楕円は「2つの焦点からの距離の和が一定」という美しい条件で定まる曲線です。惑星の軌道がすべて楕円であることを発見したケプラーの法則から始まり、建築の音響設計に至るまで、楕円は数学と自然をつなぐ重要な曲線です。放物線に続く2次曲線の第2弾として、その定義・標準形・幾何学的性質を学びましょう。
放物線が「1つの焦点と1本の準線から等距離にある点の集合」だったのに対し、楕円は2つの焦点を使って定義されます。
平面上の2つの定点 $\mathrm{F}(c, 0)$ と $\mathrm{F'}(-c, 0)$（焦点）に対して、
$$\mathrm{PF} + \mathrm{PF'} = 2a \quad (a > c > 0)$$
を満たす点 $\mathrm{P}$ の軌跡を楕円という。
紐の両端を2つのピンに留め、ピンと張った紐の内側に鉛筆の先を当てて一周すると楕円が描けます。これは「2つの焦点からの距離の和 $=$ 紐の長さ（一定）」を利用したものです。
円は「1つの点からの距離が一定」の軌跡です。楕円は「2つの点からの距離の和が一定」の軌跡です。
焦点が2つとも同じ点に重なれば（$c = 0$）、楕円は円に退化します。楕円は「焦点が離れた円」と考えることもできるのです。
$\mathrm{F}(c, 0)$、$\mathrm{F'}(-c, 0)$ として条件 $\mathrm{PF} + \mathrm{PF'} = 2a$ を式にすると：
$$\sqrt{(x - c)^2 + y^2} + \sqrt{(x + c)^2 + y^2} = 2a$$
一方の根号を移項して2乗し、整理する操作を2回繰り返すと（計算は証明ボックスで）：
$\sqrt{(x-c)^2 + y^2} = 2a - \sqrt{(x+c)^2 + y^2}$ の両辺を2乗すると：
$(x-c)^2 + y^2 = 4a^2 - 4a\sqrt{(x+c)^2 + y^2} + (x+c)^2 + y^2$
展開して整理すると：
$-4cx = 4a^2 - 4a\sqrt{(x+c)^2 + y^2} + 4cx$
$a\sqrt{(x+c)^2 + y^2} = a^2 + cx$
両辺を2乗：
$a^2\{(x+c)^2 + y^2\} = a^4 + 2a^2 cx + c^2 x^2$
$a^2 x^2 + 2a^2 cx + a^2 c^2 + a^2 y^2 = a^4 + 2a^2 cx + c^2 x^2$
$(a^2 - c^2)x^2 + a^2 y^2 = a^2(a^2 - c^2)$
ここで $b^2 = a^2 - c^2$（$a > c > 0$ なので $b > 0$）とおくと：
$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$$
✕ 誤：$2a$ は距離の和だから正ならよい
○ 正：三角不等式より $\mathrm{PF} + \mathrm{PF'} > \mathrm{FF'} = 2c$ が必要なので $2a > 2c$、すなわち $a > c$ が必須。等号 $a = c$ だと軌跡は線分 $\mathrm{F'F}$ に退化してしまいます。
$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \quad (a > b > 0)$$
ここで最も重要なのは $a, b, c$ の関係式 $a^2 = b^2 + c^2$ です。
楕円の短軸の端点 $(0, b)$ から2つの焦点 $(\pm c, 0)$ までの距離はそれぞれ $\sqrt{c^2 + b^2}$ です。定義より距離の和は $2a$ なので、対称性から各距離は $a$。
すなわち $\sqrt{c^2 + b^2} = a$、つまり $a^2 = b^2 + c^2$ です。
これは直角三角形の斜辺 $a$、他の2辺 $b, c$ の関係そのものです。楕円の基本量は直角三角形で結ばれています。
$\dfrac{x^2}{b^2} + \dfrac{y^2}{a^2} = 1$（$a > b > 0$）と書くと、焦点は $(0, \pm c)$ で $y$ 軸上に並びます。
大事なのは分母の大きい方の軸に焦点があるということです。
✕ 誤：$\dfrac{x^2}{4} + \dfrac{y^2}{9} = 1$ で、$x$ の分母が先に来ているから $a = 2$
○ 正：$a$ は常に大きい方です。$9 > 4$ なので $a^2 = 9$、$a = 3$。焦点は $y$ 軸上で $(0, \pm\sqrt{5})$。
「$a$ は $x$ の分母」ではなく「$a$ は大きい方の分母の平方根」と覚えましょう。
楕円 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ 上の点は、角度パラメータ $\theta$ を用いて
$$x = a\cos\theta, \quad y = b\sin\theta \quad (0 \le \theta < 2\pi)$$
と表せます。$\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$ から楕円の方程式が確認できます。
