三角形には重心・内心・外心・垂心・傍心という「五心」があり、またメネラウスの定理やチェバの定理といった古典的な定理が存在します。これらをベクトルの言葉で表現すると、統一的かつ見通しのよい理解が得られます。ベクトルが「図形の万能言語」であることを実感しましょう。
三角形 $\text{ABC}$ の重心 $\text{G}$ は、3本の中線の交点です。前回学んだ分点公式を用いれば、重心の位置ベクトルは即座に求まります。
$$\vec{g} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3}$$
※ 重心は各頂点の位置ベクトルの算術平均です。各中線を頂点側から $2 : 1$ に内分します。
重心の公式はすでに導出済みですが、重要な性質として次のことを確認しておきましょう。重心 $\text{G}$ について $\overrightarrow{\text{GA}} + \overrightarrow{\text{GB}} + \overrightarrow{\text{GC}} = \vec{0}$ が成り立ちます。
$\overrightarrow{\text{GA}} + \overrightarrow{\text{GB}} + \overrightarrow{\text{GC}} = (\vec{a} - \vec{g}) + (\vec{b} - \vec{g}) + (\vec{c} - \vec{g})$
$= (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) - 3\vec{g} = (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) - 3 \cdot \dfrac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3} = \vec{0}$
$\overrightarrow{\text{GA}} + \overrightarrow{\text{GB}} + \overrightarrow{\text{GC}} = \vec{0}$ は、3頂点が重心を「均等に引っ張りあってつりあっている」ことを意味します。この性質は重心の定義そのものと言ってもよく、逆にこの等式を満たす点 $\text{G}$ として重心を定義することもできます。
✗ 誤：$\text{A}$ を始点にとると $\overrightarrow{\text{AG}} = \dfrac{\overrightarrow{\text{AA}} + \overrightarrow{\text{AB}} + \overrightarrow{\text{AC}}}{3} = \dfrac{\overrightarrow{\text{AB}} + \overrightarrow{\text{AC}}}{3}$
○ 正：$\overrightarrow{\text{AG}} = \dfrac{\overrightarrow{\text{AB}} + \overrightarrow{\text{AC}}}{3}$ は正しい。ただし位置ベクトルの公式 $\vec{g} = \frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{3}$ とは意味が異なる
始点を $\text{A}$ にとる場合と原点 $\text{O}$ から見る場合を混同しないようにしましょう。
三角形 $\text{ABC}$ の内心 $\text{I}$ は、3つの内角の二等分線の交点であり、内接円の中心です。内心の位置ベクトルには辺の長さが登場します。
$\text{BC} = a$, $\text{CA} = b$, $\text{AB} = c$ とするとき：
$$\vec{i} = \frac{a\vec{a} + b\vec{b} + c\vec{c}}{a + b + c}$$
※ 各頂点に「対辺の長さ」を重みとしてかけた加重平均です。重心が「等しい重み」の平均なら、内心は「辺の長さによる重み」の平均です。
角 $\text{A}$ の二等分線は辺 $\text{BC}$ を $\text{AB} : \text{AC} = c : b$ に内分する点 $\text{D}$ を通ります（角の二等分線の性質）。
$$\vec{d} = \frac{b\vec{b} + c\vec{c}}{b + c}$$
内心 $\text{I}$ は線分 $\text{AD}$ 上にあります。$\text{I}$ は線分 $\text{AD}$ を $\text{BD} + \text{DC} : $ 何かの比に内分する…と直接求めるのは複雑なので、対称性を使います。
角 $\text{B}$ の二等分線は辺 $\text{CA}$ を $a : c$ に内分する点 $\text{E}$ を通ります。2直線 $\text{AD}$ と $\text{BE}$ の交点として $\text{I}$ を求め、$\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ の係数を整理すると：
