複素数の積・商と回転
─ かけ算は「回して伸ばす」操作

$z_1 = 2\!\left(\cos\dfrac{\pi}{3} + i\sin\dfrac{\pi}{3}\right)$、$z_2 = 2\!\left(\cos\dfrac{\pi}{6} + i\sin\dfrac{\pi}{6}\right)$

積：$z_1 z_2 = 4\!\left(\cos\dfrac{\pi}{2} + i\sin\dfrac{\pi}{2}\right) = 4i$

直交形式：$(1+\sqrt{3}\,i)(\sqrt{3}+i) = \sqrt{3} + i + 3i + \sqrt{3}\,i^2 = (\sqrt{3}-\sqrt{3}) + (1+3)i = 4i$ ✓

商：$\dfrac{z_1}{z_2} = 1 \cdot \left(\cos\dfrac{\pi}{6} + i\sin\dfrac{\pi}{6}\right) = \dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{1}{2}i$

$\omega = \cos\dfrac{2\pi}{3} + i\sin\dfrac{2\pi}{3}$ とおく（$120°$ 回転）。

正三角形の重心を $g = \dfrac{z_1+z_2+z_3}{3}$ とすると、$z_k - g$（$k=1,2,3$）は互いに $120°$ 回転の関係にある。

$z_2 - g = \omega(z_1 - g)$, $z_3 - g = \omega^2(z_1 - g)$ と書ける（頂点の番号付けを適切に選ぶ）。

$z_1 + z_2 + z_3 = 3g$ と $1 + \omega + \omega^2 = 0$ を使う。

$z_1^2 + z_2^2 + z_3^2 - z_1z_2 - z_2z_3 - z_3z_1 = \dfrac{1}{2}[(z_1-z_2)^2 + (z_2-z_3)^2 + (z_3-z_1)^2]$... (*)

$z_1 - z_2 = (z_1-g) - (z_2-g) = (1-\omega)(z_1-g)$

$z_2 - z_3 = (\omega-\omega^2)(z_1-g)$, $z_3 - z_1 = (\omega^2-1)(z_1-g)$

$(*)$ の右辺 $= \dfrac{|z_1-g|^2}{2}[(1-\omega)^2+(\omega-\omega^2)^2+(\omega^2-1)^2]$

$= \dfrac{|z_1-g|^2}{2} \cdot (1-\omega)^2[1+\omega^2+\omega^4]$

$\omega^3 = 1$ より $\omega^4 = \omega$ なので $1+\omega^2+\omega = 0$。よって $(*)=0$。□

$z_2 - z_1 = -3 + i$。$z_3 - z_2$ は $z_2 - z_1$ を $90°$ 回転した（反時計回りなので $i$ 倍した）ものなので：

$z_3 - z_2 = i(z_2 - z_1) = i(-3+i) = -3i + i^2 = -1 - 3i$

$z_3 = z_2 + (-1-3i) = (-1+2i) + (-1-3i) = -2 - i$

$z_4 - z_3 = i(z_3 - z_2) = i(-1-3i) = -i - 3i^2 = 3 - i$

$z_4 = z_3 + (3-i) = (-2-i) + (3-i) = 1 - 2i$

検証：$z_1 - z_4 = (2+i) - (1-2i) = 1 + 3i = i(z_4 - z_3) = i(3-i) = 3i + 1$ ✓

$\arg\dfrac{z-1}{z+1} = \arg(z-1) - \arg(z+1)$

これは点 $z$ から見た点 $1$ と点 $-1$ のなす角に対応する。

$z$ は中心 $O$, 半径 $2$ の円上を動く。$A(1), B(-1)$ とすると、$\arg\dfrac{z-1}{z+1}$ は $\angle BzA$（符号付き）。

円周角の定理の逆を考える。$A(1), B(-1)$ を通る弦に対する円周角は、$z$ が $|z|=2$ の上半円上にあるとき正、下半円上にあるとき負。

$OA = OB = 1$, 円の半径 $R = 2$ なので $AB = 2$。

$z$ が虚軸上（$z = 2i$）のとき角度が最大。$z - 1 = -1 + 2i$, $z + 1 = 1 + 2i$。

$\arg(z-1) = \pi - \arctan 2$, $\arg(z+1) = \arctan 2$

$\arg\dfrac{z-1}{z+1} = \pi - 2\arctan 2$

対称性より、$z$ が上半円を動くとき $0 < \arg\dfrac{z-1}{z+1} \le \pi - 2\arctan 2$ ではなく、正しくは $\sin\theta = \dfrac{1}{2}$ を使う。

$z = 2(\cos\alpha + i\sin\alpha)$ とおき、$\dfrac{z-1}{z+1} = \dfrac{2e^{i\alpha}-1}{2e^{i\alpha}+1}$ を $\alpha$ の関数として解析すると、

$\arg\dfrac{z-1}{z+1}$ のとりうる値の範囲は $-\dfrac{\pi}{6} \le \theta \le \dfrac{\pi}{6}$（$z = \pm 2$ のとき $\theta = 0$）を除く $\left(-\dfrac{\pi}{6}, \dfrac{\pi}{6}\right)$ ではなく、

実は $|z|=2$ の円と $A(1), B(-1)$ の配置から、$\sin\angle AzB = \dfrac{AB/2}{R} = \dfrac{1}{2}$ が最大角を与え：

$\arg\dfrac{z-1}{z+1}$ の範囲は $\left(-\dfrac{\pi}{6},\; \dfrac{\pi}{6}\right)$ で、$z = \pm 2$ のとき $0$。

答：$-\dfrac{\pi}{6} < \arg\dfrac{z-1}{z+1} < \dfrac{\pi}{6}$（$z \neq \pm 2$）、$z = \pm 2$ のとき $0$。