✕ 誤：$\theta$ は点 $(a\cos\theta, b\sin\theta)$ の偏角（原点から見た角度）と同じ
○ 正：$\theta$ は離心角と呼ばれるパラメータで、偏角 $\alpha = \arctan\!\left(\dfrac{b\sin\theta}{a\cos\theta}\right)$ とは一般に異なります。$a \neq b$ のとき $\theta \neq \alpha$ であることに注意してください。
円 $X^2 + Y^2 = a^2$ の各点の $Y$ 座標を $\dfrac{b}{a}$ 倍すると楕円 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ になります。これは $y$ 方向の拡大縮小（アフィン変換の一種）です。
楕円の面積が $\pi ab$（円の面積 $\pi a^2$ を $\dfrac{b}{a}$ 倍したもの）になるのも、このアフィン変換で説明できます。
楕円の各部分の名称と性質を整理しましょう。
楕円 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$（$a > b > 0$）について：
・中心：原点 $\mathrm{O}(0, 0)$
・頂点：$(\pm a, 0)$ と $(0, \pm b)$ の4点
・長軸：$(\text{-}a, 0)$ から $(a, 0)$ まで、長さ $2a$
・短軸：$(0, \text{-}b)$ から $(0, b)$ まで、長さ $2b$
・焦点：$(\pm c, 0)$、ただし $c = \sqrt{a^2 - b^2}$
・半通径：$\dfrac{b^2}{a}$（焦点を通り長軸に垂直な弦の半分）
楕円の方程式が与えられたら、まず $a$ と $b$ を読み取り、$c = \sqrt{a^2 - b^2}$ で焦点の位置を計算します。具体的に見てみましょう。
$\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{16} = 1$ のとき、$a^2 = 25$、$b^2 = 16$ なので $c^2 = 25 - 16 = 9$ より $c = 3$。焦点は $(\pm 3, 0)$ です。
楕円 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ 上の点 $\mathrm{P}(x_0, y_0)$ から2つの焦点までの距離は：
$$\mathrm{PF} = a - ex_0, \quad \mathrm{PF'} = a + ex_0$$
ここで $e = \dfrac{c}{a}$ は離心率です。確かに $\mathrm{PF} + \mathrm{PF'} = 2a$ となります。
$\mathrm{PF}^2 = (x_0 - c)^2 + y_0^2 = x_0^2 - 2cx_0 + c^2 + y_0^2$
楕円上の点なので $y_0^2 = b^2\!\left(1 - \dfrac{x_0^2}{a^2}\right) = b^2 - \dfrac{b^2}{a^2}x_0^2$
$\mathrm{PF}^2 = x_0^2 - 2cx_0 + c^2 + b^2 - \dfrac{b^2}{a^2}x_0^2$
$= \left(1 - \dfrac{b^2}{a^2}\right)x_0^2 - 2cx_0 + (c^2 + b^2)$
$= \dfrac{c^2}{a^2}x_0^2 - 2cx_0 + a^2 = \left(\dfrac{c}{a}x_0 - a\right)^2 = (ex_0 - a)^2$
$-a \le x_0 \le a$ かつ $0 < e < 1$ より $|ex_0| < a$ なので $\mathrm{PF} = a - ex_0$。
同様に $\mathrm{PF'} = a + ex_0$。
ケプラーの第1法則は「惑星の軌道は太陽を1つの焦点とする楕円である」と述べています。地球の軌道の離心率は約 $0.017$ でほぼ円ですが、水星は $e \approx 0.206$ とかなり「つぶれた」楕円です。
ニュートンが万有引力の法則からケプラーの法則を数学的に導いたことは、物理学の歴史における最大の成果の1つです。
楕円がどれだけ「つぶれているか」（円からどれだけ外れているか）を数値化したのが離心率です。
$$e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{a^2 - b^2}}{a}$$
離心率 $e$ は2次曲線の「焦点からの距離」と「準線からの距離」の比として定義されます。
$e < 1$：楕円、$e = 1$：放物線、$e > 1$：双曲線。
楕円にも準線が存在し、それは $x = \pm\dfrac{a}{e} = \pm\dfrac{a^2}{c}$ で与えられます。放物線で学んだ「焦点と準線から等距離」は、離心率 $e = 1$ の特殊な場合だったのです。