$$\vec{i} = \frac{a\vec{a} + b\vec{b} + c\vec{c}}{a + b + c}$$
が得られます。係数の和は $\dfrac{a + b + c}{a + b + c} = 1$ であり、確かに三角形の内部の点です。
三角形の特別な点は、すべて $\vec{p} = \dfrac{\alpha\vec{a} + \beta\vec{b} + \gamma\vec{c}}{\alpha + \beta + \gamma}$ の形で書けます。重みの付け方が異なるだけです：
重心：$\alpha = \beta = \gamma = 1$（等しい重み）
内心：$\alpha = a, \beta = b, \gamma = c$（対辺の長さが重み）
この視点は重心座標の本質であり、三角形の図形問題を統一的に扱う鍵となります。
✗ 誤：$\vec{a}$ に辺 $\text{AB} = c$ をかける（$\text{A}$ に近い辺をかけてしまう）
○ 正：$\vec{a}$ にかかるのは $\text{A}$ の対辺 $\text{BC} = a$ である
内心の公式は「頂点 $\text{A}$ の位置ベクトルに対辺 $a$ をかける」構造です。「頂点の名前と対辺の名前が一致する」ため迷いにくいはずです。
外心 $\text{O}'$ は三角形の外接円の中心であり、3辺の垂直二等分線の交点です。外心は各頂点から等距離にあるため、次の条件を満たします：
$$|\overrightarrow{\text{O}'\text{A}}| = |\overrightarrow{\text{O}'\text{B}}| = |\overrightarrow{\text{O}'\text{C}}|$$
これを内積の条件に書き換えましょう。$|\overrightarrow{\text{O}'\text{A}}|^2 = |\overrightarrow{\text{O}'\text{B}}|^2$ より：
$$\overrightarrow{\text{O}'\text{A}} \cdot \overrightarrow{\text{O}'\text{A}} = \overrightarrow{\text{O}'\text{B}} \cdot \overrightarrow{\text{O}'\text{B}}$$
$\overrightarrow{\text{O}'\text{A}} - \overrightarrow{\text{O}'\text{B}} = \overrightarrow{\text{BA}}$ を用いて整理すると：
$$\overrightarrow{\text{BA}} \cdot (\overrightarrow{\text{O}'\text{A}} + \overrightarrow{\text{O}'\text{B}}) = 0$$
この式は「$\text{AB}$ の中点 $\text{M}$ と $\text{O}'$ を結ぶベクトルが $\overrightarrow{\text{AB}}$ に垂直」、つまり $\text{O}'$ が $\text{AB}$ の垂直二等分線上にあることを示しています。
✗ 誤：外心は常に三角形の内部にある
○ 正：鋭角三角形では内部、直角三角形では斜辺の中点、鈍角三角形では外部にある
重心や内心は必ず三角形の内部にありますが、外心は三角形の形によって位置が変わります。重心座標で表すと外心の係数は負になり得ます。
垂心 $\text{H}$ は3頂点から対辺に下ろした垂線の交点です。垂心の条件は次の垂直条件で表されます：
$$\overrightarrow{\text{AH}} \cdot \overrightarrow{\text{BC}} = 0, \quad \overrightarrow{\text{BH}} \cdot \overrightarrow{\text{CA}} = 0, \quad \overrightarrow{\text{CH}} \cdot \overrightarrow{\text{AB}} = 0$$
外心：3辺の垂直二等分線は1点で交わる（外心の存在）
垂心：3頂点から対辺への垂線は1点で交わる（垂心の存在）
※ いずれも「2本の交点が3本目も通ること」をベクトルの内積で示すことができます。
三角形の重心 $\text{G}$、外心 $\text{O}'$、垂心 $\text{H}$ はこの順に一直線上に並び、$\text{O}'\text{G} : \text{G}\text{H} = 1 : 2$ が成り立ちます。この直線はオイラー線と呼ばれ、18世紀にオイラーが発見しました。ベクトルで表すと $\vec{h} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$（外接円の中心を原点にとった場合）という美しい関係式が成り立ちます。
メネラウスの定理は、三角形の辺（またはその延長）上の3点が一直線上にある条件を比で表したものです。
