$\Sigma$ の計算（自然数の累乗の和）
─ 公式を使いこなす

$S = 1 + 2 + 3 + \cdots + (n-1) + n$ …①

逆順に書く：$S = n + (n-1) + (n-2) + \cdots + 2 + 1$ …②

①＋②：$2S = (n+1) + (n+1) + \cdots + (n+1) = n(n+1)$

$S = \frac{n(n+1)}{2}$

(i) $n = 1$ のとき：左辺 $= 1$、右辺 $= \frac{1 \cdot 2}{2} = 1$。成立。

(ii) $n = m$ で成立を仮定：$\displaystyle\sum_{k=1}^{m} k = \frac{m(m+1)}{2}$

$n = m+1$ のとき：

$\displaystyle\sum_{k=1}^{m+1} k = \sum_{k=1}^{m} k + (m+1) = \frac{m(m+1)}{2} + (m+1)$

$= (m+1)\left(\frac{m}{2} + 1\right) = \frac{(m+1)(m+2)}{2}$

これは $n = m+1$ の場合の公式に一致。(i)(ii)より全ての自然数 $n$ で成立。

恒等式 $(k+1)^3 - k^3 = 3k^2 + 3k + 1$ を $k = 1, 2, \ldots, n$ で足し合わせます：

$k=1$: $2^3 - 1^3 = 3 \cdot 1^2 + 3 \cdot 1 + 1$

$k=2$: $3^3 - 2^3 = 3 \cdot 2^2 + 3 \cdot 2 + 1$

$\vdots$

$k=n$: $(n+1)^3 - n^3 = 3n^2 + 3n + 1$

左辺はテレスコーピング（望遠鏡和）で中間項が消えます：

$(n+1)^3 - 1 = 3\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k^2 + 3\sum_{k=1}^{n} k + n$

$n^3 + 3n^2 + 3n = 3\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k^2 + \frac{3n(n+1)}{2} + n$

$3\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k^2 = n^3 + 3n^2 + 3n - \frac{3n(n+1)}{2} - n$

$= n^3 + 3n^2 + 2n - \frac{3n^2 + 3n}{2} = \frac{2n^3 + 6n^2 + 4n - 3n^2 - 3n}{2} = \frac{2n^3 + 3n^2 + n}{2}$

$$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{2n^3 + 3n^2 + n}{6} = \frac{n(2n^2 + 3n + 1)}{6} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$

恒等式 $(k+1)^4 - k^4 = 4k^3 + 6k^2 + 4k + 1$ を $k = 1, 2, \ldots, n$ で足し合わせます：

$(n+1)^4 - 1 = 4\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k^3 + 6\sum_{k=1}^{n} k^2 + 4\sum_{k=1}^{n} k + n$

すでに得られた $\Sigma k$ と $\Sigma k^2$ の公式を代入：

$n^4 + 4n^3 + 6n^2 + 4n = 4\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k^3 + n(n+1)(2n+1) + 2n(n+1) + n$

$4\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k^3 = n^4 + 4n^3 + 6n^2 + 4n - n(n+1)(2n+1) - 2n(n+1) - n$

$= n^4 + 4n^3 + 6n^2 + 4n - (2n^3 + 3n^2 + n) - (2n^2 + 2n) - n$

$= n^4 + 2n^3 + n^2 = n^2(n+1)^2$

$$\sum_{k=1}^{n} k^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4} = \left\{\frac{n(n+1)}{2}\right\}^2$$

$\displaystyle\sum_{k=1}^{n} (k+1)(k+2)$ を求めよ。

展開：$(k+1)(k+2) = k^2 + 3k + 2$

$= \displaystyle\sum_{k=1}^{n} k^2 + 3\sum_{k=1}^{n} k + 2\sum_{k=1}^{n} 1$

$= \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{3n(n+1)}{2} + 2n$

$= \frac{n(n+1)(2n+1) + 9n(n+1) + 12n}{6}$

$= \frac{n\{(n+1)(2n+1) + 9(n+1) + 12\}}{6} = \frac{n(2n^2 + 12n + 22)}{6}$

$= \frac{n \cdot 2(n^2 + 6n + 11)}{6}$

別解として因数分解を工夫すると：$= \frac{n(n+1)(2n+1) + 9n(n+1) + 12n}{6} = \frac{n(2n^2 + 3n + 1 + 9n + 9 + 12)}{6}$

$= \frac{n(2n^2 + 12n + 22)}{6} = \frac{n(n^2 + 6n + 11)}{3}$

$\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k(k-1)$ を求めよ。

$k(k-1) = k^2 - k$ より

$= \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n(n+1)}{6}\{(2n+1) - 3\} = \frac{n(n+1)(2n-2)}{6}$

$= \frac{n(n+1)(n-1)}{3} = \frac{(n-1)n(n+1)}{3}$

$\displaystyle\sum_{k=1}^{n} (2k^2 + k) = ?$

$= 2 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{3} + \frac{n(n+1)}{2}$

$= \frac{n(n+1)}{6}\{2(2n+1) + 3\} = \frac{n(n+1)(4n+5)}{6}$