楕円 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ にも準線が存在します。焦点 $(c, 0)$ に対応する準線は $x = \dfrac{a^2}{c} = \dfrac{a}{e}$ です。
楕円上の任意の点 $\mathrm{P}$ について：
$$\frac{\mathrm{PF}}{\text{$\mathrm{P}$ から準線 $x = \frac{a}{e}$ までの距離}} = e$$
放物線（$e = 1$）では「$= 1$」だったこの比が、楕円では「$< 1$」になるわけです。
✕ 誤：離心率 $e$ が大きいほど楕円は丸い
○ 正：逆です。$e$ が $0$ に近いほど円に近く（丸い）、$e$ が $1$ に近いほど細長くなります。「eccentricity（エキセントリック）」は「中心からのずれ」の意味です。
楕円・放物線・双曲線はすべて「焦点 $\mathrm{F}$ と準線 $\ell$ からの距離の比が $e$」という条件で統一的に表されます。極座標を使うと、焦点を原点として
$$r = \frac{l}{1 - e\cos\theta}$$
と1つの式で書けます（$l$ は半通径）。この統一的な表現は天体力学の基礎となっています。
放物線と同じ「半分ずつの置き換え」が楕円でも成り立ちます。
楕円 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ 上の点 $(x_1, y_1)$ における接線：
$$\frac{x_1 x}{a^2} + \frac{y_1 y}{b^2} = 1$$
$\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ の両辺を $x$ で微分：
$$\frac{2x}{a^2} + \frac{2y}{b^2} \cdot \frac{dy}{dx} = 0 \quad \Rightarrow \quad \frac{dy}{dx} = -\frac{b^2 x}{a^2 y}$$
点 $(x_1, y_1)$ における接線：
$$y - y_1 = -\frac{b^2 x_1}{a^2 y_1}(x - x_1)$$
$a^2 y_1$ を両辺にかけて整理し、$\dfrac{x_1^2}{a^2} + \dfrac{y_1^2}{b^2} = 1$ を用いると：
$$\frac{x_1 x}{a^2} + \frac{y_1 y}{b^2} = 1$$
楕円の外部の点 $(x_0, y_0)$ から接線を引く場合は、接点を $(x_1, y_1)$ として接線の方程式が $(x_0, y_0)$ を通る条件と、$(x_1, y_1)$ が楕円上にある条件の連立方程式を解きます。
✕ 誤：点 $(3, 2)$ から楕円 $\dfrac{x^2}{4} + \dfrac{y^2}{1} = 1$ への接線を $\dfrac{3x}{4} + 2y = 1$ と書く
○ 正：接線の公式は接点の座標を使います。$(3, 2)$ は楕円上にないので、この公式は直接使えません。接点 $(x_1, y_1)$ を未知数として求める必要があります。
$$S = \pi ab$$
この公式は、楕円が半径 $a$ の円を $y$ 方向に $\dfrac{b}{a}$ 倍したものだと考えると自然に理解できます。面積は $y$ 方向の倍率をそのままかければよいので、$\pi a^2 \times \dfrac{b}{a} = \pi ab$ です。
楕円の多くの性質は「円を一方向に拡大・縮小したもの」と理解すると見通しがよくなります。面積 $\pi ab$、媒介変数表示 $(a\cos\theta, b\sin\theta)$、接線の公式 ── すべて円の対応する結果を「$a$ と $b$ に分けた」形になっています。
楕円には「一方の焦点から出た光（音）は、楕円面で反射してもう一方の焦点に集まる」という性質があります。これはアメリカ合衆国議事堂の旧議場（ナショナル・スタチュアリー・ホール）で知られる「ささやきの回廊」の原理です。
放物線は「軸に平行な光を焦点に集める」のに対し、楕円は「焦点間で光を往復させる」のです。
Q1. 楕円 $\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{9} = 1$ の焦点の座標を求めよ。
Q2. 楕円 $\dfrac{x^2}{4} + \dfrac{y^2}{9} = 1$ の長軸はどちらの軸上にあるか。また長軸の長さは。
Q3. 楕円 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ の離心率 $e$ を $a, b$ で表せ。
Q4. 楕円 $\dfrac{x^2}{9} + \dfrac{y^2}{4} = 1$ 上の点 $(3\cos\theta, 2\sin\theta)$ で $\theta = \dfrac{\pi}{3}$ のときの座標を求めよ。
Q5. 楕円 $\dfrac{x^2}{16} + \dfrac{y^2}{9} = 1$ の面積を求めよ。
2つの焦点が $(\pm 3, 0)$ で、長軸の長さが $10$ の楕円の方程式を求めよ。