$\triangle\text{ABC}$ の辺 $\text{BC}$, $\text{CA}$, $\text{AB}$（またはその延長）上にそれぞれ点 $\text{D}$, $\text{E}$, $\text{F}$ があるとき、
$\text{D}$, $\text{E}$, $\text{F}$ が一直線上にある $\Leftrightarrow$ $\dfrac{\text{BD}}{\text{DC}} \cdot \dfrac{\text{CE}}{\text{EA}} \cdot \dfrac{\text{AF}}{\text{FB}} = 1$
※ 比は符号付き（外分のとき負）です。右辺は $-1$ とする流儀もあります（符号付き比の場合）。ここでは絶対値を使い、外分の場合は3つの比の積の絶対値が $1$ と理解してください。
$\text{D}$ が $\text{BC}$ を $\text{BD} : \text{DC} = p : 1$ に分けるとします。$\text{E}$ が $\text{CA}$ を $\text{CE} : \text{EA} = q : 1$ に、$\text{F}$ が $\text{AB}$ を $\text{AF} : \text{FB} = r : 1$ に分けるとします。
$$\vec{d} = \frac{1 \cdot \vec{b} + p\vec{c}}{p + 1}, \quad \vec{e} = \frac{1 \cdot \vec{c} + q\vec{a}}{q + 1}, \quad \vec{f} = \frac{1 \cdot \vec{a} + r\vec{b}}{r + 1}$$
$\text{D}$, $\text{E}$, $\text{F}$ が一直線上にある条件は、$\overrightarrow{\text{DE}}$ と $\overrightarrow{\text{DF}}$ が平行、すなわち $\overrightarrow{\text{DE}} = k\overrightarrow{\text{DF}}$ となる実数 $k$ が存在することです。
$\overrightarrow{\text{DE}} = \vec{e} - \vec{d}$, $\overrightarrow{\text{DF}} = \vec{f} - \vec{d}$ を $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ で表し、$\vec{a}$, $\vec{b}$ の係数を比較すると（$\vec{c}$ の係数は $\vec{a}$, $\vec{b}$ から従属）：
$pqr = 1$ が得られ、$\dfrac{\text{BD}}{\text{DC}} \cdot \dfrac{\text{CE}}{\text{EA}} \cdot \dfrac{\text{AF}}{\text{FB}} = p \cdot q \cdot r = 1$ が示されます。
$\triangle\text{ABC}$ の辺 $\text{BC}$, $\text{CA}$, $\text{AB}$ 上にそれぞれ点 $\text{D}$, $\text{E}$, $\text{F}$ があるとき、
$\text{AD}$, $\text{BE}$, $\text{CF}$ が1点で交わる $\Leftrightarrow$ $\dfrac{\text{BD}}{\text{DC}} \cdot \dfrac{\text{CE}}{\text{EA}} \cdot \dfrac{\text{AF}}{\text{FB}} = 1$
※ メネラウスと同じ形の等式ですが、条件が「一直線」ではなく「一点で交わる」に変わります。
メネラウスの定理は「3点が一直線上にある（共線条件）」、チェバの定理は「3直線が一点で交わる（共点条件）」を述べています。等式の形は同じ $pqr = 1$ ですが、幾何学的な意味は正反対です。この双対性は射影幾何学の深い構造を反映しています。
✗ 誤：$\dfrac{\text{BD}}{\text{DC}} \cdot \dfrac{\text{EA}}{\text{CE}} \cdot \dfrac{\text{AF}}{\text{FB}} = 1$（比の分子・分母が不統一）
○ 正：$\dfrac{\text{BD}}{\text{DC}} \cdot \dfrac{\text{CE}}{\text{EA}} \cdot \dfrac{\text{AF}}{\text{FB}} = 1$（B→D→C→E→A→F→B と巡回）
比は辺上を「B→C→A→B」と巡回する順番で書きます。分子は「前の頂点から分点まで」、分母は「分点から次の頂点まで」です。
三角形の面積をベクトルの成分や内積で表すことができます。これは座標を使った面積計算の強力なツールです。
$\overrightarrow{\text{AB}} = (p_1, p_2)$, $\overrightarrow{\text{AC}} = (q_1, q_2)$ のとき：
$$S = \frac{1}{2}|p_1 q_2 - p_2 q_1|$$
