これまで学んだ放物線・楕円・双曲線はすべて原点を中心（または頂点）とする「標準形」でした。しかし実際の問題では、中心が原点からずれた2次曲線が登場します。一般の2次方程式 $ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0$ から、平方完成と平行移動によって標準形を読み取る方法を身につけましょう。
2次関数 $y = a(x-p)^2 + q$ のグラフが $y = ax^2$ を $(p, q)$ だけ平行移動したものだったことを思い出してください。2次曲線でもまったく同じ原理が働きます。
曲線 $F(x, y) = 0$ を $x$ 方向に $p$、$y$ 方向に $q$ だけ平行移動した曲線は：
$$F(x - p,\; y - q) = 0$$
平行移動とは、「座標軸の原点を $(p, q)$ に移す」ことと同じです。新しい座標 $X = x - p$、$Y = y - q$ を導入すると、移動後の曲線は $F(X, Y) = 0$ という標準形で表されます。
つまり「平行移動した曲線の方程式を求める」のではなく「新しい中心を見つけて標準形に帰着させる」のが本質です。
楕円 $\dfrac{x^2}{9} + \dfrac{y^2}{4} = 1$ を $x$ 方向に $2$、$y$ 方向に $-1$ だけ平行移動すると：
$$\frac{(x-2)^2}{9} + \frac{(y+1)^2}{4} = 1$$
中心が $(2, -1)$ に移り、焦点は $(2 \pm \sqrt{5},\; -1)$ になります。
✕ 誤：$x$ 方向に $2$ 移動なので $x$ を $x + 2$ に置き換える
○ 正：$x$ 方向に $+2$ 移動なので $x$ を $x - 2$ に置き換えます。「右に動かすのに引く」のは、2次関数の頂点の公式で学んだ通りです。「新しい原点 $(2, -1)$ からの距離」で測るから $x - 2$、$y - (-1) = y + 1$ なのです。
曲線を平行移動すると、焦点・準線・漸近線なども同じだけ移動します。標準形での値を求めてから、移動量を加えるのが確実な方法です。
| 要素 | 標準形での値 | $(p, q)$ 移動後 |
|---|---|---|
| 中心（楕円・双曲線） | $(0, 0)$ | $(p, q)$ |
| 焦点 | $(\pm c, 0)$ | $(p \pm c,\; q)$ |
| 頂点（放物線） | $(0, 0)$ | $(p, q)$ |
| 準線（放物線） | $x = -a$ | $x = p - a$ |
| 漸近線（双曲線） | $y = \pm\dfrac{b}{a}x$ | $y - q = \pm\dfrac{b}{a}(x - p)$ |
2次曲線の方程式が展開された形で与えられたとき、平方完成によって標準形を読み取ります。これは数学Iで学んだ「$y = ax^2 + bx + c$ を $y = a(x-p)^2 + q$ に変形する」操作の2次元版です。
$4x^2 + 9y^2 - 16x + 18y - 11 = 0$ を標準化してみましょう。
Step 1：$x$ と $y$ をそれぞれまとめる
$4(x^2 - 4x) + 9(y^2 + 2y) = 11$
Step 2：各変数を平方完成
$4(x^2 - 4x + 4 - 4) + 9(y^2 + 2y + 1 - 1) = 11$
$4(x - 2)^2 - 16 + 9(y + 1)^2 - 9 = 11$
$4(x - 2)^2 + 9(y + 1)^2 = 36$
Step 3：右辺を $1$ にする
$$\frac{(x-2)^2}{9} + \frac{(y+1)^2}{4} = 1$$
これは中心 $(2, -1)$、$a = 3$、$b = 2$ の楕円です。
平方完成の本質は「$(x-p)^2$ の形にすることで、$x = p$ のときに2乗の項が $0$ になる点（= 中心）を見つける」ことです。
$x$ と $y$ の両方で平方完成を行えば、2次曲線の中心（または頂点）の座標が自動的に決まります。その後は標準形と比較して、楕円なのか双曲線なのかを判断します。
✕ 誤：$4x^2 - 16x = 4(x^2 - 16x) = 4(x - 8)^2 - \cdots$
○ 正：$4x^2 - 16x = 4(x^2 - 4x)$。係数でくくってから平方完成します。$-16x$ を $4$ でくくると $-4x$ です。
$x^2 - 6x - 4y + 13 = 0$ を標準化してみましょう。
$(x^2 - 6x + 9) - 4y + 13 - 9 = 0$ より $(x - 3)^2 = 4y - 4 = 4(y - 1)$
$(x - 3)^2 = 4(y - 1)$ なので、頂点 $(3, 1)$、上に開く放物線（$4p = 4$、$p = 1$）です。
✕ 誤：$x^2$ と $y$ の項があるから楕円
○ 正：$x^2$ の項はあるが $y^2$ の項がない場合は放物線です。楕円は $x^2$ と $y^2$ の両方が同符号で必要です。判別のポイントは「2次の項がいくつあるか」と「その符号」です。
