確率変数の「平均的な値」を表す期待値（平均）は、統計的な推測の中核となる概念です。サイコロの目の平均、くじ引きの平均賞金額など、確率分布から計算する方法と期待値の重要な性質（線形性）を学びましょう。
前の記事で学んだ確率分布を使って、確率変数の「平均的にどのくらいの値をとるか」を数値化します。これが期待値（きたいち）です。英語では Expected Value といい、$E(X)$ と表記します。
確率変数 $X$ のとりうる値が $x_1, x_2, \ldots, x_n$ で、それぞれの確率が $p_1, p_2, \ldots, p_n$ のとき：
$$E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i = x_1 p_1 + x_2 p_2 + \cdots + x_n p_n$$
※ 期待値は $\mu$（ミュー）とも書きます。$E(X) = \mu$ です。
期待値は「同じ試行を非常に多く繰り返したとき、確率変数の値の平均がだいたいこの値に近づく」という意味を持ちます。
例えば、サイコロを100万回投げたとき、出た目の平均は $3.5$ に非常に近くなります。この $3.5$ がサイコロの目の期待値です。
データの平均値は「実際のデータを合計して個数で割る」ものです。一方、期待値は「確率を重みとした加重平均」です。
データの平均値：$\bar{x} = \dfrac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n}$
期待値：$E(X) = x_1 p_1 + x_2 p_2 + \cdots + x_n p_n$
データ数が十分大きくなると、データの平均値は期待値に近づきます（大数の法則）。
定義に従って、確率分布表から期待値を計算する練習をしましょう。
問題：1個のサイコロを投げるとき、出る目の数 $X$ の期待値を求めよ。
解：確率分布表より：
| $X$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ | $6$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $P$ | $\frac{1}{6}$ | $\frac{1}{6}$ | $\frac{1}{6}$ | $\frac{1}{6}$ | $\frac{1}{6}$ | $\frac{1}{6}$ |
$$E(X) = 1 \cdot \frac{1}{6} + 2 \cdot \frac{1}{6} + 3 \cdot \frac{1}{6} + 4 \cdot \frac{1}{6} + 5 \cdot \frac{1}{6} + 6 \cdot \frac{1}{6}$$
$$= \frac{1+2+3+4+5+6}{6} = \frac{21}{6} = \frac{7}{2} = 3.5$$
問題：2枚のコインを同時に投げるとき、表が出る枚数 $X$ の期待値を求めよ。
解：確率分布表より：
| $X$ | $0$ | $1$ | $2$ |
|---|---|---|---|
| $P$ | $\frac{1}{4}$ | $\frac{1}{2}$ | $\frac{1}{4}$ |
$$E(X) = 0 \cdot \frac{1}{4} + 1 \cdot \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{1}{4} = 0 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$$
2枚のコインを投げると、平均して1枚が表になることがわかります。
問題：1本200円のくじで、1等（1000円）が1本、2等（500円）が2本、はずれが7本の計10本ある。1本引いたときの賞金額の期待値を求め、このくじは得か損か判断せよ。
解：賞金額 $X$ の確率分布：
| $X$（円） | $0$ | $500$ | $1000$ |
|---|---|---|---|
| $P$ | $\frac{7}{10}$ | $\frac{2}{10}$ | $\frac{1}{10}$ |
$$E(X) = 0 \times \frac{7}{10} + 500 \times \frac{2}{10} + 1000 \times \frac{1}{10} = 0 + 100 + 100 = 200 \text{（円）}$$
期待値が200円でくじの値段も200円なので、平均的には損も得もしません（公正なくじ）。
✗ 期待値を計算するとき $x_i$ だけを足して値の個数で割る（データの平均のやり方）
✓ 期待値は $x_i \times p_i$ の和。各値に「その値をとる確率」を掛けてから足す
確率が均等でない場合は、単純な算術平均では正しい結果が得られません。
期待値には非常に便利な性質があります。特に線形性は計算を大幅に簡単にする重要な性質です。
確率変数 $X$ と定数 $a, b$ について：
$$E(aX + b) = aE(X) + b$$
特に：
(1) $E(aX) = aE(X)$（定数倍を外に出せる）
(2) $E(X + b) = E(X) + b$（定数の加算はそのまま）
(3) $E(b) = b$（定数の期待値は定数そのもの）
$Y = aX + b$ とおく。$X = x_i$ のとき $Y = ax_i + b$ であり、$P(Y = ax_i + b) = p_i$ です。
$$E(Y) = \sum_{i=1}^{n} (ax_i + b) p_i = \sum_{i=1}^{n} ax_i p_i + \sum_{i=1}^{n} bp_i$$
$$= a\sum_{i=1}^{n} x_i p_i + b\sum_{i=1}^{n} p_i = aE(X) + b \cdot 1 = aE(X) + b$$
ここで $\sum p_i = 1$（確率の総和）を使いました。 $\square$
問題：サイコロの目 $X$ について、$Y = 2X - 1$ の期待値を求めよ。
解：$E(X) = 3.5$ なので、線形性より：
$$E(Y) = E(2X - 1) = 2E(X) - 1 = 2 \times 3.5 - 1 = 6$$