※ $p_1 q_2 - p_2 q_1$ は2つのベクトルの成分で作る「たすき掛け」です。この値は符号を持ち、符号は点の回り方（時計回り・反時計回り）に対応します。
$\triangle\text{ABC}$ の面積は $S = \dfrac{1}{2}|\overrightarrow{\text{AB}}||\overrightarrow{\text{AC}}|\sin\angle\text{A}$ です。
$\cos\angle\text{A} = \dfrac{\overrightarrow{\text{AB}} \cdot \overrightarrow{\text{AC}}}{|\overrightarrow{\text{AB}}||\overrightarrow{\text{AC}}|}$ なので、$\sin^2\angle\text{A} = 1 - \cos^2\angle\text{A}$ より：
$$S^2 = \frac{1}{4}|\overrightarrow{\text{AB}}|^2|\overrightarrow{\text{AC}}|^2\sin^2\angle\text{A} = \frac{1}{4}\left(|\overrightarrow{\text{AB}}|^2|\overrightarrow{\text{AC}}|^2 - (\overrightarrow{\text{AB}} \cdot \overrightarrow{\text{AC}})^2\right)$$
成分で計算すると：
$|\overrightarrow{\text{AB}}|^2|\overrightarrow{\text{AC}}|^2 = (p_1^2 + p_2^2)(q_1^2 + q_2^2)$
$(\overrightarrow{\text{AB}} \cdot \overrightarrow{\text{AC}})^2 = (p_1 q_1 + p_2 q_2)^2$
差を展開すると $(p_1 q_2 - p_2 q_1)^2$ となるので、$S = \dfrac{1}{2}|p_1 q_2 - p_2 q_1|$
面積を内積だけで表す公式も有用です：
$$S = \frac{1}{2}\sqrt{|\overrightarrow{\text{AB}}|^2 |\overrightarrow{\text{AC}}|^2 - (\overrightarrow{\text{AB}} \cdot \overrightarrow{\text{AC}})^2}$$
これは成分を使わずにベクトルの大きさと内積だけで面積を表せるため、位置ベクトルで議論する場面で活躍します。
$p_1 q_2 - p_2 q_1$ は、大学数学で学ぶ外積（ベクトル積）の $z$ 成分に相当します。3次元空間では $\vec{a} \times \vec{b}$ というベクトルが定義され、その大きさ $|\vec{a} \times \vec{b}|$ が平行四辺形の面積を与えます。2次元の面積公式はこの3次元の理論の特殊ケースです。
✗ 誤：$S = \dfrac{1}{2}(p_1 q_2 - p_2 q_1)$（絶対値を付けない）
○ 正：$S = \dfrac{1}{2}|p_1 q_2 - p_2 q_1|$（面積は非負なので絶対値が必要）
$p_1 q_2 - p_2 q_1$ 自体は符号付きの量（符号付き面積）です。面積として使うには必ず絶対値を取りましょう。
Q1. 三角形の重心で成り立つベクトルの等式 $\overrightarrow{\text{GA}} + \overrightarrow{\text{GB}} + \overrightarrow{\text{GC}} = ?$
Q2. 内心の位置ベクトルで、$\vec{a}$ にかかる重みは何か？
Q3. 外心の特徴を一言で述べよ。また鈍角三角形で外心はどこにあるか？
Q4. メネラウスの定理で、比の積が等しくなる値は？
Q5. $\overrightarrow{\text{AB}} = (3, 1)$, $\overrightarrow{\text{AC}} = (1, 4)$ のとき $\triangle\text{ABC}$ の面積は？
$\triangle\text{ABC}$ の重心を $\text{G}$ とする。辺 $\text{BC}$ 上の点 $\text{D}$ が $\text{BD} : \text{DC} = 2 : 1$ を満たすとき、$\overrightarrow{\text{AG}}$ と $\overrightarrow{\text{AD}}$ の関係を求めよ。
$\overrightarrow{\text{AD}} = \overrightarrow{\text{AB}} + \overrightarrow{\text{BD}} = \overrightarrow{\text{AB}} + \dfrac{2}{3}\overrightarrow{\text{BC}} = \overrightarrow{\text{AB}} + \dfrac{2}{3}(\overrightarrow{\text{AC}} - \overrightarrow{\text{AB}}) = \dfrac{1}{3}\overrightarrow{\text{AB}} + \dfrac{2}{3}\overrightarrow{\text{AC}}$