大学の線形代数では、$ax^2 + 2hxy + by^2$ を行列 $\begin{pmatrix} a & h \\ h & b \end{pmatrix}$ で表し、固有値を求めることで標準化します。平方完成は「対称行列の対角化」の具体的な実行にほかなりません。
この視点に立つと、$xy$ の項（回転が必要な場合）も統一的に扱えます。
$ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0$ が表す曲線の種類を、係数から判別する方法を学びます。
$b = 0$（$xy$ の項がない）のとき、$x^2$ と $y^2$ の係数で判別できます。
$ax^2 + cy^2 + dx + ey + f = 0$ について：
・$a$ と $c$ が同符号（$ac > 0$）→ 楕円（$a = c$ なら円）
・$a$ と $c$ が異符号（$ac < 0$）→ 双曲線
・$a = 0$ または $c = 0$（片方だけ2次）→ 放物線
$x^2$ と $y^2$ の係数の符号関係が曲線の種類を決めます。両方正（同符号）なら楕円的に「閉じた」形、異符号なら双曲線的に「開いた」形、一方が欠けていれば放物線的に「一方向に開いた」形になるのです。
これは $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$（楕円、$+$ と $+$）、$\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$（双曲線、$+$ と $-$）、$y^2 = 4px$（放物線、一方が1次）という標準形の構造を反映しています。
形式的に2次方程式でも、実際の図形が2次曲線にならないことがあります。
| 方程式 | 図形 | 退化の種類 |
|---|---|---|
| $x^2 + y^2 = 0$ | 原点のみ | 点に退化 |
| $x^2 - y^2 = 0$ | $y = \pm x$ | 2直線に退化 |
| $x^2 + y^2 + 1 = 0$ | なし | 空集合 |
| $x^2 = 0$ | $y$ 軸 | 重複直線に退化 |
✕ 誤：$x^2 + y^2 = 0$ は $x^2$ と $y^2$ が同符号なので楕円
○ 正：平方完成の結果、右辺が $0$ や負になる場合は退化（点や空集合）です。判別は「まず平方完成して確認」が原則です。
$bxy$ の項がある場合、平方完成だけでは標準化できません。座標軸を回転させる必要があります。
$ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0$ について、$\Delta = b^2 - 4ac$ とおくと：
・$\Delta < 0$（$b^2 < 4ac$）→ 楕円型
・$\Delta = 0$（$b^2 = 4ac$）→ 放物線型
・$\Delta > 0$（$b^2 > 4ac$）→ 双曲線型
座標軸を角度 $\theta$ だけ回転させる変換は：
$$\begin{cases} x = X\cos\theta - Y\sin\theta \\ y = X\sin\theta + Y\cos\theta \end{cases}$$
$xy$ の項を消すには、$\tan 2\theta = \dfrac{b}{a - c}$（$a \neq c$ の場合）となる $\theta$ を選びます。
$xy = 1$ すなわち $0 \cdot x^2 + 1 \cdot xy + 0 \cdot y^2 - 1 = 0$ で $a = 0$、$b = 1$、$c = 0$。
$\Delta = 1^2 - 4 \cdot 0 \cdot 0 = 1 > 0$ なので双曲線型です。$\theta = 45°$ で回転すると $\dfrac{X^2}{2} - \dfrac{Y^2}{2} = 1$ になることは、前の記事で確認しました。
$\Delta = b^2 - 4ac$ が回転で不変であることは、2次形式 $ax^2 + bxy + cy^2$ を表す行列 $\begin{pmatrix} a & b/2 \\ b/2 & c \end{pmatrix}$ の判別式（行列式の $-4$ 倍）に対応します。行列式は直交変換で不変なので、$\Delta$ も不変です。
同様に $a + c$（行列のトレース）も回転で不変であり、これら2つの不変量で2次曲線の型が完全に決まります。
ここまで学んだ平方完成と判別の技法を、具体的な問題で実践しましょう。
$9x^2 + 4y^2 + 36x - 8y + 4 = 0$
$9(x^2 + 4x) + 4(y^2 - 2y) = -4$
$9(x + 2)^2 - 36 + 4(y - 1)^2 - 4 = -4$
$9(x + 2)^2 + 4(y - 1)^2 = 36$
$$\frac{(x+2)^2}{4} + \frac{(y-1)^2}{9} = 1$$
中心 $(-2, 1)$、$a = 3$（$y$ 方向）、$b = 2$（$x$ 方向）の楕円です。
$4x^2 - y^2 + 8x + 4y - 4 = 0$
$4(x^2 + 2x) - (y^2 - 4y) = 4$
$4(x + 1)^2 - 4 - (y - 2)^2 + 4 = 4$
$4(x + 1)^2 - (y - 2)^2 = 4$