確率分布表を作り直さなくても、$E(X)$ さえわかれば一瞬で計算できます。
「テストの点数を2倍にして10点加算した得点の平均は？」のような問題では、線形性を使うと効率的です。
元のテストの平均点が $E(X) = 60$ 点のとき、$Y = 2X + 10$ の平均は：
$$E(Y) = 2 \times 60 + 10 = 130 \text{（点）}$$
確率変数 $X$ の関数 $g(X)$ の期待値を求める方法を学びましょう。
確率変数 $X$ の関数 $g(X)$ の期待値は：
$$E(g(X)) = \sum_{i=1}^{n} g(x_i) \, p_i$$
※ $g(X)$ の確率分布表を作らなくても、$X$ の確率分布表から直接計算できます。
問題：1個のサイコロを投げるとき、出る目 $X$ について $E(X^2)$ を求めよ。
解：
$$E(X^2) = 1^2 \cdot \frac{1}{6} + 2^2 \cdot \frac{1}{6} + 3^2 \cdot \frac{1}{6} + 4^2 \cdot \frac{1}{6} + 5^2 \cdot \frac{1}{6} + 6^2 \cdot \frac{1}{6}$$
$$= \frac{1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36}{6} = \frac{91}{6}$$
✗ $E(X^2) = \{E(X)\}^2$ と思い込む
✓ 一般に $E(X^2) \neq \{E(X)\}^2$ である
上の例では $E(X^2) = \dfrac{91}{6} \approx 15.17$ ですが、$\{E(X)\}^2 = 3.5^2 = 12.25$ です。
この差 $E(X^2) - \{E(X)\}^2$ は次の記事で学ぶ分散になります。
$E(X^2)$ は次の記事で学ぶ分散の計算で必ず使います。分散の公式は：
$$V(X) = E(X^2) - \{E(X)\}^2$$
そのため、期待値を学ぶこの段階で $E(X^2)$ の計算に慣れておくことが重要です。
期待値は確率の理論にとどまらず、日常的な意思決定にも使われる概念です。
問題：あるゲームでは、参加費500円を払ってサイコロを1回振る。出た目の100倍の金額がもらえる。このゲームに参加すべきか。
解：もらえる金額 $X$ の期待値を求めます。
$X$ のとりうる値は $100, 200, 300, 400, 500, 600$ 円（各確率 $\dfrac{1}{6}$）。
$$E(X) = \frac{100 + 200 + 300 + 400 + 500 + 600}{6} = \frac{2100}{6} = 350 \text{（円）}$$
平均的にもらえる金額は350円で、参加費500円より少ない。よって、期待値の観点からは参加すべきではありません。
平均的な損失：$350 - 500 = -150$ 円
問題：確率変数 $X$ の確率分布が次の表で与えられるとき、$E(X) = 2$ となる $a$ の値を求めよ。
| $X$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ |
|---|---|---|---|---|
| $P$ | $a$ | $a$ | $2a$ | $1-4a$ |
解：まず確率の条件を確認：$a + a + 2a + (1-4a) = 1$ ✓（常に成立）
各確率が0以上なので：$a \geq 0$ かつ $1 - 4a \geq 0$ より $0 \leq a \leq \dfrac{1}{4}$
期待値の条件：
$$E(X) = 0 \cdot a + 1 \cdot a + 2 \cdot 2a + 3 \cdot (1-4a) = a + 4a + 3 - 12a = 3 - 7a$$
$E(X) = 2$ より $3 - 7a = 2$、$a = \dfrac{1}{7}$
$0 \leq \dfrac{1}{7} \leq \dfrac{1}{4}$ なので条件を満たす。 $\therefore \; a = \dfrac{1}{7}$
計算：$E(X) = \sum x_i p_i$（値 $\times$ 確率の和）
線形性：$E(aX + b) = aE(X) + b$（最も重要な性質）
関数の期待値：$E(g(X)) = \sum g(x_i) p_i$
注意：一般に $E(X^2) \neq \{E(X)\}^2$
期待値は確率変数の「中心」を表しますが、値がどれくらい散らばっているかは分かりません。次の記事では、散らばりの指標である分散と標準偏差を学びます。
$$V(X) = E\!\left[(X - \mu)^2\right] = E(X^2) - \{E(X)\}^2$$
※ 分散・標準偏差の詳しい定義と計算は次の記事で扱います。
Q1. 期待値 $E(X)$ の定義式を述べよ。
Q2. $E(X) = 5$ のとき、$E(3X + 2)$ を求めよ。
Q3. 2枚のコインを投げて、表が出た枚数 $X$ の期待値はいくつか。
Q4. $E(X) = 4$, $E(X^2) = 20$ のとき、$\{E(X)\}^2$ はいくつか。また $E(X^2) - \{E(X)\}^2$ はいくつか。
Q5. 定数 $c$ に対して $E(c)$ はいくつか。
袋の中に $1, 2, 3, 4, 5$ と書かれた5枚のカードが入っている。1枚引いたとき、書かれた数 $X$ の期待値を求めよ。
各カードを引く確率はすべて $\dfrac{1}{5}$ です。
$$E(X) = 1 \cdot \frac{1}{5} + 2 \cdot \frac{1}{5} + 3 \cdot \frac{1}{5} + 4 \cdot \frac{1}{5} + 5 \cdot \frac{1}{5} = \frac{1+2+3+4+5}{5} = \frac{15}{5} = 3$$
1個のサイコロを投げて、出た目 $X$ に対して得点 $Y = X^2 - 2X$ を得るゲームがある。
(1) $E(X)$ と $E(X^2)$ を求めよ。
(2) $E(Y)$ を求めよ。