$c = 3$、$2a = 10$ より $a = 5$。
$b^2 = a^2 - c^2 = 25 - 9 = 16$。
$$\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$$
楕円 $\dfrac{x^2}{9} + \dfrac{y^2}{4} = 1$ 上の点 $(x_1, y_1)$（$x_1 > 0, y_1 > 0$）における接線が点 $(3, 0)$ を通るとき、$x_1, y_1$ を求めよ。
接線：$\dfrac{x_1 x}{9} + \dfrac{y_1 y}{4} = 1$ に $(3, 0)$ を代入：
$\dfrac{3x_1}{9} = 1$ より $x_1 = 3$。
楕円上の点なので $\dfrac{9}{9} + \dfrac{y_1^2}{4} = 1$ より $y_1^2 = 0$。
$y_1 = 0$ となり $y_1 > 0$ に矛盾。つまり $(3, 0)$ は楕円上の頂点であり、そこでの接線は $x = 3$（垂直な直線）です。
実は接線の公式で $x_1 = 3, y_1 = 0$ を代入すると $\dfrac{3x}{9} = 1$ すなわち $x = 3$ で正しい結果が得られます。
「$y_1 > 0$」の条件のもとでは通過する接線は存在しません。条件を $y_1 \ge 0$ に緩めると $(3, 0)$ が解です。問題の条件設定を正しく読み取ることが重要です。
楕円 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$（$a > b > 0$）の焦点 $\mathrm{F}(c, 0)$ を通る弦 $\mathrm{AB}$ について、$\dfrac{1}{\mathrm{AF}} + \dfrac{1}{\mathrm{BF}}$ の値を $a, b$ で表せ。
$\mathrm{A}(x_1, y_1)$、$\mathrm{B}(x_2, y_2)$ とすると、焦点距離の公式より
$\mathrm{AF} = a - ex_1$、$\mathrm{BF} = a - ex_2$
$$\frac{1}{\mathrm{AF}} + \frac{1}{\mathrm{BF}} = \frac{(a - ex_2) + (a - ex_1)}{(a-ex_1)(a-ex_2)} = \frac{2a - e(x_1+x_2)}{a^2 - ae(x_1+x_2) + e^2 x_1 x_2}$$
通径（$x_1 = x_2 = c$ の場合）で確認すると、$\mathrm{AF} = \mathrm{BF} = a - ec = a - \dfrac{c^2}{a} = \dfrac{b^2}{a}$ なので
$$\frac{1}{\mathrm{AF}} + \frac{1}{\mathrm{BF}} = \frac{2a}{b^2}$$
一般の焦点弦についてもこの値 $\dfrac{2a}{b^2}$ で一定であることが知られています。
楕円 $\dfrac{x^2}{9} + \dfrac{y^2}{4} = 1$ 上の点 $\mathrm{P}$ と定点 $\mathrm{A}(1, 0)$ について、線分 $\mathrm{PA}$ の長さの最大値と最小値を求めよ。
$\mathrm{P}(3\cos\theta, 2\sin\theta)$ とおく。
$\mathrm{PA}^2 = (3\cos\theta - 1)^2 + 4\sin^2\theta$
$= 9\cos^2\theta - 6\cos\theta + 1 + 4(1 - \cos^2\theta)$
$= 5\cos^2\theta - 6\cos\theta + 5$
$t = \cos\theta$（$-1 \le t \le 1$）とおくと $f(t) = 5t^2 - 6t + 5$。
$f'(t) = 10t - 6 = 0$ より $t = \dfrac{3}{5}$。
$f\!\left(\dfrac{3}{5}\right) = 5 \cdot \dfrac{9}{25} - 6 \cdot \dfrac{3}{5} + 5 = \dfrac{9}{5} - \dfrac{18}{5} + 5 = \dfrac{16}{5}$
$f(-1) = 5 + 6 + 5 = 16$、$f(1) = 5 - 6 + 5 = 4$
最小値：$\mathrm{PA} = \sqrt{\dfrac{16}{5}} = \dfrac{4}{\sqrt{5}} = \dfrac{4\sqrt{5}}{5}$（$\cos\theta = \dfrac{3}{5}$ のとき）
最大値：$\mathrm{PA} = \sqrt{16} = 4$（$\cos\theta = -1$、すなわち $\mathrm{P}(-3, 0)$ のとき）
媒介変数 $\theta$ を用いて $\mathrm{PA}^2$ を $\cos\theta$ の2次関数に帰着させました。$\mathrm{A}(1, 0)$ は焦点 $(\sqrt{5}, 0)$ とは異なる点ですが、楕円上の点との最大・最小距離は媒介変数を使うのが定石です。