$\overrightarrow{\text{AG}} = \dfrac{\overrightarrow{\text{AB}} + \overrightarrow{\text{AC}}}{3}$（$\text{A}$ を始点とした重心の公式）
$\overrightarrow{\text{AD}} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow{\text{AB}} + \dfrac{2}{3}\overrightarrow{\text{AC}}$ なので、$\overrightarrow{\text{AG}} = \dfrac{1}{3}(\overrightarrow{\text{AB}} + \overrightarrow{\text{AC}})$ と比較すると：
$\overrightarrow{\text{AG}}$ と $\overrightarrow{\text{AD}}$ は一般に平行ではありません。$\text{G}$ は中線 $\text{AM}$（$\text{M}$ は $\text{BC}$ の中点）上にあり、$\text{D}$ は $\text{BC}$ の中点とは異なります。
直線 $\text{AD}$ 上に $\text{G}$ がある条件を調べると、$\overrightarrow{\text{AG}} = k\overrightarrow{\text{AD}}$ とおいて $\dfrac{1}{3} = \dfrac{k}{3}$ かつ $\dfrac{1}{3} = \dfrac{2k}{3}$ より $k = 1$ かつ $k = \dfrac{1}{2}$ で矛盾。
よって $\text{G}$ は直線 $\text{AD}$ 上にはなく、$\overrightarrow{\text{AG}}$ と $\overrightarrow{\text{AD}}$ は1次独立です。
$\triangle\text{ABC}$ の辺 $\text{BC}$, $\text{CA}$, $\text{AB}$ 上にそれぞれ点 $\text{D}$, $\text{E}$, $\text{F}$ があり、$\text{BD} : \text{DC} = 1 : 2$, $\text{CE} : \text{EA} = 1 : 3$, $\text{AF} : \text{FB} = 3 : 2$ とする。
(1) チェバの定理を用いて、$\text{AD}$, $\text{BE}$, $\text{CF}$ が1点で交わるか確認せよ。
(2) (1) が成り立つ場合、その交点 $\text{P}$ の位置ベクトルを $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ で表せ。
(1) $\dfrac{\text{BD}}{\text{DC}} \cdot \dfrac{\text{CE}}{\text{EA}} \cdot \dfrac{\text{AF}}{\text{FB}} = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{3}{2} = \dfrac{3}{12} = \dfrac{1}{4} \neq 1$
チェバの定理の条件を満たさないので、$\text{AD}$, $\text{BE}$, $\text{CF}$ は1点では交わりません。
(2) 1点で交わらないため、1つの交点 $\text{P}$ は存在しません。
代わりに、$\text{AD}$ と $\text{BE}$ の交点を求めます。
$\vec{d} = \dfrac{2\vec{b} + 1 \cdot \vec{c}}{3} = \dfrac{2\vec{b} + \vec{c}}{3}$、$\vec{e} = \dfrac{3\vec{c} + 1 \cdot \vec{a}}{4} = \dfrac{\vec{a} + 3\vec{c}}{4}$
直線 $\text{AD}$：$\vec{p} = (1-s)\vec{a} + s\vec{d} = (1-s)\vec{a} + \dfrac{2s}{3}\vec{b} + \dfrac{s}{3}\vec{c}$
直線 $\text{BE}$：$\vec{p} = (1-t)\vec{b} + t\vec{e} = \dfrac{t}{4}\vec{a} + (1-t)\vec{b} + \dfrac{3t}{4}\vec{c}$
係数比較：$\vec{a}$: $1-s = \dfrac{t}{4}$, $\vec{b}$: $\dfrac{2s}{3} = 1-t$, $\vec{c}$: $\dfrac{s}{3} = \dfrac{3t}{4}$
(iii) より $s = \dfrac{9t}{4}$。(ii) に代入：$\dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{9t}{4} = 1-t$ より $\dfrac{3t}{2} = 1-t$ より $t = \dfrac{2}{5}$、$s = \dfrac{9}{10}$