(1) $E(X) = \dfrac{1+2+3+4+5+6}{6} = \dfrac{21}{6} = \dfrac{7}{2}$
$E(X^2) = \dfrac{1+4+9+16+25+36}{6} = \dfrac{91}{6}$
(2) $E(Y) = E(X^2 - 2X) = E(X^2) - 2E(X) = \dfrac{91}{6} - 2 \cdot \dfrac{7}{2} = \dfrac{91}{6} - 7 = \dfrac{91 - 42}{6} = \dfrac{49}{6}$
$Y = X^2 - 2X$ のように $X$ の多項式で表される場合、$E(X)$ と $E(X^2)$ を使って $E(Y) = E(X^2) - 2E(X)$ と計算できます。これは期待値の線形性を活用しています。
確率変数 $X$ の確率分布が次の表で与えられている。$E(X) = 1$ となるように定数 $a, b$ の値を定めよ。
| $X$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ |
|---|---|---|---|---|
| $P$ | $a$ | $b$ | $\frac{1}{4}$ | $\frac{1}{4}$ |
確率の総和：$a + b + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4} = 1$ より $a + b = \dfrac{1}{2}$ ……(i)
期待値：$E(X) = (-1) \cdot a + 0 \cdot b + 1 \cdot \dfrac{1}{4} + 2 \cdot \dfrac{1}{4} = -a + \dfrac{3}{4} = 1$
よって $a = -\dfrac{1}{4}$ ……これは $a \geq 0$ に反する。
したがって、条件を満たす $a, b$ は存在しない。
確率の非負条件 $a \geq 0, b \geq 0$ を忘れると「$a = -\dfrac{1}{4}$」と答えてしまいます。確率は必ず0以上という条件を確認することが重要です。条件を満たす解が存在しない場合もあることを認識しましょう。
赤玉4個、白玉6個が入った袋から、1個ずつ玉を取り出す（取り出した玉は戻さない）。初めて赤玉が出るまでの取り出し回数を $X$ とする。
(1) $X = 1, 2, 3$ となる確率をそれぞれ求めよ。
(2) $P(X \leq 3)$ を求めよ。
(3) $E(X)$ を求めよ。（ヒント：$X$ は $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$ の値をとりうる）
(1) $P(X=1) = \dfrac{4}{10} = \dfrac{2}{5}$
$P(X=2) = \dfrac{6}{10} \cdot \dfrac{4}{9} = \dfrac{24}{90} = \dfrac{4}{15}$
$P(X=3) = \dfrac{6}{10} \cdot \dfrac{5}{9} \cdot \dfrac{4}{8} = \dfrac{120}{720} = \dfrac{1}{6}$
(2) $P(X \leq 3) = \dfrac{2}{5} + \dfrac{4}{15} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{12 + 8 + 5}{30} = \dfrac{25}{30} = \dfrac{5}{6}$
(3) 同様に計算すると：
$P(X=4) = \dfrac{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 4}{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7} = \dfrac{480}{5040} = \dfrac{2}{21}$
$P(X=5) = \dfrac{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 4}{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = \dfrac{1440}{30240} = \dfrac{1}{21}$
$P(X=6) = \dfrac{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 4}{10!/(10-6)!} = \dfrac{2880}{151200} = \dfrac{1}{42} \cdot \dfrac{2880}{3600} = \dfrac{1}{42} $
$P(X=7) = \dfrac{6!/(6-6)! \cdot 4}{10!/(10-7)!} = \dfrac{6! \cdot 4}{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4} = \dfrac{720 \cdot 4}{604800} = \dfrac{2880}{604800} = \dfrac{1}{210}$
$$E(X) = 1 \cdot \frac{2}{5} + 2 \cdot \frac{4}{15} + 3 \cdot \frac{1}{6} + 4 \cdot \frac{2}{21} + 5 \cdot \frac{1}{21} + 6 \cdot \frac{1}{42} + 7 \cdot \frac{1}{210}$$
$$= \frac{2}{5} + \frac{8}{15} + \frac{1}{2} + \frac{8}{21} + \frac{5}{21} + \frac{1}{7} + \frac{1}{30} = \frac{11}{5}$$
非復元抽出（取り出した玉を戻さない）の問題です。$P(X=k)$ は「最初の $k-1$ 回がすべて白玉で、$k$ 回目に赤玉が出る」確率です。なお、一般に赤 $r$ 個、白 $w$ 個のとき $E(X) = \dfrac{r+w+1}{r+1}$ という公式があります。本問では $\dfrac{10+1}{4+1} = \dfrac{11}{5}$ と一致します。