独立な確率変数の和
─ 期待値と分散の加法性

1確率変数の和の期待値

2つの確率変数 $X, Y$ に対して、和 $X + Y$ の期待値について次の公式が成り立ちます。

一般に、定数 $a, b, c$ に対しても次が成り立ちます。

$$E(aX + bY + c) = aE(X) + bE(Y) + c$$

具体例：サイコロ2個の合計

サイコロを2回振り、1回目の出た目を $X$、2回目の出た目を $Y$ とします。

$E(X) = E(Y) = \frac{7}{2}$ なので、合計 $X + Y$ の期待値は

$$E(X + Y) = E(X) + E(Y) = \frac{7}{2} + \frac{7}{2} = 7$$

サイコロ2個の出目の合計の期待値が $7$ であることは、直感とも合います。

2独立な確率変数とは

2つの確率変数 $X, Y$ が独立であるとは、$X$ の値と $Y$ の値が互いに影響を及ぼさないことをいいます。数学的には、すべての値 $x_i, y_j$ に対して

$$P(X = x_i \text{ かつ } Y = y_j) = P(X = x_i) \cdot P(Y = y_j)$$

が成り立つとき、$X$ と $Y$ は独立であるといいます。

独立のときに成り立つ性質

$X$ と $Y$ が独立であるとき、次の重要な性質が成り立ちます。

• $E(XY) = E(X) \cdot E(Y)$（積の期待値が期待値の積に等しい）
• $V(X + Y) = V(X) + V(Y)$（分散の加法性）
• $V(X - Y) = V(X) + V(Y)$（差の分散も和になる）

3独立な確率変数の和の分散

$X$ と $Y$ が独立であるとき、和の分散について次の公式が成り立ちます。

具体例：サイコロ2個の合計の分散

サイコロ2個の出目 $X, Y$ は独立です。$V(X) = V(Y) = \frac{35}{12}$ なので、

$$V(X + Y) = V(X) + V(Y) = \frac{35}{12} + \frac{35}{12} = \frac{35}{6}$$

$$\sigma(X + Y) = \sqrt{\frac{35}{6}} \approx 2.42$$

4共分散と一般の場合

$X, Y$ が独立でない場合、分散の公式には共分散（Covariance）$\text{Cov}(X, Y)$ が登場します。

共分散のイメージ

共分散は2つの変数の「連動の度合い」を表します。

• $\text{Cov}(X, Y) > 0$：$X$ が大きいとき $Y$ も大きい傾向（正の相関）
• $\text{Cov}(X, Y) < 0$：$X$ が大きいとき $Y$ は小さい傾向（負の相関）
• $\text{Cov}(X, Y) = 0$：$X$ と $Y$ に線形な関連がない（無相関）

5公式の応用と具体例

例題1：独立な確率変数の線形結合

$X, Y$ が独立で $E(X) = 3$, $E(Y) = 5$, $V(X) = 2$, $V(Y) = 4$ のとき、$W = 2X - 3Y + 1$ の期待値と分散を求めます。

期待値：

$$E(W) = 2E(X) - 3E(Y) + 1 = 2 \cdot 3 - 3 \cdot 5 + 1 = 6 - 15 + 1 = -8$$

分散：

$2X$ と $-3Y$ は独立（$X, Y$ が独立なので）であるから、

$$V(W) = V(2X - 3Y + 1) = V(2X) + V(-3Y) = 4V(X) + 9V(Y) = 4 \cdot 2 + 9 \cdot 4 = 44$$

例題2：同じ分布に従う独立な変数の平均

$X_1, X_2$ が独立で同じ分布（$E(X_i) = \mu$, $V(X_i) = \sigma^2$）に従うとき、平均 $\bar{X} = \frac{X_1 + X_2}{2}$ の期待値と分散を求めます。

$$E(\bar{X}) = \frac{1}{2}(E(X_1) + E(X_2)) = \frac{1}{2}(2\mu) = \mu$$

$$V(\bar{X}) = \frac{1}{4}(V(X_1) + V(X_2)) = \frac{1}{4}(2\sigma^2) = \frac{\sigma^2}{2}$$