$$(x + 1)^2 - \frac{(y-2)^2}{4} = 1$$
中心 $(-1, 2)$ の双曲線。漸近線は $y - 2 = \pm 2(x + 1)$。
✕ 誤：平方完成の結果 $\dfrac{(x-1)^2}{4} + \dfrac{(y-2)^2}{9} = -1$ → 楕円
○ 正：右辺が負なので、実数の点は存在しません（空集合に退化）。右辺が正であることを必ず確認しましょう。
Step 1：$x$ の項と $y$ の項をそれぞれまとめ、2次の係数でくくる
Step 2：各変数について平方完成し、定数項を右辺に集める
Step 3：右辺で割って $= 1$ の形にする。右辺が $0$ や負なら退化を疑う
Q1. 楕円 $\dfrac{x^2}{4} + y^2 = 1$ を $x$ 方向に $-3$、$y$ 方向に $2$ 平行移動した楕円の方程式を求めよ。
Q2. $x^2 + 4y^2 - 2x + 16y + 13 = 0$ を平方完成して標準形にせよ。
Q3. $2x^2 - 3y^2 + 4x + 6y - 7 = 0$ が表す曲線の種類を判別せよ。
Q4. $x^2 + y^2 + 4x - 6y + 13 = 0$ はどのような図形を表すか。
Q5. 方程式 $xy = 4$ が表す曲線の型を $\Delta = b^2 - 4ac$ で判別せよ。
$9x^2 + 16y^2 - 18x + 64y - 71 = 0$ を標準形にし、中心・焦点・長軸の長さを求めよ。
$9(x^2 - 2x) + 16(y^2 + 4y) = 71$
$9(x - 1)^2 - 9 + 16(y + 2)^2 - 64 = 71$
$9(x - 1)^2 + 16(y + 2)^2 = 144$
$$\frac{(x-1)^2}{16} + \frac{(y+2)^2}{9} = 1$$
中心 $(1, -2)$、$a = 4$（$x$ 方向）、$b = 3$。$c = \sqrt{16 - 9} = \sqrt{7}$。
焦点 $(1 \pm \sqrt{7},\; -2)$。長軸の長さ $2a = 8$。
$y^2 + 4x - 6y + 1 = 0$ を標準化し、頂点・焦点・準線を求めよ。
$y^2 - 6y = -4x - 1$
$(y - 3)^2 - 9 = -4x - 1$
$(y - 3)^2 = -4x + 8 = -4(x - 2)$
$Y = y - 3$、$X = x - 2$ とおくと $Y^2 = -4X$。$4p = 4$ より $p = 1$、左に開く放物線。
頂点：$(2, 3)$
焦点：$(2 - 1, 3) = (1, 3)$
準線：$x = 2 + 1 = 3$ すなわち $x = 3$
実数 $k$ の値によって $x^2 + ky^2 + 2x - 4ky + 3k + 1 = 0$ が表す曲線の種類を分類せよ。
$(x+1)^2 - 1 + k(y - 2)^2 - 4k + 3k + 1 = 0$
$(x+1)^2 + k(y-2)^2 = k$
$k > 0$ のとき：$\dfrac{(x+1)^2}{k} + (y-2)^2 = 1$。楕円（$k = 1$ なら円）。
$k < 0$ のとき：$\dfrac{(x+1)^2}{k} + (y-2)^2 = 1$ で $\dfrac{1}{k} < 0$ なので、$(x+1)^2$ の係数が負。$\dfrac{(x+1)^2}{|k|} - (y-2)^2 = -1$ すなわち $(y-2)^2 - \dfrac{(x+1)^2}{|k|} = 1$。双曲線。
$k = 0$ のとき：$(x+1)^2 = 0$ より $x = -1$。直線に退化。
方程式 $5x^2 + 6xy + 5y^2 - 16 = 0$ が表す曲線の種類を判別し、座標軸を適切に回転させて標準形を求めよ。
判別：$a = 5$、$b = 6$、$c = 5$。$\Delta = 36 - 100 = -64 < 0$ より楕円型。
回転角：$\tan 2\theta = \dfrac{b}{a-c} = \dfrac{6}{0}$ → $2\theta = 90°$ → $\theta = 45°$
$x = \dfrac{X - Y}{\sqrt{2}}$、$y = \dfrac{X + Y}{\sqrt{2}}$ を代入：
$5 \cdot \dfrac{(X-Y)^2}{2} + 6 \cdot \dfrac{(X-Y)(X+Y)}{2} + 5 \cdot \dfrac{(X+Y)^2}{2} = 16$
$\dfrac{5(X^2 - 2XY + Y^2) + 6(X^2 - Y^2) + 5(X^2 + 2XY + Y^2)}{2} = 16$
$\dfrac{16X^2 + 4Y^2}{2} = 16$ → $8X^2 + 2Y^2 = 16$
$$\frac{X^2}{2} + \frac{Y^2}{8} = 1$$
$a = 2\sqrt{2}$、$b = \sqrt{2}$ の楕円（$Y$ 軸方向が長軸）。
$a = c$ のとき $\tan 2\theta$ が未定義になりますが、これは $2\theta = 90°$ すなわち $\theta = 45°$ を意味します。回転の計算では $xy$ の項が消えることを確認しながら進めましょう。