
$$\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}} \leq \sqrt{ab}$$
すなわち HM $\leq$ GM。 ■
AM-GM不等式はべき平均不等式の特殊ケースです。$p$ 乗平均 $M_p = \left(\dfrac{a^p + b^p}{2}\right)^{1/p}$ について、$p < q$ なら $M_p \leq M_q$ が成り立ちます。$M_1 = \text{AM}$、$M_0 = \text{GM}$（極限で定義）、$M_{-1} = \text{HM}$ なので、HM $\leq$ GM $\leq$ AM は $p = -1, 0, 1$ のケースに対応します。
Q1. $a > 0, b > 0$ のとき、$a + b \geq 2\sqrt{ab}$ の等号成立条件は？
Q2. $x > 0$ のとき $x + \dfrac{9}{x}$ の最小値は？
Q3. 相乗平均が「幾何平均」とも呼ばれる理由を一言で。
Q4. $a, b, c > 0$ で $abc = 8$ のとき $a + b + c$ の最小値は？
Q5. 調和平均、相乗平均、相加平均を小さい順に並べよ。
$a > 0, b > 0$ のとき、次の不等式を証明せよ。
$$(a + b)\left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}\right) \geq 4$$
AM-GMより $a + b \geq 2\sqrt{ab}$ …①
$\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} \geq 2\sqrt{\dfrac{1}{ab}} = \dfrac{2}{\sqrt{ab}}$ …②
①×②（両辺正）より：$(a+b)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right) \geq 2\sqrt{ab} \cdot \dfrac{2}{\sqrt{ab}} = 4$
等号は $a = b$ のとき成立。 ■
$(a+b)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right) = 1 + \dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a} + 1 = 2 + \dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a} \geq 2 + 2 = 4$
$a > 0, b > 0$ のとき、次の不等式を証明せよ。
$$\frac{a^2+b^2}{2} \geq \left(\frac{a+b}{2}\right)^2$$
この不等式は「2乗の平均 $\geq$ 平均の2乗」を意味する。何を表しているか述べよ。
$$\frac{a^2+b^2}{2} - \left(\frac{a+b}{2}\right)^2 = \frac{a^2+b^2}{2} - \frac{a^2+2ab+b^2}{4} = \frac{2(a^2+b^2)-(a^2+2ab+b^2)}{4} = \frac{a^2-2ab+b^2}{4} = \frac{(a-b)^2}{4} \geq 0$$
よって $\dfrac{a^2+b^2}{2} \geq \left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2$。等号は $a = b$。 ■
意味：これは QM（2乗平均）$\geq$ AM（相加平均）を表し、べき平均不等式 $M_2 \geq M_1$ の特殊ケースです。統計学では「分散は常に非負」という事実に対応します。
$a > 0, b > 0, a + b = 1$ のとき、次の不等式を証明せよ。
$$\left(a + \frac{1}{a}\right)^2 + \left(b + \frac{1}{b}\right)^2 \geq \frac{25}{2}$$
AM-GM より $a + \dfrac{1}{a} \geq 2$（$a > 0$）。等号は $a = 1$ だが $a + b = 1, b > 0$ より $a < 1$ なので等号不成立。つまり $a + \dfrac{1}{a} > 2$。
QM $\geq$ AM（問題2）より：
$$\frac{\left(a+\frac{1}{a}\right)^2 + \left(b+\frac{1}{b}\right)^2}{2} \geq \left(\frac{a+\frac{1}{a}+b+\frac{1}{b}}{2}\right)^2$$
$a + b = 1$ なので $a + \dfrac{1}{a} + b + \dfrac{1}{b} = 1 + \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}$
AM-GM：$\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} \geq \dfrac{4}{a+b} = 4$（相加相乗平均の逆数版、または直接計算）
（$\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} = \dfrac{a+b}{ab} = \dfrac{1}{ab} \geq \dfrac{1}{(1/2)^2} = 4$。最後は $ab \leq \dfrac{(a+b)^2}{4} = \dfrac{1}{4}$ による）
よって $a + \dfrac{1}{a} + b + \dfrac{1}{b} \geq 5$
$$\left(a+\frac{1}{a}\right)^2 + \left(b+\frac{1}{b}\right)^2 \geq 2 \cdot \left(\frac{5}{2}\right)^2 = \frac{25}{2}$$
等号は $a + \dfrac{1}{a} = b + \dfrac{1}{b}$ かつ $\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} = 4$。すなわち $a = b = \dfrac{1}{2}$。 ■
$a, b, c > 0$ のとき、次の不等式を証明せよ。
$$(a+b)(b+c)(c+a) \geq 8abc$$
AM-GMを各因数に適用：
$a + b \geq 2\sqrt{ab}$
$b + c \geq 2\sqrt{bc}$
$c + a \geq 2\sqrt{ca}$
辺々を掛けると（すべて正なので）：
$(a+b)(b+c)(c+a) \geq 8\sqrt{ab} \cdot \sqrt{bc} \cdot \sqrt{ca} = 8\sqrt{a^2b^2c^2} = 8abc$
等号は $a = b, b = c, c = a$、すなわち $a = b = c$ のとき成立。 ■
直方体の辺の長さが $a, b, c$ のとき、3組の対面の面積の積 $(ab+bc+ca)$ に関連する不等式です。立方体（$a = b = c$）が最も「効率的」であることを示唆しています。