$$\vec{p} = \frac{1}{10}\vec{a} + \frac{3}{5}\vec{b} + \frac{3}{10}\vec{c} = \frac{\vec{a} + 6\vec{b} + 3\vec{c}}{10}$$
$\triangle\text{ABC}$ において $|\overrightarrow{\text{AB}}| = 5$, $|\overrightarrow{\text{AC}}| = 4$, $\overrightarrow{\text{AB}} \cdot \overrightarrow{\text{AC}} = 12$ のとき、$\triangle\text{ABC}$ の面積を求めよ。
$$S = \frac{1}{2}\sqrt{|\overrightarrow{\text{AB}}|^2 |\overrightarrow{\text{AC}}|^2 - (\overrightarrow{\text{AB}} \cdot \overrightarrow{\text{AC}})^2}$$
$$= \frac{1}{2}\sqrt{25 \cdot 16 - 144} = \frac{1}{2}\sqrt{400 - 144} = \frac{1}{2}\sqrt{256} = \frac{1}{2} \cdot 16 = 8$$
$\triangle\text{ABC}$ において、$\overrightarrow{\text{AB}} = \vec{b}$, $\overrightarrow{\text{AC}} = \vec{c}$ とおく。垂心 $\text{H}$ について $\overrightarrow{\text{AH}} = s\vec{b} + t\vec{c}$ と表すとき、
(1) $\overrightarrow{\text{AH}} \cdot \overrightarrow{\text{BC}} = 0$ と $\overrightarrow{\text{BH}} \cdot \overrightarrow{\text{AC}} = 0$ から $s, t$ の連立方程式を立てよ。
(2) $|\vec{b}| = 3$, $|\vec{c}| = 4$, $\vec{b} \cdot \vec{c} = 6$ のとき、$s, t$ を求め $\overrightarrow{\text{AH}}$ を $\vec{b}$, $\vec{c}$ で表せ。
(1) $\overrightarrow{\text{BC}} = \vec{c} - \vec{b}$, $\overrightarrow{\text{BH}} = \overrightarrow{\text{AH}} - \overrightarrow{\text{AB}} = (s-1)\vec{b} + t\vec{c}$
条件 $\overrightarrow{\text{AH}} \cdot \overrightarrow{\text{BC}} = 0$：
$(s\vec{b} + t\vec{c}) \cdot (\vec{c} - \vec{b}) = -s|\vec{b}|^2 + (s - t)(\vec{b} \cdot \vec{c}) + t|\vec{c}|^2 = 0$ … (i)
条件 $\overrightarrow{\text{BH}} \cdot \overrightarrow{\text{AC}} = 0$：
$((s-1)\vec{b} + t\vec{c}) \cdot \vec{c} = (s-1)(\vec{b} \cdot \vec{c}) + t|\vec{c}|^2 = 0$ … (ii)
(2) $|\vec{b}|^2 = 9$, $|\vec{c}|^2 = 16$, $\vec{b} \cdot \vec{c} = 6$ を代入：
(i)：$-9s + 6(s-t) + 16t = 0$ → $-3s + 10t = 0$ … (i)'
(ii)：$6(s-1) + 16t = 0$ → $6s + 16t = 6$ … (ii)'
(i)' より $s = \dfrac{10t}{3}$。(ii)' に代入：$6 \cdot \dfrac{10t}{3} + 16t = 6$ → $20t + 16t = 6$ → $t = \dfrac{1}{6}$
$s = \dfrac{10}{18} = \dfrac{5}{9}$
$$\overrightarrow{\text{AH}} = \frac{5}{9}\vec{b} + \frac{1}{6}\vec{c}$$
垂心を求める問題は「2つの垂直条件を内積で立式→連立方程式を解く」という定型パターンです。3つ目の垂直条件 $\overrightarrow{\text{CH}} \cdot \overrightarrow{\text{AB}} = 0$ は自動的に満たされ、これが「3本の垂線が1点で交わること」の保証になります。